淺論數(shù)學(xué)內(nèi)容的嚴(yán)謹(jǐn)性

摘要：嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)科學(xué)的基本特點(diǎn)。它要求數(shù)學(xué)結(jié)論的敘述必須精練、準(zhǔn)確，而對(duì)結(jié)論的推理論證和系統(tǒng)安排都要求既嚴(yán)格，又周密。

關(guān)鍵詞：嚴(yán)謹(jǐn)性；數(shù)學(xué)科學(xué)

即使是一些最基本、最常用，甚至不能藉邏輯方法加以定義的原始概念，數(shù)學(xué)科學(xué)也不滿足于直觀描述，而要求用公理來(lái)加以確定。對(duì)公理的選擇，還必須滿足“獨(dú)立性”、“相容性”和“完備性”的嚴(yán)格要求。在新的數(shù)學(xué)結(jié)論的推證過(guò)程中，則步步要有根據(jù)，處處應(yīng)合

乎邏輯理論的要求。要數(shù)學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)安排上，也必須符合學(xué)科內(nèi)在的邏輯順序。數(shù)學(xué)科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，還有日益加強(qiáng)的趨勢(shì)。由于各種專門(mén)符號(hào)的廣泛使用，大量命題的陳述和論證都日益符號(hào)化、形式化。

1 數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性并不是一下子形成的。在它達(dá)到當(dāng)前高度嚴(yán)謹(jǐn)性以前，也有過(guò)一個(gè)相對(duì)來(lái)說(shuō)不那么嚴(yán)謹(jǐn)?shù)穆L(zhǎng)歷程。例如，作為全部數(shù)學(xué)的嚴(yán)格基礎(chǔ)的數(shù)的系統(tǒng)理論，只是到了十九世紀(jì)末期才達(dá)到當(dāng)前的嚴(yán)謹(jǐn)程度。在此以前，它處于不太嚴(yán)謹(jǐn)、甚至是很不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)木硾r。

總之，任何數(shù)學(xué)課程，都必須達(dá)到一定的嚴(yán)謹(jǐn)性。但是，究竟需要達(dá)到何種程度，則由該門(mén)課程的開(kāi)設(shè)目的所決定。而且，嚴(yán)謹(jǐn)性的要求，也不是一下子完全達(dá)到，而可以逐步地滿足。例如，現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材中的函數(shù)概念的精確化是經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的歷史過(guò)程的。

2 學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性要求，要有一個(gè)逐步適應(yīng)的過(guò)程。剛上中學(xué)的學(xué)生，由于他們認(rèn)識(shí)上的特點(diǎn)，以及在小學(xué)階段的訓(xùn)練基礎(chǔ)，對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)性的要求要有一個(gè)適應(yīng)過(guò)程。開(kāi)始，學(xué)生對(duì)一些較精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，如“互為相反數(shù)”、“任意非零整數(shù)”、“存在”、“唯一”、“僅當(dāng)”等等，往往缺乏足夠的理解。所以，對(duì)一些定義、法則往往局限于背誦條文和模仿范例解題。對(duì)法則的適用范圍和具體要求，往往考慮不夠。因此，在綜合運(yùn)用時(shí)經(jīng)?；ハ嗷煜鲥e(cuò)，更談不上靈活運(yùn)用了。

對(duì)于嚴(yán)格推證，學(xué)生更是不適應(yīng)。學(xué)生習(xí)慣于用不完全歸納法，從個(gè)別實(shí)例中歸納出一般結(jié)論，而認(rèn)識(shí)不到論證的必要性。在證明過(guò)程中，又經(jīng)常根據(jù)證明的需要而臨時(shí)“創(chuàng)造”出新的論據(jù)，假如教學(xué)過(guò)程不進(jìn)行足夠訓(xùn)練，并使學(xué)生逐步掌握教材的嚴(yán)謹(jǐn)性，那么，甚至到了高年級(jí)，他們還經(jīng)常把對(duì)概念的一些常識(shí)性、直觀性理解，來(lái)代替精確定義；也會(huì)毫無(wú)根據(jù)地把一些數(shù)學(xué)結(jié)論推廣到不適當(dāng)?shù)膱?chǎng)合。例如，他們把點(diǎn)理解為很小很小的、大小可以忽略不計(jì)的球；把相似理解為形狀相象；把函數(shù)理解為隨著別的數(shù)的改變而變化的數(shù)；把極限理解為近似，等等。他們還經(jīng)常毫無(wú)根據(jù)地“運(yùn)用”分配律得出類似于logａ（α+β）=logａα+logａβ的錯(cuò)誤結(jié)果。

