勾股定理史話

田載今

教科書(shū)第十八章《勾股定理》中，除了包括勾股定理及其逆定理的知識(shí)內(nèi)容外，還介紹了關(guān)于這些內(nèi)容的一些歷史資料，體現(xiàn)了濃重的數(shù)學(xué)文化氣息.

古代中國(guó)人把直角三角形較短的直角邊叫做勾，較長(zhǎng)的直角邊叫做股，斜邊叫做弦.由于勾和股兩者的長(zhǎng)確定后，弦的長(zhǎng)也隨之確定，所以人們把反映勾、股、弦長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系的一個(gè)命題稱為勾股定理.這個(gè)定理的敘述形式并不復(fù)雜，即“直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”，寥寥二十余個(gè)漢字就表達(dá)了它；又可以用數(shù)學(xué)式子的形式表達(dá)為：“若直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為a、b，斜邊的長(zhǎng)為c，則a2+b2=c2.” 勾股定理在數(shù)學(xué)中具有重要的地位，它揭示了直角三角形的三邊之間的一種特有規(guī)律.人們對(duì)它的發(fā)現(xiàn)和研究可以追溯到遠(yuǎn)古的年代.

[一][勾股定理的發(fā)現(xiàn)有悠久的歷史]

公元前約2 000年的巴比倫人對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展有重要貢獻(xiàn).從考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)的大約公元前15世紀(jì)的楔形文字，數(shù)學(xué)家推斷當(dāng)時(shí)的巴比倫人已經(jīng)知道了勾股定理所揭示的內(nèi)容.

中國(guó)人對(duì)勾股定理的發(fā)現(xiàn)也位居世界前列.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載，周公問(wèn)商高有關(guān)測(cè)量的問(wèn)題，商高的回答中提到，作一個(gè)邊長(zhǎng)分別為3，4，5的三角形，就可以畫(huà)出直角，并提到大禹治水時(shí)就曾用這種方法進(jìn)行測(cè)量.雖然“勾三股四弦五”所說(shuō)的只是一種特殊的直角三角形，但是商高所說(shuō)內(nèi)容畢竟是涉及勾股定理的最早記載之一.

《周髀算經(jīng)》中還有另一涉及勾股定理的記載“陳子測(cè)日”，說(shuō)的是一個(gè)叫陳子的人，他曾利用測(cè)量桿子及其影子的方法計(jì)算太陽(yáng)與測(cè)量者的距離.陳子計(jì)算直角三角形的斜邊時(shí)，所用方法是“勾股各自乘，并而開(kāi)方除之”.用現(xiàn)在的語(yǔ)言說(shuō)，即“兩條直角邊各自平方，相加后再開(kāi)平方”.可見(jiàn)他已認(rèn)識(shí)到了一般直角三角形中三邊之間的數(shù)量關(guān)系，并能熟練地運(yùn)用它解決問(wèn)題.“陳子測(cè)日”比商高的話更進(jìn)一步反映了勾股定理的本質(zhì).

公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了直角三角形中三邊之間的數(shù)量關(guān)系，相傳他是觀察地板磚時(shí)受到啟發(fā)的，教科書(shū)中對(duì)此有所介紹.西方人稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理.有數(shù)學(xué)史學(xué)者說(shuō)，畢達(dá)哥拉斯年輕時(shí)曾在巴比倫學(xué)習(xí)，還可能到過(guò)印度，而巴比倫人早已知道直角三角形中三邊之間的數(shù)量關(guān)系.中國(guó)人在畢達(dá)哥拉斯之前也已知道它并可能將其傳至印度，所以畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)有可能與前人的研究有關(guān).但是這種猜測(cè)有待進(jìn)一步考證.

[二][勾股定理的證明有多種方法]

公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在前人研究成果的基礎(chǔ)上，編寫(xiě)了一部非常重要的數(shù)學(xué)著作《幾何原本》.在這部書(shū)中，歐幾里得給出了如下的勾股定理證法.

如圖1，以Rt△ABC的三邊為邊，分別向外作三個(gè)正方形AGFB，BDEC，CKHA.連接AD，CF，作AL⊥DE于L，交BC于M.正方形AGFB的面積=2×△FBA的面積=2×△FBC的面積，長(zhǎng)方形BDLM的面積=2×△MBD的面積=2×△ABD的面積，而△FBC≌△ABD（SAS），所以正方形AGFB的面積=長(zhǎng)方形BDLM的面積.類似地可證，正方形CKHA的面積=長(zhǎng)方形MLEC的面積.因此，正方形BDEC的面積=長(zhǎng)方形BDLM的面積＋長(zhǎng)方形MLEC的面積=正方形AGFB的面積＋正方形CKHA的面積，即BC2=AB2+AC2.

勾股定理引起許多人的興趣，大家給出了很多種證明方法，甚至連身居高位的政治家也對(duì)它著迷.圖2是美國(guó)第20任總統(tǒng)加菲爾德給出的一種證法.他以邊長(zhǎng)分別為a、b、c的Rt△ABC為基礎(chǔ)，構(gòu)造了梯形ACDE.這個(gè)梯形的面積等于圖中三個(gè)三角形面積的和，即（a+b）2=2×ab+c2.于是，得a2+b2=c2.

據(jù)統(tǒng)計(jì)，人們對(duì)勾股定理前前后后給出了400多種證法，這使得勾股定理成為證法最多的一個(gè)定理.

[三][勾股定理的地位非常重要]

勾股定理是一個(gè)非常重要的定理.它的影響不僅是在平面幾何方面，而且深入到數(shù)學(xué)的其他分支.在今后的學(xué)習(xí)中，你會(huì)感受到勾股定理非常有用.下面給出幾個(gè)這方面的例子.

三角函數(shù)是一類重要的函數(shù)，對(duì)它的研究也與勾股定理有密切聯(lián)系.

在Rt△ABC中，∠C是直角，銳角∠A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦函數(shù)，∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦函數(shù).由勾股定理可以推出這兩個(gè)函數(shù)的平方和

2+

2===1，于是得到同一個(gè)銳角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)之間的一種重要關(guān)系，即它們的平方和總是常數(shù)1.類似地，對(duì)于任意角（不限于銳角）的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，利用勾股定理也能得到同樣結(jié)論.在這種關(guān)系的基礎(chǔ)上，又可以進(jìn)一步得到更多的三角函數(shù)公式.

解析幾何是通過(guò)坐標(biāo)方法來(lái)研究幾何圖形的一個(gè)數(shù)學(xué)分支.兩點(diǎn)間的距離公式是解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)它的推導(dǎo)是勾股定理的又一應(yīng)用.

如圖3，設(shè)平面直角坐標(biāo)系中有P（x1，y1）和Q（x2，y2）兩點(diǎn)，則由勾股定理可知線段PQ的長(zhǎng)為，于是得到平面上兩點(diǎn)的距離公式PQ=.

如圖4，在以O(shè)（0，0）為圓心，r為半徑的圓上，任意一點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)的距離都等于r，于是有=r，即x2+y2=r2.這就是解析幾何中關(guān)于這個(gè)圓的方程.顯然，它也是以勾股定理為基礎(chǔ)得出的.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。