“解決問題”教學(xué)的關(guān)注重點(diǎn)

平國強(qiáng)

小學(xué)數(shù)學(xué)中的“解決問題”可以廣義地理解為通過思考，設(shè)計(jì)某種程序或行動(dòng)，使“他”從當(dāng)前的狀態(tài)到達(dá)所期望的目標(biāo)的狀態(tài)。這里所說的“問題”，是指他有一個(gè)目標(biāo)，但他不能用原有的經(jīng)驗(yàn)直接到達(dá)目標(biāo)，即當(dāng)前狀態(tài)與目標(biāo)狀態(tài)之間存在障礙，故解決問題重在過程。顯然，“解決問題”應(yīng)該是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方式，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“常態(tài)”。數(shù)學(xué)概念、計(jì)算法則、空間知識(shí)等的學(xué)習(xí)，都應(yīng)該體現(xiàn)為解決問題的過程，只有在過程中，學(xué)生才能真正學(xué)會(huì)探索、學(xué)會(huì)應(yīng)用、發(fā)展思維。

然而，當(dāng)我們提及“解決問題”教學(xué)時(shí)，其內(nèi)涵往往是特指教材中以“解決問題”為標(biāo)題或以此為指向的例題和單元。這樣理解未嘗不可，但容易產(chǎn)生一個(gè)問題：將“解決問題”與原來的“應(yīng)用題”等同起來。

狹義地講，數(shù)學(xué)中的“解決問題”是根據(jù)數(shù)學(xué)情境，理解與簡化信息，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，分析問題結(jié)構(gòu)，提煉數(shù)量關(guān)系與方法模型，獲得問題結(jié)果或解決的程序，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維的過程。因此，無論是廣義還是狹義的理解，“解決問題”教學(xué)與“應(yīng)用題”教學(xué)都是有區(qū)別的。傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)，其目標(biāo)是使學(xué)生熟練解答各類形式化的習(xí)題，一類一例，分類訓(xùn)練，以便再次碰到相同類型的問題時(shí)能正確回憶，順利解決。重視的是解題，關(guān)注的是形式，造成了應(yīng)用題與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容割裂封閉，獨(dú)立成體系。新課程里的“解決問題”，旨在通過讓學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，解決帶有現(xiàn)實(shí)背景的數(shù)學(xué)問題，從而提高學(xué)生的知識(shí)運(yùn)用能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。因此它更關(guān)注解決問題的過程與策略，關(guān)注學(xué)生從問題情境中獲取信息、提煉方法模型的經(jīng)歷，關(guān)注學(xué)生在解決問題過程中表現(xiàn)出來的思維的個(gè)性化和創(chuàng)造性，關(guān)注由此積累起來的解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)和這種經(jīng)驗(yàn)的遷移能力，從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

由此可見，“解決問題”教學(xué)的核心是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而這也是數(shù)學(xué)教育的根本目的。本文就從這個(gè)角度提出“解決問題”教學(xué)應(yīng)該關(guān)注的重點(diǎn)。

一、見樹見林，整體把握“思維梳理”的階梯。

從教師的角度看，胸中有全局，了解并熟悉小學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)學(xué)習(xí)階段“解決問題”的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)及學(xué)習(xí)過程中的思維關(guān)注點(diǎn)，是十分重要的。唯此，我們才能避免教學(xué)中的“見樹不見林”現(xiàn)象，保持思維梳理的延續(xù)性，這在當(dāng)前傳統(tǒng)的應(yīng)用題內(nèi)容與教法體系被完全打破，而新的內(nèi)容與教法體系尚處混沌初開的時(shí)節(jié)顯得尤為必要。

1.把握解決問題的縱向發(fā)展階段。

通過分析可以知道，小學(xué)數(shù)學(xué)“解決問題”總體上呈現(xiàn)如下特征：問題情境從“非形式化、非良構(gòu)型、非類型化”向“形式化、良構(gòu)型和適度類型化”發(fā)展；解答方法從“倡導(dǎo)自主多樣”向“構(gòu)建基本模型”發(fā)展。事實(shí)上，這個(gè)過程正反映了“生活數(shù)學(xué)”向“學(xué)校數(shù)學(xué)”的上升過程，其間對(duì)思維訓(xùn)練的要求逐步提高。

“解決問題”在內(nèi)容上則呈現(xiàn)出以下階段性的特征：

由此可見，只有把握好各個(gè)教學(xué)階段的思維梳理重點(diǎn)，才能將“解決問題”的教學(xué)目標(biāo)落到實(shí)處，有效有序地促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

