在演繹過程中實現(xiàn)概念建構

數學概念是客觀世界中數量關系和空間形式的本質屬性在人腦中的反映，也是學生數學學習的邏輯起點和進行數學思維的核心。然而，在當前小學數學概念教學中，教師對學生在學習概念時的心理認識和數學概念思維過程的整體把握往往不到位，以致學生數學概念的建構過程不能有效展開。如何演繹概念建構過程，提高概念教學實效呢？

一、關注問題情境與概念本質的巧妙配合

數學問題情境是小學生數學學習的一個重要載體，其核心意義和價值在于能有效地激發(fā)學生的問題意識，促進自主探究活動深入展開。在概念教學中，教師在創(chuàng)設問題情境時應關注學生的前概念掌握情況，充分激活其已有的認知基礎，使問題情境的內涵要素凸顯數學概念的本質屬性，實現(xiàn)問題情境與概念本質的巧妙配合。

1．問題情境創(chuàng)設應充分關注前概念系統(tǒng)。學生不是空著腦袋進課堂的，學生的前概念系統(tǒng)是他們建構新數學概念的起點。就數學概念的學習而言，新概念的建構過程更多地表現(xiàn)為一種前概念系統(tǒng)的擴張過程。因此，教師應充分把握學生的前概念系統(tǒng)，創(chuàng)設富有挑戰(zhàn)性的問題情境，引發(fā)學生已有的認知結構與新概念之間的不平衡，著重引導學生從過去的認知經驗中找出與新概念相關的成分，并通過仔細對比和合理拓展形成新認知、建構新概念。

例如，名師張齊華在執(zhí)教“認識整萬數”時，便很好地做到了這一點。學生在認識整萬數之前，已經認識了萬以內的整數，在平時的學習中對萬以內整數的計數單位、數位以及十進制計數法都有了較為深刻的理解。張老師敏銳地把握住數學知識本身的內在聯(lián)系及其規(guī)律性，并充分發(fā)揮其在知識結構擴展中的作用，巧妙地設計了撥數的游戲：讓學生在只有個級的計數器上撥出3、30、300、3000這四個數。這個環(huán)節(jié)不僅幫助學生回顧了相關的數概念，進一步理解了“同樣多的珠子在不同的數位上能表示不同的數”，同時也鞏固了十進制計數法，為后續(xù)創(chuàng)造性地認識計數單位“萬”奠定了基礎。當游戲進入到撥30 000這個數時，教師精心創(chuàng)設的問題情境與學生已有認知基礎之間發(fā)生了巧妙的作用。“在現(xiàn)有的計數器上撥不出3萬，能想辦法撥出3萬嗎?”這個問題的拋出，給學生的思維帶來了一次挑戰(zhàn)。在嘗試與創(chuàng)造中，學生產生了“合并兩個計數器變成八位計數器”的奇思妙想。在交流討論中，學生用自己樸素而真實的語言道出了計數單位“萬”的概念本質。

2．情境活動內涵應充分關注新概念本質。人們往往能夠在日常生活中找到數學概念的若干原型，這些生活原型具有各種豐富的屬性，有本質的，也有非本質的。學生建構數學概念的過程，實質上就是抽象概括一類對象在數量關系與空間形式方面的本質屬性和舍棄其非本質屬性的過程。因此，教師要注意廣泛地挖掘新數學概念各種典型的生活原型，精心選擇恰當的活動素材，將其自然地融入數學情境活動中，使情境內涵能體現(xiàn)出新概念的本質屬性，讓學習者在具有現(xiàn)實意義的、熟悉的情境活動中激活舊知、觸發(fā)思維，自主探索概念的本質意義。

著名特級教師華應龍在教學“圓的認識”時，就設計了非常巧妙的學習活動——“尋寶”，為學生形成圓的概念搭建了一個有意義的學習平臺。在“尋寶”活動中，華老師給學生的提示信息是“寶物在距離你左腳3米的地方”?；顒右l(fā)了學生的好奇心，學生立刻投入到了教師設計的情境中。教師先讓學生在頭腦中想一想寶物可能在哪里，然后在作業(yè)紙上把寶物“點”出來。學生找到了很多，當寶物越來越多時，就呈現(xiàn)出連點成曲線的圓形來了。此時，學生對圓的概念內涵的把握已經超越了單純從實物抽象的水平。在教師的引導下，學生已經從圓的軌跡定義層面把握了圓概念的本質內涵。與課的開頭相呼應，在該課結束前華老師再次追問：“寶物一定在以左腳為圓心，半徑3米的圓上嗎？”由圓及球十分合理地拓展了圓的概念，豐富了學生的空間想象力。

二、關注直觀感知與數學抽象的深度融合

數學概念是具體性和抽象性的辯證統(tǒng)一。數學概念的形成一般要經過“直觀感知—建立表象—抽象本質屬性”的過程。其中，直觀感知是建立表象的前提，建立表象是抽象本質的向導，抽象本質則是概念形成的關鍵?？梢?，有效的數學概念建構過程必須實現(xiàn)直觀感知與數學抽象的深度融合。

