揭示本質(zhì) 動(dòng)態(tài)建構(gòu)

［編者按］在全國(guó)第八屆深化小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革觀摩交流會(huì)上，江蘇省江陰市實(shí)驗(yàn)小學(xué)強(qiáng)震球老師執(zhí)教的“角的度量”獲得了一等獎(jiǎng)第一名。中國(guó)教育學(xué)會(huì)副理事長(zhǎng)馬云鵬在評(píng)課中說(shuō)：“該課具有濃濃的數(shù)學(xué)味，學(xué)生不僅學(xué)會(huì)了量角的方法，而且經(jīng)歷了量角工具的探索過(guò)程，把握了量角器的構(gòu)造特點(diǎn)，積累了豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。”為了給讀者深入學(xué)習(xí)和研究這一成功案例提供素材，本刊特約請(qǐng)強(qiáng)震球老師談?wù)勊脑O(shè)計(jì)思路。

“角的度量”這一內(nèi)容，歷來(lái)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。通常，教師把這一內(nèi)容的教學(xué)界定為技能訓(xùn)練課。在這個(gè)界定之下，教學(xué)時(shí)教師往往先簡(jiǎn)單地介紹一下度量角的單位——度，然后組織認(rèn)識(shí)一下量角器的各個(gè)部分，最后在學(xué)生熟記量角“對(duì)點(diǎn)、對(duì)邊、讀刻度”三大步驟的前提下組織學(xué)生進(jìn)行大量的技能訓(xùn)練。但是，大量的技能訓(xùn)練雖然花了大量的時(shí)間，學(xué)生學(xué)習(xí)的效果卻并不理想。這主要有以下兩個(gè)原因。

一是學(xué)生對(duì)量角器的本質(zhì)認(rèn)識(shí)不到位。從本質(zhì)上說(shuō)，尺、用來(lái)測(cè)量面積的方格紙、量角器等都是測(cè)量單位的集合，量角器就是單位小角的集合。但是由于度量角的基本單位“1度的角”實(shí)在太小，因此在量角器上難以反映。量角器的制作者一般都把量角器中的1度分割線去掉大部分，只留下沿著圓周的一些刻度。把量角器作為現(xiàn)成產(chǎn)品介紹給學(xué)生，教學(xué)時(shí)空上雖然通暢和快捷，但由于學(xué)生對(duì)量角器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)不甚理解，學(xué)生認(rèn)識(shí)量角器會(huì)顯得比較突兀。他們不理解量角器上為什么會(huì)有那么多的小格，為什么要標(biāo)上里一圈外一圈的刻度。也就是說(shuō)學(xué)生很難理解“量角器就是單位小角的集合”。另外，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的度量工具中，有的沒刻度，有的有刻度，有的只有單向刻度，有的有雙向刻度。尺上只有單向刻度，是因?yàn)槌叩臄[放與讀數(shù)比較容易；方格紙上沒有刻度，是因?yàn)樯源笠稽c(diǎn)的面積可以借助計(jì)算得到。用量角器量角時(shí)，如果只有單向刻度，量不同朝向的角的大小時(shí)不方便，因此不得不加上兩圈刻度，學(xué)生對(duì)此也不理解。筆者認(rèn)為：量角器的高度簡(jiǎn)約化、智慧化和學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)之間的矛盾使學(xué)生對(duì)于量角器本質(zhì)的理解產(chǎn)生了障礙。

二是學(xué)生對(duì)量角方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)不到位。無(wú)論是長(zhǎng)度、面積、體積、重量、角度的度量，本質(zhì)都是用基本單位與當(dāng)前所測(cè)量對(duì)象進(jìn)行比較。例如，測(cè)量面積就是把被測(cè)量對(duì)象與單位面積進(jìn)行比較，被測(cè)量對(duì)象中含有多少個(gè)面積單位它的面積就是多少。而量角的本質(zhì)是看被測(cè)量的角中包含多少個(gè)單位角。正是由于學(xué)生對(duì)于量角器的本質(zhì)不明，所以學(xué)生對(duì)于量角方法的本質(zhì)的理解也就造成了障礙。

量角器的本質(zhì)是“單位小角”的集合，角的度量的本質(zhì)是看被測(cè)量對(duì)象中含有多少個(gè)“單位小角”，促使學(xué)生對(duì)這兩個(gè)本質(zhì)充分而深刻理解是上好這節(jié)課的邏輯基礎(chǔ)。筆者對(duì)教學(xué)策略的設(shè)計(jì)就是圍繞這兩個(gè)本質(zhì)展開的。

