分類思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

陳大寧

數(shù)學(xué)分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，將其分成幾個(gè)不同種類的一種數(shù)學(xué)思想，它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法，它貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容中．就其引起分類的原因，可歸結(jié)為：①涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的；②運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的；③求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種多種可能的；④數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的取值會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)果的．應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問題簡單化，使學(xué)生更易于掌握系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識．

一、滲透分類思想，養(yǎng)成分類的意識

每個(gè)學(xué)生在日常生活中都具有一定的分類知識，如動(dòng)植的分類、物品的分類等，我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移

到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)分類思想的滲透．如數(shù)的分類，絕對值的意義，不等式的性質(zhì)等，都是滲透分類思想的很好機(jī)會(huì)．

教授完負(fù)數(shù)、有理數(shù)的概念后，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對有理數(shù)進(jìn)行分類，讓學(xué)生了解到對不同的標(biāo)準(zhǔn)，有理數(shù)有不同的分類方法．如：

認(rèn)識數(shù)a可表示任意數(shù)后，讓學(xué)生對數(shù)a進(jìn)行分類，得出正數(shù)、零、負(fù)數(shù)三類．

結(jié)合“有理數(shù)”這一章的教學(xué)，反復(fù)滲透，強(qiáng)化數(shù)學(xué)分類思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類的意識．并能在分類討論的時(shí)候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，如若不然，對象混雜，標(biāo)準(zhǔn)不一，就會(huì)出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯(cuò)誤．如把有理數(shù)分為：正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)，就是犯分類標(biāo)準(zhǔn)不一的錯(cuò)誤．在確定對象和標(biāo)準(zhǔn)之后，還要注意分清層次，不越級討論．

二、學(xué)習(xí)分類方法，增強(qiáng)思維的縝密性

在教學(xué)中滲透分類思想時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，根據(jù)對象的屬性，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答．掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關(guān)鍵所在．

初中階段數(shù)學(xué)分類的方法常有以下幾種：

1．根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進(jìn)行分類

有些數(shù)學(xué)概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進(jìn)行分類．

如：化簡｜x-2｜.

解：根據(jù)絕對值的概念，可分為三種情況進(jìn)行討論．

當(dāng)x-2＞0，即x＞2時(shí)，原式=x-2．

當(dāng)x-2=0，即x=2時(shí)，原式=0．

當(dāng)x-2＜0，即x＜2時(shí)，原式=2-x．

2．根據(jù)數(shù)學(xué)的法則、性質(zhì)或特殊規(guī)定進(jìn)行分類

如：解關(guān)于x的不等式：ax+3＞2x+a.

解：不等式可化為(a-2)x＞a-3.

當(dāng)a-2＞0，即a＞2時(shí)，不等式的解是x＞(ａ-3)/(ａ-2)．

當(dāng)a-2=0，即a=2時(shí)，不等式的左邊=0，不等式的右邊=-1，不等式恒成立，所以不等式的解是一切實(shí)數(shù)．

當(dāng)a-2＜0，即a＜2時(shí)，不等式的解是x＜(ａ-3)/(ａ-2)．

3．根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進(jìn)行分類

如：三角形按角分類有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；按邊分類有斜三角形、等腰三角形；直線和圓根據(jù)直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交．

三、引導(dǎo)分類討論，提高合理解題的能力

初中課本中有不少定理、法則、公式、習(xí)題，都需要分類討論，在教授這些內(nèi)容時(shí)，應(yīng)不斷強(qiáng)化學(xué)生分類討論的意識，讓學(xué)生認(rèn)識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結(jié)論才是完整的、正確的.

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題．其二是根據(jù)幾何圖形的點(diǎn)和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題．

如：已知函數(shù)y=(m-1)x²+(m-2)x-1(m是實(shí)數(shù))．

如果函數(shù)的圖象和x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值．

分析：這里從函數(shù)分類的角度討論，分m-1=0和m-1≠0兩種情況來研究解決問題．

解：

當(dāng)m-1=0，即m＝1時(shí)，函數(shù)就是一個(gè)一次函數(shù)y=-x-1，它與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)(-1，0)．

當(dāng)m-1≠0，即m≠1時(shí)，函數(shù)就是一個(gè)二次函數(shù)y=(m-1)x²+(m-2)x-1．

當(dāng)Δ=(m-2)²+4(m-1)=0，得m=0．

此時(shí)拋物線y＝-ｘ²-2x-1的頂點(diǎn)(-1，0)在x軸上．

由以上的幾個(gè)例子，我們可以看出分類討論往往能使一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問題變得簡單．另一方面，在討論當(dāng)中，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．