2.注意解決問題類型的橫向拓展。

現(xiàn)行實(shí)驗(yàn)教材所設(shè)計(jì)的“解決問題”的例題與以往的教材相比，大大地減少了。在這樣的背景下，我們必須思考：“解決問題”是否就是學(xué)習(xí)這幾個(gè)例題所呈現(xiàn)的問題類型？學(xué)生解決問題的能力如何得到真正的提高？筆者的觀點(diǎn)是應(yīng)該采用“由典型例題向一般數(shù)學(xué)問題拓展”的設(shè)計(jì)思路，改變以往那種“通過大量的例題學(xué)習(xí)與形式訓(xùn)練讓學(xué)生掌握各類問題的解答方法”的教學(xué)思路，將例題所提供的解決問題的方法作為基本的思考模型，去實(shí)現(xiàn)“多情境、跨領(lǐng)域”的問題拓展。例如：

這些拓展性的問題，擁有共同的解法模型，但卻不局限于例題的類型，使學(xué)生能不斷面臨新的問題，主動(dòng)思考。

二、突出關(guān)鍵，明確解決問題的思維過程。

這是在明確各階段的教學(xué)內(nèi)容和思維梳理重點(diǎn)基礎(chǔ)上的又一個(gè)關(guān)注點(diǎn)，它應(yīng)體現(xiàn)兩個(gè)方面：一是面對(duì)具體問題時(shí)知道解決的思維過程，二是清楚解決該問題的關(guān)鍵所在。它涉及問題能否被順利解決這一基本目標(biāo)。

1.梳理解決問題的思維過程。

如果將G·波利亞關(guān)于數(shù)學(xué)解題過程的論述作一個(gè)簡化提煉，應(yīng)該可以用“理解、轉(zhuǎn)換、實(shí)施、反思”八個(gè)字來表示，而這正是教師在解決問題的教學(xué)中需要通過思考、交流與梳理讓學(xué)生領(lǐng)悟到的解決問題的一般過程，并且前兩個(gè)步驟應(yīng)該成為我們梳理的重點(diǎn)。因?yàn)椤袄斫馀c轉(zhuǎn)換”實(shí)際上反映了“數(shù)學(xué)信息的獲取與有效信息的篩選、數(shù)量關(guān)系的分析與數(shù)學(xué)語言的表達(dá)、解題思路的把握和解題計(jì)劃的確立”這些重要的思維環(huán)節(jié)，它們是整個(gè)解決問題過程中思維的核心。

例如，下圖是某教材三年級(jí)下冊(cè)“解決問題”中的一個(gè)例題。筆者認(rèn)為類似問題的教學(xué)不應(yīng)僅僅滿足于學(xué)生能列式解答這一例題，而應(yīng)以此為載體，讓學(xué)生領(lǐng)悟到解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題的完整的思維過程，否則，我們將失去數(shù)學(xué)促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的功能與價(jià)值。因此本題應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷以下的數(shù)學(xué)思考過程：

（1）通過觀察與交流獲取有效的數(shù)學(xué)信息，理解情境并形成完整的數(shù)學(xué)問題———某場團(tuán)體操有60人參加表演，他們分成2個(gè)大圈，每個(gè)大圈由5個(gè)小圈組成，問每個(gè)小圈有多少人？

（2）分析信息之間的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)語言表述數(shù)量關(guān)系———其一，每個(gè)大圈的人數(shù)÷小圈的個(gè)數(shù)=每個(gè)小圈的人數(shù)；其二，參加的總?cè)藬?shù)÷小圈的總個(gè)數(shù)=每個(gè)小圈的人數(shù)。這實(shí)際上揭示了兩種解決問題的思路。

（3）選擇解決問題的思路，并思考：根據(jù)所選擇的解題思路，應(yīng)該先算什么，再算什么。

（4）列式解答并反思答案的合理性和問題的解決過程。

以上過程并非多余，它能促進(jìn)學(xué)生在解決問題的過程中思維更有條理，是“問題情境———建立模型———解釋應(yīng)用”過程的具體化，如果通過不斷的領(lǐng)悟而使學(xué)生內(nèi)化為自己的一種思維習(xí)慣，將有助于學(xué)生面對(duì)更復(fù)雜的問題時(shí)擁有正確的思維過程。

