三角形的邊與角

龍克棟　韓　鋒

三角形三邊關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理及全等三角形的識(shí)別都是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，在中考中占有較大的比重，應(yīng)引起高度重視．

一、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用

例1△ABC中，三邊長(zhǎng)為3，x，8，求x的取值范圍.若三角形周長(zhǎng)為偶數(shù)，求周長(zhǎng)的最大值.

分析：可以根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”來解．

解：因3，x，8是△ABC的三邊長(zhǎng)，故8-3

因周長(zhǎng)是偶數(shù)，3+8=11為奇數(shù)，故x只能取奇數(shù).

而5

∴△ABC的周長(zhǎng)的最大值為11+9=20.

∴x的取值范圍為5

點(diǎn)撥：在應(yīng)用三角形三邊關(guān)系解題時(shí)，應(yīng)注意是“任意兩邊”． 求周長(zhǎng)的最大值有些技巧性，也可用比較“笨”的方法，把x從大到小依次代入，看是否讓周長(zhǎng)成為偶數(shù).

二 三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

例2如圖1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，試說明∠BPC與∠A之間的關(guān)系.

分析：∠BPC在△BPC中，與∠1和∠2的和為180°．而∠1、∠2和∠ABC、∠ACB又有明顯的關(guān)系，進(jìn)而可以和∠A建立聯(lián)系．

解：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACB，

∴∠1=1/2∠ABC，∠2=1/2∠ACB.

又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴∠1+∠2=1/2（180°-∠A）.

∵∠BPC=180°-（∠1+∠2），

∴∠BPC=90°+1/2∠A.

點(diǎn)撥：同學(xué)們可研究同類的問題“三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與一個(gè)外角平分線的夾角與第三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系”，“兩個(gè)同側(cè)外角的平分線的夾角與第三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系”，如圖2、圖3．

三 全等三角形的識(shí)別

例3如圖4，四邊形ABCD中，AB>AD，AC平分∠BAD.若∠B+∠D=180°，求證：CD=CB.

分析：要證CD=CB，可設(shè)法把CD、CB放在兩個(gè)全等三角形中.又因?yàn)锳C是∠BAD的平分線，因此可以以AC為橋梁構(gòu)造兩個(gè)全等三角形．

證明：作CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分別為E、F，如圖5，則△ACE≌△ACF（AAS），CE=CF.

∵∠CDE+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°，

∴∠CDE=∠B.

∴△CDE≌△CBF（AAS）.

∴CD=CB.

點(diǎn)撥：題中有角平分線與其他直線的交點(diǎn)時(shí)，經(jīng)常過交點(diǎn)作角兩邊的垂線.

四 綜合應(yīng)用

例4如圖6，在△ABC中，AB=BC=CA.在△ABC的頂點(diǎn)A、C處各有一只小螞蟻，它們同時(shí)出發(fā)，以相同速度由A向B和由C向A爬行.經(jīng)過t s后，它們分別爬行到了D、E處.設(shè)CD與BE的交點(diǎn)為F.

（1）證明△ACD≌△CBE.

（2）在小螞蟻爬行過程中（不考慮起點(diǎn)、終點(diǎn)處），CD與BE所成的∠BFC的大小有無變化？請(qǐng)說明理由.

分析：兩只小螞蟻同時(shí)出發(fā)以相同速度運(yùn)動(dòng)，所以AD=CE.又因?yàn)锳C=CB，∠A=∠ACB，所以△ACD與△CBE全等，進(jìn)而得角之間的關(guān)系，可知∠BFC的大小不變．

解：（1）略．

（2）∵△ACD≌△CBE（已證），

∴∠BFC=180°-∠EBC-∠BCD=180°-∠ACD-∠BCD=180°-∠ACB=180°-60°=120°.

∴∠BFC的大小不變.

點(diǎn)撥：同學(xué)們可探究一個(gè)類似的問題：如圖7，在正方形ABCD中，兩只螞蟻同時(shí)分別從A、B出發(fā)，向B、C運(yùn)動(dòng)，速度一樣.經(jīng)過t s后，它們分別爬到了P、Q兩點(diǎn).試問：PC與QD所成的角∠QOC的大小有無變化？為什么？