一元一次不等式（組）應用題賞析

王德義

一元一次不等式（組）在實際生活中的應用非常廣泛．有關的應用題常見有以下兩類：一類是通過求不等式（組）的解集解答問題，一類是通過求不等式（組）的特殊解解答問題.現采擷幾道近年的中考題予以分析、總結，供同學們參考.

一、求解集解答實際問題

例1 （江西）小杰到食堂買飯，看到A、B兩個窗口前面排隊的人一樣多（設為a人，a＞8），就站到A窗口的隊伍后面．過了2 min，他發(fā)現A窗口每分鐘有4人買好飯離開隊伍，B窗口每分鐘有6人買好飯離開隊伍，且B窗口隊伍后面每分鐘增加5人．

（1）此時，若小杰繼續(xù)在A窗口隊伍排隊，他到達窗口還需要花多長時間？（用含a的代數式表示）

（2）此時，若小杰迅速從A窗口隊伍轉移到B窗口隊伍后面重新排隊，且到達B窗口所花的時間比繼續(xù)在A窗口隊伍排隊到達A窗口所花的時間少，求a的取值范圍（不考慮其他因素）.

解：（1） ∵A窗口每分鐘有4人買好飯離開隊伍，

∴2 min內有8人離開隊伍．

∴小杰到達A窗口還需要 min．

（2） ∵B窗口每分鐘有6人買好飯離開隊伍，且隊伍后面每分鐘又增加5人，

∴小杰轉移到B窗口隊伍后面到達B窗口還需要 min．

根據題意，得＞，解得a＞20．

∴a的取值范圍是a＞20．

評注：本題重點考查根據實際問題列不等式的能力.

例2 （南充市）某學校計劃購買40支鋼筆和若干本筆記本（筆記本數超過鋼筆數）．甲、乙兩家文具店的標價都是鋼筆每支10元，筆記本每本2元．甲店的優(yōu)惠方式是鋼筆打9折，筆記本打8折；乙店的優(yōu)惠方式是每買5支鋼筆送1本筆記本，鋼筆不打折，購買的筆記本打7．5折．問：購買筆記本的數量在什么范圍內時到甲店更合算？

解：設要購買筆記本x（x＞40）本，依題意，得

10×0．9×40＋2×0．8x＜10×40＋2×0．75×（x－8）．

解得x＜280．

∴ 當購買的筆記本數小于280本且大于40本時到甲店更合算．

評注：本題以學生熟悉的學習用具為題材，貼近學生的實際生活，考查了在實際問題中構建不等式的能力.在確定最后結論時，應特別注意題設條件：筆記本數超過鋼筆數.

二、求特殊解解答實際問題

例3 （廣東）將一箱蘋果分給若干位小朋友．若每位小朋友分5個蘋果，則還剩12個蘋果；若每位小朋友分8個蘋果，則有一位小朋友分不夠8個蘋果．求這一箱蘋果的個數與小朋友的人數.

分析：本題關鍵是要抓住題中“若每位小朋友分8個蘋果，則有一位小朋友分不夠8個蘋果”這一條件來建立關系式.

解：設有x位小朋友，則蘋果為（5x＋12）個．

依題意，得0＜8x－（5x＋12）＜8．

解得4＜x＜．

∵ x是正整數，∴ x取5或6．

當x＝5時，5x＋12＝37；當x＝6時，5x＋12＝42．

∴ 有兩種情況滿足題意：①這一箱蘋果有37個，小朋友有5位；②這一箱蘋果有42個，小朋友有6位.

評注：本題考查了不等式的正整數解的求法．解題時應注意在不等式解集內找出所有符合題意的解.

例4 （旅順口區(qū)）仔細觀察下圖，認真閱讀對話．

根據對話的內容，試求出餅干和牛奶的標價．

分析：從營業(yè)員的一段話可以得出三個關系式：①一盒餅干的價格低于10元；②一盒餅干的價格和一袋牛奶的價格合計多于10元；③一盒餅干的價格打9折后和一袋牛奶的價格合計為（10－0．8）元.從對話中還可知道一盒餅干的標價是整數元.

解：設餅干的標價為每盒x元，則牛奶的標價為每袋（10－0．8－0．9x）元．

依題意，得x＋（10－0．8－0．9x）＞10，

x＜10．

解得8＜x＜10．

∵ x是整數，∴ x＝9．所以10－0．8－0．9x＝1．1．

∴ 餅干每盒標價為9元，牛奶每袋標價為1．1元．

評注：該題由傳統(tǒng)的“敘述式”變?yōu)椤罢勗捠健?，形式新穎、別致，給學生一種輕松自然的感覺.本題既考查了識圖、讀圖的能力，又考查了一元一次不等式組的特殊解的求法及其在實際問題中的應用．這種新題型是近幾年中考的熱點之一，希望同學們多加關注.