勾股定理在生活中的應(yīng)用

崔艷峰

勾股定理源于生活,貼近現(xiàn)實.它不但揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系,把數(shù)與形結(jié)合起來,而且可以解決許多與實際生活緊密聯(lián)系的問題.現(xiàn)舉例說明.

一?測量問題

例1 老師要求同學們測量學校旗桿的高度.小明發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面后還多出1 m.當他把繩子的下端拉開5 m后,發(fā)現(xiàn)繩子下端剛好接觸地面.你能幫小明求出旗桿的高度嗎?

分析:根據(jù)題意,可以把旗桿與地面看成一個直角三角形的直角邊,繩子當做斜邊.先設(shè)出繩子的長,然后利用勾股定理列出方程求解.

解:如圖1,設(shè)繩子AB長為x m,則旗桿的高度AC為(x-1) m.在Rt△ABC中,由勾股定理,得

AC2+BC2=AB2,即(x-1)2+52=x2.

解得x=13,則x-1=12.故旗桿的高度為12 m.

說明: 測量某些建筑物的高度時,常利用勾股定理列方程求解.

二?建筑問題

例2 某工程隊驗收工程時,為了檢測某建筑物四邊形地基的四個墻角是否是直角,分別測量了地基的兩邊長和一條對角線的長,得到的數(shù)據(jù)為16 m,9 m,19 m,如圖2.請問:這個建筑物是否合格?(是直角則合格,否則不合格)

分析:如果滿足勾股定理逆定理,說明墻角為直角,否則不是直角.

解:如圖2,由題意知AB=9 m,BC=16 m,AC=19 m.

AB2+BC2=92+162=337.AC2=192=361.

因AB2+BC2≠AC2,所以∠ABC≠90°.所以不合格.

三?地毯花費問題

例3 如圖3,如果在高為3 m?斜坡長為5 m的樓梯表面鋪地毯,則至少需要多少米長的地毯?若樓梯寬2 m,每平方米地毯需要30元,那么購置地毯至少需要花費多少錢?

分析:樓梯水平方向的長度和為AC,豎直方向的長度和為BC,要求地毯的長度,只需利用勾股定理先求出AC,再求AC+BC即可.

解:在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,所以AC2=AB2-BC2=52-32=16=42.

所以AC=4 m.故地毯長度至少為AC+BC=4+3=7(m).

所以地毯總面積為7×2=14(m2),花費至少為30×14=420(元).

說明: 解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建數(shù)學模型,即直角三角形,并且借助勾股定理求出AC的長.

四?臺風預(yù)測問題

例4 據(jù)氣象臺預(yù)報,一個由南向北移動的臺風,其中心在A市南偏東45°方向,且離A市 400 km的B地登陸.已知在距臺風中心260 km的范圍內(nèi)都會受到臺風侵襲,那么A市會不會受到此次臺風的侵襲?為什么?

分析:本題提供了較多的文字信息,需要在閱讀的基礎(chǔ)上提煉出有用的信息.要想知道A市是否會受到臺風的侵襲,關(guān)鍵是看當臺風到達A市的正東方向時(這時臺風最接近A市),A市是否在臺風的侵襲范圍內(nèi).

解:如圖4,過點A作AC⊥BC,垂足為C,則AB=400 km,∠CAB=∠CBA=45°,△ABC是等腰直角三角形.

由勾股定理,得AC2+BC2=AB2,即2AC2=AB2,所以AC===200≈282.8(km),AC>260 km.

故A市不會受到此次臺風的侵襲.

說明:這類“影響范圍”的問題,常常要作有關(guān)直線的垂線,從“最短距離”處進行判斷.

五?航海問題

例5 一艘輪船A以16海里 / 時的速度離開港口O向西南方向航行,另一艘輪船B同時以12海里 / 時的速度離開港口O向東南方向航行,則1.5 h后兩船相距多遠?

分析:根據(jù)題意畫出圖形,得知兩輪船航線的夾角為90°.分別求出兩船航行1.5 h的路程,再根據(jù)勾股定理求出兩船的距離.

解:如圖5,東南方向即南偏東45°,西南方向即南偏西45°,故兩船航行的方向OA?OB的夾角為直角,OA=16×1.5=24(海里),OB=12×1.5=18(海里).

連接AB,在Rt△AOB中,由勾股定理得AB2=OA2+OB2=242+182=900,所以AB=30海里.

所以1.5 h后兩船相距30海里.

說明:解決此問題的關(guān)鍵是畫出正確的圖形,并利用方位角的概念發(fā)現(xiàn)特殊角.然后找出直角三角形,應(yīng)用勾股定理來解題.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文