2.引導(dǎo)學(xué)生把握問題的關(guān)鍵和思路指向。

一個(gè)完整的、結(jié)構(gòu)良好的問題情境，應(yīng)該具有相關(guān)的數(shù)學(xué)信息和由此提出的數(shù)學(xué)問題，并且這些數(shù)學(xué)信息之間存在著內(nèi)在的、本質(zhì)的聯(lián)系，由此可以生成新的問題或結(jié)論。顯然，當(dāng)呈現(xiàn)的是一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，現(xiàn)有信息的結(jié)論指向與問題所需的信息之間存在著思維的障礙，兩者不能直接連接，要將兩者順利對(duì)接，可能需要一個(gè)過渡性的問題或結(jié)論（中間問題），這便是解決問題的關(guān)鍵。無論是傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)，還是現(xiàn)在的解決問題教學(xué)，這種思維的關(guān)鍵都是客觀存在的，只有清楚地把握并有效地突破思維過程中的關(guān)鍵點(diǎn)，思路才會(huì)暢通，問題才能得以順利解決。

某教師對(duì)教材（人教版三年級(jí)下冊(cè)）例題做了改編：

蘭蘭和她的小伙伴到少兒圖書館參加實(shí)踐活動(dòng)，他們碰到了下面的問題：要把400本新書放到書架上，平均一格要放多少本呢？（圖示兩個(gè)書架，每個(gè)有4格）

教師在教學(xué)中，首先讓學(xué)生獨(dú)立思考、嘗試解決，然后進(jìn)行算式展示和想法交流，最后在此基礎(chǔ)上討論、總結(jié)解決本問題的思路與關(guān)鍵，并用課件直觀演示：

這樣的梳理是必要的，學(xué)生能較好地把握問題的關(guān)鍵，了解不同的思路及相應(yīng)的思考方向，從而確定正確的解題計(jì)劃。

三、學(xué)會(huì)表征，掌握解決問題的思維方法。

問題表征，即將數(shù)學(xué)信息從紛繁的情境中提取出來，根據(jù)信息之間的內(nèi)在聯(lián)系，用數(shù)學(xué)化的語言與方式揭示信息之間的關(guān)系與結(jié)構(gòu)，從而找到解決問題的思路與突破口。它是用可操作的方法將G·波利亞關(guān)于解題過程中的“轉(zhuǎn)換”環(huán)節(jié)加以具體化。

1.結(jié)合問題情境，有意義地表征數(shù)量關(guān)系。

從三年級(jí)開始，小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題從以一步計(jì)算為主轉(zhuǎn)入以兩步計(jì)算為主，即開始兩重?cái)?shù)量關(guān)系的復(fù)合，因而解決問題的思路也變得豐富起來。到了四年級(jí)，類似于“速度×?xí)r間=路程”這樣一般化的數(shù)量關(guān)系正式成為學(xué)習(xí)內(nèi)容，而到五年級(jí)學(xué)習(xí)用方程解決問題時(shí)，“相等關(guān)系”（數(shù)量關(guān)系的發(fā)展）已成為列方程不可逾越的前提。因此，在這一階段，應(yīng)結(jié)合具體的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生表述并揭示其中的數(shù)量關(guān)系，理解每一種算法的思路與信息結(jié)構(gòu)，這樣不僅有利于很好地解決當(dāng)前的數(shù)學(xué)問題，而且也能促進(jìn)學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)。

雞兔同籠問題（即籠內(nèi)雞兔若干，已知有8個(gè)頭，26只腳，問雞兔各幾只），學(xué)生并非完全陌生，很多學(xué)生會(huì)用“假設(shè)法”來解決，但不一定知道“為什么可以用假設(shè)法解決”，“用了假設(shè)思想以后數(shù)量關(guān)系發(fā)生了怎樣的變化”……因此，對(duì)于這樣的問題，教學(xué)時(shí)就更應(yīng)關(guān)注數(shù)量關(guān)系的揭示和算法思路的梳理。以下是一位老師的教學(xué)過程簡錄：

1.揭示問題情境，理解信息：你們能解決這個(gè)問題嗎？

2.學(xué)生嘗試解決問題。

3.匯報(bào)交流。

（1）展示解決問題的方法。

方法一：假設(shè)全部都是兔，4×8-26=6（只）；雞有6÷（4-2）=3（只）；兔有8-3=5（只）。

方法二：設(shè)兔有x只，得4x+（8-x）×2=26，x=5，雞有8-5=3（只）。

方法三：列表。

所以兔有5只，雞有3只。

（2）討論每種方法的思路和數(shù)量關(guān)系，理解算式的意義。

4.觀察交流：想一想，如果請(qǐng)你分類，你覺得這些方法可以分成幾類？

（1）學(xué)生匯報(bào)并闡述理由：

生1：可以分成四類：假設(shè)法、方程法、表格法、畫圖法。

生2：我覺得前面兩種方法是一類，它們都是假設(shè)的，第三種方法一類，第四種方法一類。

生3：我覺得好像可以把第一、第三、第四種方法分成一類，它們都有假設(shè)的意思，第二種方法是方程方法。

……

（2）教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)第三位學(xué)生的意見展開討論，逐步明確：第一、三、四3種方法本質(zhì)上都是假設(shè)，只是第一種假設(shè)的全部都是雞或兔，而另外兩種實(shí)際上假設(shè)部分是雞或兔，所以要逐步調(diào)整，直到找到答案。

