等腰三角形分類(lèi)討論新策略——從角著手

陳伯平

等腰三角形問(wèn)題常需分情況討論.按邊討論，這是較為常見(jiàn)的方法.下面舉兩個(gè)從角著手進(jìn)行討論的問(wèn)題，以便讀者能從中體會(huì)出等腰三角形考題的命題新趨勢(shì).

例1等腰△ABC中，∠A比∠B的2倍少50°，求∠B．

分析：由于題中并未說(shuō)明哪個(gè)角是頂角或底角，所以需分情況討論.我們可以先用含∠B的代數(shù)式表示∠A，用內(nèi)角和定理再求出∠C，然后再分別求出各種情況下的∠B．

解：設(shè)∠B=x.

∴∠A=2x-50°.

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠C=180°-（2x-50°）-x=230°-3x.

當(dāng)AB=AC時(shí)，有∠B=∠C，得x=230°-3x，解得x=57.5°.

當(dāng)BA=BC時(shí)，有∠A=∠C，得2x-50°=230°-3x，解得x=56°.

當(dāng)CA=CB時(shí)，有∠A=∠B，得2x-50°=x，解得x=50°.

綜上所述，∠B為57.5°或56°或50°．

點(diǎn)評(píng)：本題要求的是等腰三角形的內(nèi)角，這類(lèi)問(wèn)題通常要分類(lèi)討論．本題巧妙地采用設(shè)未知數(shù)的方法，使得三個(gè)角都能用含未知數(shù)的代數(shù)式來(lái)表示，再根據(jù)三角形頂角、底角的情況進(jìn)行分類(lèi)討論．分類(lèi)討論時(shí)，并不一定只有兩種情況.

例2△ABC中，∠C是其最小的內(nèi)角，過(guò)頂點(diǎn)B的一條直線(xiàn)把這個(gè)三角形分割成了兩個(gè)等腰三角形.請(qǐng)?zhí)角蟆螦BC與∠C之間的關(guān)系．

分析：由于只知道過(guò)頂點(diǎn)B的一條直線(xiàn)把這個(gè)三角形分割成了兩個(gè)等腰三角形，所以需要對(duì)兩個(gè)三角形分別分類(lèi)討論.而每個(gè)三角形都有三種“等腰”的情況（每?jī)蛇呄嗟龋?，故兩個(gè)三角形結(jié)合起來(lái)就有9種情況，但根據(jù)題目的具體要求，可把不合題意的排除掉.每一種情況中，要用含∠ABC或∠C的代數(shù)式表示三角形的其他的內(nèi)角.要重視“等腰三角形兩個(gè)底角相等”性質(zhì)的應(yīng)用，化簡(jiǎn)后即得所求的關(guān)系.

解：設(shè)∠C=x，∠ABC=y，過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)交AC邊于點(diǎn)D．在△DBC中：

（1）若∠C是頂角，如圖1，則∠CDB<90°，故∠ADB>90°.

∠CBD=∠CDB=1/2（180°-x）=90°-1/2x.

∠A=180°-x-y．

對(duì)△ABD來(lái)說(shuō)，此時(shí)只能有∠A=∠ABD，故180°-x-y=y-90°-1/2x.

∴3x+4y=540°.∠ABC=135°-1/2∠C．

（2）若∠C是底角，則有兩種情況．

（?。┤鐖D2，當(dāng)DB=DC時(shí)，則∠CBD=∠C=x.

△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y-x．

①若AB=AD，得∠ADB=∠ABD，2x=y-x，此時(shí)有y=3x，故∠ABC=3∠C．

②若BA=BD，得∠A=∠ADB，180°-x-y=2x，此時(shí)3x+y=180°，故∠ABC=180°-3∠C．

③若DA=DB，得∠A=∠ABD，180°-x-y=y-x，此時(shí)y=90°，故∠ABC=90°.∠C為不大于45°的任意銳角（因∠C是最小的內(nèi)角）．

（ⅱ）如圖3，當(dāng)BD=BC時(shí)，∠BDC=∠C=x<90°，故∠ADB=180°-x>90°，此時(shí)只能有AD=BD.從而∠A=∠ABD=1/2∠BDC=1/2∠C<∠C.

這與題設(shè)中的∠C是最小內(nèi)角矛盾．

∴當(dāng)∠C是底角時(shí)，BD=BC不成立．

點(diǎn)評(píng)：本題是由無(wú)錫市2007年中考題的最后一題改編過(guò)來(lái)的，重點(diǎn)考查三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的兩底角相等、等腰三角形的分類(lèi)討論等.事實(shí)上，同學(xué)們?cè)谧鲞@道題時(shí)往往漏解，同時(shí)也有同學(xué)沒(méi)發(fā)現(xiàn)題中有兩大類(lèi)存在∠ADB>90°的事實(shí)（能減小分類(lèi)的數(shù)目），甚至因情況太多而沒(méi)耐心做下去.分類(lèi)討論中，把不合題意的情形舍棄掉，是這道題給我們最大的啟示.