反證法及其應(yīng)用

劉唐軍

反證法是一種重要的證明方法，它在數(shù)學(xué)命題的證明中有直接證法所起不到的作用.如果能恰當(dāng)?shù)厥褂梅醋C法，就可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化不可能為可能.反證法的邏輯思維性較強(qiáng)，數(shù)學(xué)語言的準(zhǔn)確性高，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、閱讀理解能力、樹立正確的數(shù)學(xué)觀具有重要意義，同時(shí)它又是大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).因此，反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位.下面談?wù)勎覍?duì)反證法及其應(yīng)用的一些看法.

反證法是屬于“間接證明法”一類，是通過證明矛盾命題（即原命題的否定命題）為假，進(jìn)而證明原命題為真的證明方法.反證法的實(shí)質(zhì)就是肯定命題的假設(shè)而否定其結(jié)論，從而導(dǎo)致矛盾.具體地說，反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則、定義或者已經(jīng)證明為正確的命題相矛盾，從而使命題獲得證明.

反證法的理論依據(jù)是邏輯思維中的“矛盾律”和“排中律”.根據(jù)邏輯學(xué)，在同一思維過程中，對(duì)同一對(duì)象的兩個(gè)互相矛盾的判斷，其中至少有一個(gè)是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”.對(duì)同一對(duì)象的肯定判斷與否定判斷，這兩個(gè)相矛盾的判斷必有一個(gè)是真的，即“或者是A或者是非A”，這就是邏輯思維中的排中律.反證法在證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時(shí)為真，至少有一為假，而已知條件、已知公理、定理、法則、定義或者已證明為正確的命題都是真的，且推理又是正確的.故否定的結(jié)論為假.再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這兩個(gè)相矛盾的判斷必有一個(gè)是真的，于是便得到原命題結(jié)論必為真.這就是反證法的理論依據(jù).

了解了反證法，必想知道哪些命題適宜用反證法證明.要一般地回答這個(gè)問題，是不容易的，也不是絕對(duì)的.在此，提出如下幾類適宜用反證法證明的命題.

1.有些命題含有涉及到各種“無限”形式的結(jié)論.如要證明某種元素的個(gè)數(shù)“無限多”，直線或平面間的交點(diǎn)“無限遠(yuǎn)”（即平行），數(shù)的“無限表示”（即無理數(shù)）等.由于我們直接證明無限的手段還不多，因此常要借助反證法.