1．明確量角的單位是“單位小角”。筆者首先設(shè)計(jì)了“利用大小相同的小角，比較∠1、∠2這兩個(gè)角的大小”這一數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)“利用大小相同的小角”比較的優(yōu)越性：不僅能比出角的大小，而且可以比出到底大了多少。這樣的設(shè)計(jì)不僅讓學(xué)生明確了量角的單位是“單位小角”，而且用量角器量角的方法的雛形也已經(jīng)悄然出現(xiàn)。

需要說(shuō)明的是，由于用“1度”小角來(lái)作為單位角在制作和操作上都非常不便，筆者選擇了“10度”的角作為“單位小角”進(jìn)行教學(xué)。

2．明確量角器是“單位小角”的集合。在教學(xué)過(guò)程中，筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)把單位小角合并成為半圓的演示活動(dòng)。通過(guò)演示，不僅展示了一個(gè)“簡(jiǎn)易量角器”的形成過(guò)程，更重要的是突出了量角器與“單位小角”的內(nèi)在聯(lián)系。這一聯(lián)系一旦確立，量角的方法就不再是死的教條，而是“用單位小角比較角的大小”的延伸，是有意義的學(xué)習(xí)。

3．強(qiáng)化用“簡(jiǎn)易量角器”量角的方法。筆者特意安排學(xué)生用“簡(jiǎn)易量角器”測(cè)量了三個(gè)角的大小?！昂?jiǎn)易量角器”與“成品量角器”相比，具有線條稀疏便于數(shù)、無(wú)刻度只能數(shù)、無(wú)缺省可以數(shù)的三個(gè)特點(diǎn)。正因?yàn)橛羞@三個(gè)特點(diǎn)，用“簡(jiǎn)易量角器”學(xué)習(xí)量角就有了非常大的優(yōu)勢(shì)：一是方法容易學(xué)會(huì)，二是能夠突出“量角器”和“量角方法”的本質(zhì)，三是有效地化解了難點(diǎn)。

4．“簡(jiǎn)易量角器”漸變?yōu)椤俺善妨拷瞧鳌薄Ｖ挥姓故尽皾u變”和“現(xiàn)實(shí)需要”，才能使學(xué)生理解知識(shí)的來(lái)龍去脈，感受到當(dāng)前學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)價(jià)值。在引出“成品量角器”的過(guò)程中，筆者不是一步到位直接呈現(xiàn)，而是展示了每次“漸變”的過(guò)程。同時(shí)，還用恰當(dāng)?shù)慕忉尳o每一個(gè)環(huán)節(jié)賦予其“現(xiàn)實(shí)需要”。如下圖：

上面提出的四個(gè)策略，是筆者設(shè)計(jì)本課教學(xué)的初期階段的一些零散的想法，如何將這些零散的想法整合為一個(gè)整體呢？

建構(gòu)主義的教學(xué)理論強(qiáng)調(diào)，學(xué)生對(duì)知識(shí)的主動(dòng)探索、發(fā)現(xiàn)和對(duì)所學(xué)知識(shí)意義的主動(dòng)建構(gòu)，是一個(gè)從“不平衡”到“平衡”的不斷反復(fù)的過(guò)程。這個(gè)理論對(duì)于整合教學(xué)策略、構(gòu)建動(dòng)態(tài)課堂提供了很好的啟迪：追蹤量角器設(shè)計(jì)者的思考軌跡，凸現(xiàn)種種矛盾沖突，不斷激發(fā)學(xué)生深入思考，展示知識(shí)的形成過(guò)程，讓學(xué)生理解“量角器的本質(zhì)”和“量角方法的本質(zhì)”。也就是說(shuō)，教學(xué)時(shí)要把學(xué)生的角色從“量角器的使用者”轉(zhuǎn)換為“量角器的制作者”，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)量角器進(jìn)行再創(chuàng)造，在探索和實(shí)踐的過(guò)程中掌握知識(shí)的原理，在建構(gòu)工具的同時(shí)建構(gòu)方法。由此，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，筆者把量角器的結(jié)構(gòu)和使用的教學(xué)具體分解落實(shí)為環(huán)環(huán)緊扣、層層設(shè)伏的五個(gè)步驟。

