二次不等式的解題探究

田　達(dá)

二次函數(shù)、二次方程、二次不等式的關(guān)系是互相聯(lián)系密不可分，同時(shí)也是高考數(shù)學(xué)科命題的熱點(diǎn)內(nèi)容之一.以三個(gè)“二次”為載體考察函數(shù)有關(guān)問(wèn)題的代數(shù)推理大題時(shí)有所見(jiàn).需要我們認(rèn)真研究并體會(huì)三者的內(nèi)在關(guān)系、包含的數(shù)學(xué)思想以及相應(yīng)的數(shù)學(xué)本質(zhì).下面我們重點(diǎn)對(duì)涉及二次不等式的有關(guān)問(wèn)題進(jìn)探討并予以歸納.

1.直接利用概念、性質(zhì)類

此類問(wèn)題只要熟悉相關(guān)概念、性質(zhì)，一般比較簡(jiǎn)單.如：

【例1】 二次函數(shù)y=ax²+bx+c(x∈R)部分對(duì)應(yīng)值如下表：

則求不等式ax²+bx+c＞0的解集.

分析：（1）從二次函數(shù)的角度：只要求出函數(shù)關(guān)系式，利用相應(yīng)性質(zhì)非常簡(jiǎn)單就可以解決問(wèn)題.這樣本題就轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的解析式.思路有三，其一設(shè)一般式y(tǒng)=ax²+bx+c用待定系數(shù)法.其二頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)(p，h)，可設(shè)關(guān)系式y(tǒng)=a(x-p)²+h再根據(jù)題設(shè)條件求出a即可.其三交點(diǎn)式，(x₁，0)，(x₂，0)設(shè)函數(shù)式為y=a（x-x₁）(x-x₂)，求出a即可．

（2）直接利用二次不等式解集定理，只需要知道函數(shù)與軸x交點(diǎn)及a的符號(hào)既可求解過(guò)程略.

2.等價(jià)轉(zhuǎn)化類：

解決此類問(wèn)題一要抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)(包括隱含條件)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?dāng)然也包括一些簡(jiǎn)單技巧的應(yīng)用.下面通過(guò)兩個(gè)簡(jiǎn)單例子說(shuō)明：

【例2】 已知關(guān)于x的不等式x>ax²+3/2的解集為：{x｜4

分析：本題考察不等式的解與方程根之間關(guān)系，注意題目特點(diǎn)x與x存在一種二次關(guān)系.可采用換元解決，設(shè)x=t(2at²+3/2,這樣本題成為關(guān)于t的二次不等式.過(guò)程略.

【例3】 已知不等式x²+px+1>2x+p.

(1)若不等式在｜p｜≤2時(shí)恒成立，求x的范圍.

(2)若不等式在2≤x≤4時(shí)恒成立，求p的范圍.

分析：此題含有兩個(gè)參數(shù)的不等式問(wèn)題不能按常規(guī)處理，否則有可能使求解復(fù)雜化.解決關(guān)鍵是確定好不等式中的主變量，然后以主變量為出發(fā)點(diǎn)，選擇適當(dāng)解法．一般地確定主變量原則是：題目范圍確定的量應(yīng)視為主變量，另一個(gè)看成常數(shù).據(jù)此第(1)個(gè)問(wèn)題看成關(guān)于p的不等式，(2)問(wèn)反之.

解析:(1)原不等式可化為(x-1)p+x²-2x+1>0.

令f(p)=(x-1)p+x²-2x+1,則為線性函數(shù)(x=1顯然不成立)，因而有：

f(-2)>0且f(2)＞0,即(x-1)(-2)+x²-2x+1>0,且(x-1)?2+x²-2x+1>0.

解之得x>3或x<-1.

(2)原式可化為(x-1)p＞x²+2x-1,

又∵2≤x≤4,

∴p＞(-x²+2x-1)/(x-1)=1-x,即﹑＞(1-x)﹎ax=-1.

3.綜和類

解決此類問(wèn)題需要有較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)，靈活應(yīng)用一些解題技巧以及相關(guān)數(shù)學(xué)思想.

【例4】 函數(shù)f(x)=ax²+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)(-1，0)，是否存在常數(shù)a、b、c使不等式x≤f(x)≤x²+12對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立?