1．在豐富的直觀活動中建立概念表象。小學生的思維正處于由直觀形象思維逐步地向抽象邏輯思維過渡的重要階段，在形象思維階段，他們要依靠具體實物或者操作活動作為思維的支點。教師應讓學生動手操作、觀察比較，不斷感知具體事物，在頭腦中建立起相關的概念表象，為進一步的抽象概括作好準備。

例如，在教學“三角形的底和高”時，筆者設計了如下教學環(huán)節(jié)。

（1）觀察比較。出示兩個人字形屋架圖（一個是書上的三角形屋架圖，另外補充的一個，形狀略有變化，高度略矮一些），讓學生觀察后辨一辨哪個屋架要高一些，并進一步弄清是從哪兒看出來的。

（2）動手測量。你能量出這兩個屋架有多高嗎？應當量哪一條線段？在作業(yè)紙上量一量。

（3）圖形抽象。把上述兩個屋架的實物圖抽象成兩個三角形，并在剛才測量屋架高度的部位畫上一條垂直線段，向學生說明像這樣的線段叫做三角形的高。

（4）變式感知。改變三角形的形狀和擺放位置，讓學生繼續(xù)辨認三角形的高，豐富對三角形高的認識。

（5）嘗試概括。讓學生用自己的話描述什么是三角形的高，教師相機歸納揭示三角形高的定義。

在上述教學過程中，豐富的活動表現(xiàn)為三個基本層次：實物直觀、圖形直觀、變式感知。首先，教師注意從學生的實際生活出發(fā)，盡可能尋找到學生比較熟悉的多個生活原型，并將其作為一種具體的實例，引導學生對兩個不同人字形屋架的高矮進行觀察、比較，讓他們充分感知、把握眾多實例中所擁有的共同特征。其次，教師借助多媒體手段將實物圖像抽象為幾何圖形，讓學生充分感知幾何圖形狀態(tài)下的“高”，幫助學生建立起三角形高的概念表象。第三，教師沒有止步于對兩個屋架實物圖的觀察抽象，還盡可能地拓寬了學生“學習空間”的“變異維數”，措施就是引入變式，補充了若干個形狀和擺放位置都不同的三角形，繼續(xù)讓學生辨認其中的高?！扒笞儭笔菫榱恕安蛔儭?，通過恰當的變化以突出其中的不變因素，幫助學生建立豐富的概念表象，這當然有利于對概念本質的抽象。

2．在深度的數學抽象中把握概念本質。抽象概括是形成概念過程中的一次認知飛躍，是從感性上升到理性的關鍵環(huán)節(jié)。在指導學生進行數學抽象概括的過程中，教師要引導學生對探究出來的“屬性”進行篩選，通過深入比較和分析，排除干擾，抓住實質，并對相關本質屬性進行必要的整理，嘗試用數學語言進行概括和歸納。

例如，在教學“認識小數”時，教師必須引導學生探尋、整理小數的本質屬性，抽象出“小數是十進分數”這一概念本質。教學例1時，首先結合“0.3元”讓學生回顧三年級學習一位小數的已有經驗，并引導遷移，自然感受0.05元和0.48元所表示的實際含義，即1分是1元的1/100，可以寫成0.01元；5分是1元的5/100，可以寫成0.05元；4角8分是1元的48/100，可以寫成0.48元。在這個過程中，學生聯(lián)系自身的學習經驗，憑借“十分之幾還可以寫成零點幾”的已有認知經驗，遷移認知“百分之幾可以寫成零點幾”，不僅自然地感知了兩位小數的本質，還為后面抽象概括小數的意義作了鋪墊。

教學例2時，讓學生體會不僅是“元”為單位的百分之幾的分數可以寫成兩位小數，其他百分之幾的分數都可以寫成兩位小數，并且還從毫米與米的關系引入了三位小數，讓學生在例1的基礎上獲得對小數的更多認知，豐富小數的概念表象。

在充分感知三種不同小數的基礎上，教師應及時引導學生進行必要的回顧、反思和抽象，說說這些能改寫成小數的分數有什么特點、什么樣的分數能用小數表示。至此，學習者完成了對小數概念本質的初步抽象過程，實現(xiàn)了由具體向抽象的過渡。

在后續(xù)練習中，教師還應引導學生抽象解釋小數的具體意義，完成對小數概念本質的再度抽象過程：借助數形結合、數量結合的方式，抽象解釋“把整數“1”平均分成10、100、1000……份，用分數和小數表示其中的若干份，使小數概念更抽象、概括，并初步溝通整數與小數的聯(lián)系。