5.思考：假設(shè)的目的是什么？

通過討論，明確假設(shè)的目的是為了與實(shí)際的信息產(chǎn)生矛盾，即與總腳數(shù)之間產(chǎn)生一個(gè)差，然后抓住這個(gè)矛盾解決問題。

以上教學(xué)已不僅僅停留在解決單個(gè)問題上，更關(guān)注方法和思路的梳理，關(guān)注數(shù)量關(guān)系的提煉與清晰的表征，促使學(xué)生整體、靈活地掌握解決問題的方法，提高了應(yīng)用能力。

當(dāng)然，數(shù)量關(guān)系表征的方式可以是多樣的，讓學(xué)生自主表征與交流，同樣值得提倡。

另外，數(shù)學(xué)問題豐富多樣，變化紛繁，但是解決問題的思路卻是有章可循的，這就需要在表征數(shù)量關(guān)系時(shí)類化解決問題的思路。一直以來，幾何直觀作為揭示與分析數(shù)量關(guān)系的有效手段而在解決問題的教學(xué)中被我們所重視，同樣在促進(jìn)思路的類化中也具有不可替代的作用，將暗箱中的思維賦予形象化的載體，可以做到既有直觀性，又不失數(shù)學(xué)性，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和問題類化的能力。

2.關(guān)注思維方法，提高解決問題的有效性。

學(xué)生要從當(dāng)前的問題狀態(tài)達(dá)到需要的目標(biāo)狀態(tài)，必須對(duì)數(shù)學(xué)信息和問題之間直接或間接的聯(lián)系進(jìn)行思考與分析，在這個(gè)過程中，綜合思維和分析思維這兩種思維方法起到了重要的作用。

簡單地說，綜合思維是從問題情境中的數(shù)學(xué)信息出發(fā)，分析它們之間的關(guān)系，思考可以得出的可能結(jié)果；而分析思維則是從問題出發(fā)，思考解決該問題所必需的信息是什么，從而有目標(biāo)地從問題情境中尋找相關(guān)的數(shù)學(xué)信息。應(yīng)該說，這兩種思維方法在解決問題的過程中具有同等重要的地位，它們都是對(duì)事物之間本質(zhì)聯(lián)系的把握。事實(shí)上，在解決問題的過程中，兩種思維方法常常是結(jié)合起來運(yùn)用的。綜觀現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材，直接提供問題情境（主題圖或情境圖），讓學(xué)生觀察以后提出問題、再解決問題的設(shè)計(jì)可謂比比皆是，這樣的方式，使學(xué)生的綜合思維能力得到了發(fā)展。反過來，要求學(xué)生從問題出發(fā)，思考解決該問題所必需的數(shù)學(xué)信息的設(shè)計(jì)卻十分稀少，這不能不說是一種遺憾。故筆者認(rèn)為，教師在教學(xué)中應(yīng)關(guān)注并補(bǔ)充類似的教學(xué)設(shè)計(jì)，發(fā)展學(xué)生的分析思維。例如：

學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)上要給每位同學(xué)發(fā)一瓶飲料，根據(jù)現(xiàn)有的信息，請(qǐng)你提出一個(gè)需要兩步計(jì)算解決的數(shù)學(xué)問題，你覺得信息夠嗎？如果要請(qǐng)你解決“三、四年級(jí)每人1瓶，一共要花多少元”這個(gè)問題，需要補(bǔ)充什么信息？

小學(xué)數(shù)學(xué)課，具有公共基礎(chǔ)的性質(zhì)，因此，它不僅僅追求某些方面的精深，更應(yīng)關(guān)注思維方式、方法各方面的均衡與和諧發(fā)展，從這個(gè)角度講，綜合思維與分析思維兩者不應(yīng)偏廢。

“數(shù)學(xué)問題的重要性主要的不僅僅在于其直接的應(yīng)用，而是其數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的價(jià)值和潛在的對(duì)發(fā)展智力的影響?！保ㄈ握凛x，《數(shù)學(xué)思維論》）我們之所以認(rèn)為，解決問題作為提高學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)展思維的有效載體，應(yīng)該結(jié)合教學(xué)內(nèi)容對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過程和思維方法作必要的訓(xùn)練與梳理，使學(xué)生積累必要的解決問題的經(jīng)驗(yàn)，提高數(shù)學(xué)能力，皆是出于這一認(rèn)識(shí)。

（作者單位系浙江省杭州市教研室）