1．由角的大小的意義引出可以用單位角來(lái)度量角的大小。

（1）利用動(dòng)態(tài)角的變化復(fù)習(xí)角的大小指的是角的兩條邊叉開的大小。

（2）利用活動(dòng)角比較兩個(gè)角的大小。

（3）利用單位小角比較兩個(gè)角的大小。

（4）比較“利用活動(dòng)角比較”和“利用單位小角比較”兩種方法，指明后者的優(yōu)勢(shì)。

這一環(huán)節(jié)激活了學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，喚醒了學(xué)生對(duì)角的大小的理解，為用單位角量角的大小作了鋪墊。復(fù)習(xí)用活動(dòng)角比較角的大小，用活動(dòng)角來(lái)比較角的大小時(shí)的注意點(diǎn)“點(diǎn)對(duì)點(diǎn)，邊對(duì)邊”，實(shí)際上就是用量角器量角方法的雛形。同時(shí)，還通過(guò)學(xué)生的討論與操作，讓學(xué)生悟出用小角測(cè)量的可行性與操作要點(diǎn)，為學(xué)生理解量角的原理打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2．由單位小角的使用不便引出要把單位小角合并為半圓工具 。

（1）設(shè)疑：我們能不能想個(gè)辦法，既保留小角比較精確的優(yōu)點(diǎn)，又改進(jìn)操作麻煩的缺點(diǎn)，讓這些小角用起來(lái)方便些呢？從而引導(dǎo)得出可以把小角合并成為半圓。（多媒體演示）

（2）練習(xí)：用“簡(jiǎn)易量角器”測(cè)量三個(gè)角的大小。（其中第三個(gè)角測(cè)量不出整數(shù)結(jié)果，從而引出單位角還要細(xì)分）

本環(huán)節(jié)突出反映了量角器的本質(zhì)——單位角的集合，強(qiáng)化了用“簡(jiǎn)易量角器”測(cè)量角的大小的方法。

3．由這種半圓工具度量不準(zhǔn)確引出要把單位小角分得更細(xì)些 。

（1）設(shè)疑：第三個(gè)角測(cè)量不出整數(shù)結(jié)果，怎樣才能知道比較確切的結(jié)果？

（2）教學(xué)1°。

（3）演示：把工具簡(jiǎn)化。

（4）呼應(yīng)：測(cè)量第三個(gè)角的準(zhǔn)確結(jié)果。

這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)思路是：在矛盾沖突中引出把單位角細(xì)分，從而形成沒有兩圈刻度的細(xì)分后的量角器。而學(xué)生實(shí)際使用的量角器的靠近中心部分是沒有分割線的，使得學(xué)生不易理解量角器是單位小角的集合，演示量角器的動(dòng)態(tài)演變過(guò)程用意就在于彌補(bǔ)這個(gè)不足。

4．由細(xì)分后的半圓工具讀數(shù)不便引出要加刻度，進(jìn)而引出兩圈刻度 。

（1）下面兩個(gè)角各是多少度？從哪邊數(shù)起？從而引出要加第一圈刻度。

（2）下面這個(gè)角多少度？從哪邊數(shù)起？從而引出要加第二圈刻度。

（3）完整認(rèn)識(shí)量角器。

（4）讀刻度的專項(xiàng)訓(xùn)練（含變式訓(xùn)練）。

這一環(huán)節(jié)特別重視用真實(shí)的問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生感悟必須加兩圈刻度。到此，一個(gè)完整的量角器已經(jīng)成形。這時(shí)，教師相機(jī)引導(dǎo)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)量角器，然后進(jìn)行讀刻度的練習(xí)。

5．總結(jié)量角方法，進(jìn)行相應(yīng)練習(xí)。

（1）學(xué)生自己量出一個(gè)角的大小。

（2）由學(xué)生總結(jié)測(cè)量方法。

（3）量角練習(xí)。

在教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)施教程中，雖然學(xué)生用量角器量角的練習(xí)并不多，但是本課一開始就致力于量角方法的探索，到這一學(xué)習(xí)階段，學(xué)生自己量角、總結(jié)方法就水到渠成。(作者單位：江蘇省江陰市實(shí)驗(yàn)小學(xué))

□責(zé)任編輯 鄧園生

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