勾股定理競賽題賞析

葛余常

例1（2007年·海南）如圖1，四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形.如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，則（a+b）2的值是（）.

A． 13B． 19C． 25 D． 169

分析：由勾股定理得a2+b2=13，由面積關系得（a-b）2=1，從而建立關于a、b的關系式.

解：由勾股定理，結合題意得a2+b2=13. ①

由題意，得（a-b）2=1.②

由②，得a2+b2-2ab=1. ③

把①代入③，得13-2ab=1. 2ab=12.

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=13+12=25.選C.

評注：本題是根據課本中出現的有關圖形改編成的考題，體現了學好課本知識的重要性.關系式①、②是解這類題的關鍵，要好好把握.由它們也可直接求出a、b，讀者不妨試一試.

例2（2007年·“南方杯”）若Rt△ABC的周長為l，斜邊長為c（l>2c），則該三角形的面積等于（用關于l、c的簡單式子表示）.

分析：設兩直角邊分別為a、b，若要直接求出a與b的值，要用二次方程求解，較繁.但若由a+b和a2+b2聯想到整體思想（將ab視為一個整體），問題便可順利獲解.

解：設兩直角邊分別為a、b ，則a+b=l-c.

由勾股定理得c2=a2+b2=（a+b）2-2ab，故

ab===.

∴S△ABC=ab=·=.故該三角形的面積為.

評注：用整體思想來解數學題，不僅可以擺脫固定模式的束縛，使復雜的問題變得簡單，陌生的問題變得熟悉，往往還可以解決一些按常規(guī)方法解決不了的問題.要熟悉ab、a+b、a2+b2、a-b之間的變換關系.

例3（2007年·“希望杯”）如圖2，一只小貓沿著斜立在墻角的木板往上爬，木板底端距離墻角O處為0.7 m．當小貓從木板底端爬到頂端時，木板底端向左滑動了1.3 m，木板頂端向下滑動了0.9 m，則小貓在木板上爬動了m．

分析：本題實際上就是要求木板的長度.設木板頂端距離墻角O處為x m， 木板長為y m，利用木板下滑過程中長度保持不變，可通過勾股定理建立關于x、y的方程組.

解：設（開始時）木板頂端距離墻角O處x m， 木板長為y m.由題意得：0.72+x2=y2，22+（x-0.9）2=y2.

故0.72+x2=22+（x-0.9）2，解得x=2.4.

把x=2.4代入0.72+x2=y2，解得y=2.5.

所以小貓在木板上爬動了2.5 m.

評注：勾股定理在現實生活中有著較為廣泛的應用，它是線段計算的重要工具.梯子問題的解題關鍵，是抓住梯子長度不變這一點，列出有關的方程.

例4（2007年·“南方杯”）如圖3，點M在△ABC的BC邊上，分別作MD⊥AB，ME⊥AC，垂足D、E分別在AB、AC兩邊上.△ABM與△ACM的面積相等，且△BDM與△CEM的面積相等.若BD=2，CE=1，試求點A到BC邊的距離.

分析：欲求點A到BC邊的距離，關鍵是求出△ABC的面積和BC的長.

解：由S△ABM=S△ACM，而兩三角形高相等，知BM=MC.M為BC中點.

設DM=x，ME=y.由BM=MC及勾股定理得：22+x2=BM2=MC2=12+y2.

所以y2-x2=3. ①

由S△BDM=S△CEM，得·2·x=·y·1，所以y=2x. ②

把②代入①得：4x2-x2=3，x2=1.故x=1，y=2.

因S△ABM=S△ACM，S△BDM=S△CEM，故S△ADM=S△AEM.設AD=a，AE=b，與上面類似，x2+a2=AM2=y2+b2，即1+a2=22+b2，故a2-b2=3. ③

由S△ADM=S△AEM，則·1·a=·2·b，所以a=2b.④

把④代入③，得b=1，a=2.從而S△ABC=S△ABM+S△ACM=·1·4+·2·2=4.

又BC=2BM=2=2，故由三角形面積公式知點A到BC邊的距離==.

評注：此類問題求解時，常要抓住面積相等探究線段之間的關系，然后再結合勾股定理建立方程組.本題前半部分和后半部分的思路很相似，即利用未知的但相等的邊（BM與MC，以及AM）作為橋梁，建立方程.這種思路值得重視.

例5（2007年·臨安）如圖4所示，在正方形上連接等腰直角三角形和正方形，一直重復同一過程.第1個正方形的邊長為1.第1個正方形與第1個等腰直角三角形的面積和為S1，第2個正方形與第2個等腰直角三角形的面積和為S2，…，第n個正方形與第n個等腰直角三角形的面積和為Sn.

（1） 計算S1、S2、S3、S4 .

（2） 總結出Sn與Sn-1的關系，并猜想出S1+S2+S3+…+Sn與n的關系.

分析：可根據圖形直接進行計算，并進行歸納猜想.

解：（1）如圖5，設第1個正方形的邊長為a、第2個正方形的邊長為b、第3個正方形的邊長為c、第4個正方形的邊長為d，由勾股定理得b2+b2=a2=1，則b2=，S1=a2+b2=1+=.同理可得，S2=b2+c2=+=，S3=，S4=.

（2）Sn=Sn-1.

計算得S1+S2==，S1+S2+S3==，S1+S2+S3+S4==.

猜想：S1+S2+S3+…+Sn=.

評注：第（2）問有些難度.猜想時，可分別找分子、分母與n的聯系.分子顯然都是5的倍數，可提出5后再找規(guī)律.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文