勾股定理及其逆定理的聯(lián)用

張現(xiàn)云

我們知道，勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系，其逆定理是判定直角三角形的一種重要方法．綜合應(yīng)用勾股定理及其逆定理，可以解決很多幾何問題．其一般步驟是：先應(yīng)用勾股定理的逆定理證明已知圖形（或適當添加輔助線后的圖形）中的某個三角形為直角三角形，然后再應(yīng)用勾股定理解決問題．

例１ 如圖１，已知AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=2，求∠DAB的大?。?/p>

解析：欲求∠DAB，須先把它轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角或幾個內(nèi)角和．連接AC，易知△ABC為等腰直角三角形,則∠BAC=45°．從而，欲求∠DAB的大小，只須求出∠DAC的大小.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=2．在△ACD中，AC2+AD2=（2）2+22=12=（2）2=CD2，由勾股定理的逆定理可知△ACD為直角三角形，∠DAC=90°.

所以∠DAB=∠BAC+∠DAC=４５°＋９０°＝135°．

例２ 如圖２，在△ABC中，AB=17，∠C=60°，D是BC上一點，且BD=15，AD=8，求AC．

解析：在△ADC中，已知一邊及其對角，要求另一邊．若△ADC不是特殊三角形，則難以求解．因此，必須首先判定△ADC的形狀，然后再解決計算問題．

在△ADB中，AD2+BD2=82+152=172=AB2，由勾股定理的逆定理可知，△ADB為直角三角形，所以∠ADB=90°．所以∠ADC=90°．

在Rt△ADC中，因為∠C=60°，所以∠CAD=30°．設(shè)DC=x，則AC=2x．由勾股定理，得x2+82=（2x）2，即3x2=64．

所以x=.故AC=2x=.

例3 如圖3，在△ABC中，AB=10，AC=6，ＢＣ邊上的中線AD=4.求BC．

解析：已知兩邊和第三邊上的中線長，在已知圖形中不能直接求得第三邊的長．因此必須添加適當?shù)妮o助線，把已知長度的三條線段移到一個三角形中，然后再判定此三角形的形狀，從而找到解題的途徑．

延長AD到E，使DE=AD=4，連接CE，則AE=8．易證△ADB≌△EDC（ＳＡＳ），所以CE=AB=10．

在△AEC中，AE2+AC2=82+62=102=CE2，由勾股定理的逆定理可知，△AEC是直角三角形，∠CAE=90°．

在Rt△ADC中，由勾股定理得

DC===2．

∴ BC=2DC=4．

例4 如圖4，在△ABC中，AD是BC邊上的高，且AB2=BD·BC．求證：AB⊥AC．

解析：由勾股定理的逆定理可知，欲證ＡＢ⊥ＡＣ，只須證AB2+AC2=BC2即可．在Rt△ADB中，由勾股定理，得AB2=AD2+BD2．因為AB2=BD·BC，所以AD2+BD2=BD·BC.整理得AD2=BD·BC-BD2=BD·（BC-BD）=BD·DC．在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC2=AD2+DC2．所以 AB2+AC2=AD2+BD2+AD2+DC2=2AD2+BD2+DC2=2AD2+（BD+DC）2－2BD·DC=BC2+2（AD2-BD·DC）=BC2．由勾股定理的逆定理可知，△ABC為直角三角形，∠BAC=90°．所以AB⊥AC．

1． 在△ABC中，AB=１０ cm，AC=17 cm，D是BC上一點，且BD=6 cm，AD=8 cm．求CD的長．

2． 四邊形ＡＢＣＤ中，已知AB=12，BC=9，CD=8，AD=17，且AB⊥BC，求四邊形ABCD的面積．

練習題提示：

1. 先證△ABD為直角三角形，然后再應(yīng)用勾股定理求CD．

2． 連接AC，并應(yīng)用勾股定理求出AC，然后應(yīng)用勾股定理的逆定理證∠ACD=90°．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文