不過(guò)，對(duì)這些現(xiàn)象應(yīng)當(dāng)有一個(gè)正確的分析。一方面應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到，由于年齡特點(diǎn)，學(xué)生對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)性要求確實(shí)有不適應(yīng)之處，而另一方面也必須看到，出現(xiàn)這些現(xiàn)象往往是教學(xué)中缺乏基本訓(xùn)練的結(jié)果。

事實(shí)上，正如前面談到的那樣，傳統(tǒng)的教材和教法側(cè)重于機(jī)械記憶加模仿，學(xué)生當(dāng)然會(huì)養(yǎng)成不求甚解、不問(wèn)根由的習(xí)慣。近年來(lái)國(guó)內(nèi)外的大量實(shí)驗(yàn)證明，學(xué)生對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)性的要求，是可以逐步適應(yīng)的。學(xué)生經(jīng)過(guò)一定的訓(xùn)練以后，對(duì)“有唯一解”、“取非負(fù)值”等術(shù)語(yǔ)能靈活運(yùn)用，對(duì)一些比較嚴(yán)格的推理和證明也能很好接受，還能獨(dú)立地完成一些代數(shù)和幾何的證明和討論。

可見(jiàn)，對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)性的要求，學(xué)生開(kāi)始時(shí)在接受上確實(shí)有一定的局限性，要有一個(gè)適應(yīng)的過(guò)程。但是，倘若要求合理，教法得當(dāng)，適應(yīng)過(guò)程可以大大縮短。

3 那么，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的嚴(yán)謹(jǐn)性，究竟要達(dá)到什么程度才合適呢？它應(yīng)當(dāng)符合以下幾點(diǎn)要求：

首先，必須保證內(nèi)容的科學(xué)性。

考慮學(xué)生的理解能力和教學(xué)上的實(shí)際需要，中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的嚴(yán)謹(jǐn)性要求可以適當(dāng)降低，但必須保證對(duì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容要有正確的理解和掌握。

例如，我們可以用“無(wú)限接近于”等較形象的語(yǔ)言來(lái)描述數(shù)列或變量的極限概念，而不用“ε-δ”式的嚴(yán)格定義。但是，在結(jié)合實(shí)例進(jìn)行描述時(shí)，必須講清楚，這是某些無(wú)窮變量變化時(shí)的一種變化趨勢(shì)，不要讓學(xué)生誤以為這是取無(wú)窮變量的近似值。又如，利用直角三角形講銳角三角函數(shù)時(shí)，也應(yīng)當(dāng)明確指出：銳角三角函數(shù)是隨著角的改變而改變的變量，而且它的變化可以由相應(yīng)的線段之比來(lái)確定，特別當(dāng)取定某一銳角時(shí)，它的三角函數(shù)值與直角三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān)。不要使學(xué)生誤認(rèn)為“銳角三角函數(shù)只是邊長(zhǎng)一定的直角三角形的兩邊之比”，這樣不符合科學(xué)性的要求。

其次，必須有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。

發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，是中學(xué)數(shù)學(xué)課的重要目的之一。而數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性要求，正是發(fā)展學(xué)生邏輯思維的核心環(huán)節(jié)。逐步加強(qiáng)教學(xué)內(nèi)容的嚴(yán)謹(jǐn)性，并使學(xué)生真正消化理解，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的重要措施，也為今后教學(xué)進(jìn)一步提高嚴(yán)謹(jǐn)性創(chuàng)造了有利條件。不斷地豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是一項(xiàng)十分關(guān)鍵的工作，它不僅達(dá)到上述目的，還有利于提高學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)書(shū)籍的能力。

最后，數(shù)學(xué)內(nèi)容的嚴(yán)謹(jǐn)性要求，應(yīng)當(dāng)是學(xué)生力所能及，而又必須經(jīng)過(guò)努力才能達(dá)到的。所以，必須充分估計(jì)學(xué)生的接受能力，要從發(fā)展的觀點(diǎn)考慮學(xué)生的潛力，使數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性要求不斷提高。