上述教學過程體現(xiàn)了兩度抽象的過程，從思維方向來說正好相反，第一次是由直觀向抽象推進，第二次是利用抽象的結果演繹和推理概念內涵與外延，使概念得以具體化、外顯化，但兩次都借助了直觀具體的素材，讓學生從中充分感知，并逐步向抽象層面過渡，建立起恰當的概念意象。

三、關注認知過程與概念對象的自然耦合

認知心理學研究表明，數學概念兼有“過程—對象”的二重性特點。形成一個概念，往往要經歷由過程開始，然后逐漸轉變?yōu)閷ο蟮恼J知過程，而且最終結果是兩者在認知結構中共存，在適當的時候分別發(fā)揮各自的作用。因此，在小學數學概念教學中，教師要積極關注認知過程與概念對象的自然耦合，幫助學生建構起完整的數學概念。

1．階段序進，在反省抽象中凝聚概念對象。在概念形成的最初階段，它表現(xiàn)為一個動態(tài)的、有步驟的、有順序的操作層面的數學思維活動過程。當數學概念建構進入到“對象”階段時，它便是一個相對靜止的、獨立的東西，能夠被作為一個整體來進行思維上的操作而無需考慮在“過程”階段要注意的細節(jié)。這個轉變的過程，實質上體現(xiàn)了一種“凝聚”的數學思維過程。

如在學習“用字母表示數”時，學生首先要經歷用字母表示不確定、可變化的數以及用含有字母的式子表示數量關系等具體的認知過程。教師要創(chuàng)設相關的問題情境，讓學生充分感受用字母表示數的實際意義，初步形成代數意識。此時，要關注的是將字母直接替代某個數量，并依據數量關系列出含有字母的式子表示要求的數量，然后賦予字母一個明確的數值，據此計算出所求的數量。這是一個利用字母表達式賦值計算的過程，也是學生嘗試代數思維的開端。隨著學習的深入，學生將接觸到字母表達式之間的直接運算，如3a+5a=8a等，此時3a和5a在學生的頭腦中已經逐漸演變?yōu)橐粋€直接的對象，并且探索式與式之間的關系，嘗試進行一些新的、高一級的運算（此例其實就是合并同類項）。在這個由過程到對象的過渡中，教師應注意階段序進，以學生深刻理解用字母（包括字母表達式）表示數和數量關系的具體含義并熟練掌握表示方法為前提，再過渡到具體數學問題中表達式之間的運算，引導學生對字母表達式的含義進行反省抽象，從整體上把握字母表達式的內涵和價值，逐步把視角轉移到表達式之間的關系運算上，將認知過程凝聚成整體的概念對象。此時，用字母表示數的動態(tài)過程轉變成一種靜態(tài)結構，易于從整體上把握性質，并轉變?yōu)椴僮鞯摹皩嶓w”。這時，一個完整的理解才真正成型，完成了更高水平上的概念建構過程。

2．靈活運用，在問題解決中實現(xiàn)自然轉換。由過程到對象的過渡不應被看作一種單向的運動。教師要在后續(xù)的學習中引導學生靈活地運用概念，在具體的問題情境中實現(xiàn)這兩者之間的必要轉換。高一層次的操作具有一種“反推進作用”，能夠進一步完善對前一層次概念對象的理解與鞏固。因此，要精心設計和安排由新概念衍生的各類后續(xù)知識結構的教學和練習，讓學生能夠在運用概念內涵解決新問題時再現(xiàn)概念建構的過程和細節(jié)，有效地鞏固和豐富概念的心理圖式，促進概念的深度理解。

例如，分數概念的建構是一個較長的過程，它體現(xiàn)了一種認知過程與概念對象之間的雙向轉換過程。以義務教育課程標準實驗教科書《數學》（蘇教版）為例，為了促進學生實現(xiàn)這種轉換，教材中安排了一系列后續(xù)概念學習和實際問題解決的內容，如三年級上冊中“簡單分數大小比較和加減法”、三年級下冊中“求整體的幾分之一、幾分之幾是多少”這一類例題，五年級下冊中“求一個數是另一個數的幾分之幾”及“分數與除法關系”等內容的學習，都將促使學生“反芻”分數意義的建構過程，提取有效的概念表象因素，嘗試靈活運用并解決新問題?？傊?，“過程”是對數學概念的支撐和演繹，而“對象”則是對操作認知過程的抽象和凝練，二者都是不可偏廢的，并且還要在教學中努力實現(xiàn)它們之間的自然轉換。（作者單位：江蘇省無錫市濱湖區(qū)教育研究發(fā)展中心）#9830;

作者簡介：小學高級教師，江蘇省無錫市小學數學教學能手，無錫市首批“行知式青年教師”。在多年的小學數學教學工作中，始終追求課堂教學的有效性，注重對教材內涵的挖掘與把握，引導學生主動參與、自主探索，致力于提高學生的發(fā)展性學力，有二十多篇論文在省級以上報刊發(fā)表。

□責任編輯 鄧園生

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