你會探索規(guī)律嗎

劉繼征　金家春

探索規(guī)律問題是十分有趣的，本文舉了兩例，以拋磚引玉，希望能對同學(xué)們有所啟示.

規(guī)律探求問題既有利于考查同學(xué)們運(yùn)用數(shù)學(xué)符號的能力，又能體現(xiàn)同學(xué)們運(yùn)用規(guī)律解決問題的能力.下面從一則簡單的問題入手，例析其解法.

問題1研究下列算式，你會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請將你找出的規(guī)律用公式表示出來.

1×3+1=4=22；2×4+1=9=32；3×5+1=16=42；4×6+1=25=52；……

解析：所要找出的規(guī)律就是第n個式子怎么表示.很明顯，每個等式左邊為兩個式子的和，其中第二個式子為常數(shù)1，不變；而第一個式子為兩個數(shù)相乘，且第一個數(shù)又比第二個數(shù)小2.從總體上看，第一個式子的第一個數(shù)是從自然數(shù)1開始的，并依次增加1.等式的右邊恰好是左邊相乘的那兩個數(shù)的平均數(shù)的平方.這樣，第n個式子就是n（n+2）+1=（n+1）2，這正是所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

好的，知道規(guī)律了，同學(xué)們肯定會求99×101+1的值，自己動手算算吧.通過上題的分析，我們知道，想學(xué)好數(shù)學(xué)，就需要不斷去猜想、探索和總結(jié).當(dāng)然，對于猜想的結(jié)論是否正確，仍須進(jìn)行證明.但有些復(fù)雜問題，有待今后證明.再看下面的問題.

問題2觀察下面的等式，并根據(jù)規(guī)律，請你猜測：

1×2=×1×2×3；1×2+2×3=×2×3×4；1×2+2×3+3×4=×3×4×5；1×2+2×3+3×4+4×5=×4×5×6；…；1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=（n為正整數(shù)）.

解析：仔細(xì)觀察，并根據(jù)此題的特征，不難發(fā)現(xiàn)，等式右邊恰為三個連續(xù)正整數(shù)的乘積的.這樣第n個等式就是：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）.這正是所得出的規(guī)律.

變式訓(xùn)練題：請求出式子1×2+2×3+3×4+…+2 007×2 008的值.

（提示：可利用所探索出的公式，得：原式=×2 007×2 008×2 009=2 698 794 168）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文