基于經(jīng)驗分布下GARCH模型對VaR的金融測度*

李翠霞，陳媛媛

1. 徐州工程學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇徐州 221111

2. 蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅蘭州 730000

隨著金融體系的不斷完善，全球金融市場進入了高速發(fā)展的階段，隨之而來的金融風(fēng)險也受到了人們的廣泛關(guān)注。眾所周知，金融風(fēng)險不僅嚴重影響企業(yè)的生存與發(fā)展，同樣對金融機構(gòu)及整個國家的經(jīng)濟運行都會產(chǎn)生巨大的沖擊。20世紀90年代以來一些大的金融機構(gòu)所經(jīng)歷的金融危機，大多是不能有效地管理其面臨的市場風(fēng)險，如巴林銀行、德國金屬期貨公司、日本大和銀行等都在金融市場上遭受了幾十億美元的損失。在這一連串舉世矚目的衍生品災(zāi)難發(fā)生以后，人們呼吁重新評估整個風(fēng)險管理體系，包括用于衡量風(fēng)險的工具，在這一前提下，1994年摩根大通［1］提出的VaR（Value at Risk，在險價值）方法在這個時代背景下成為一種強有力的風(fēng)險管理方法，同年10 月，他將建立的RiskMetrics模型的資料和相關(guān)方法論公諸于世，市場上所有參與者都可以通過網(wǎng)絡(luò)得到相關(guān)資料。至此，在金融風(fēng)險管理領(lǐng)域，世界上一些主要的銀行和金融機構(gòu)越來越重視對VaR 的使用，這是一種容易理解和掌握的計算和控制市場風(fēng)險的方法。VaR 最重要的特征還在于它的透明性，僅僅一個數(shù)值就可使任何人都清楚風(fēng)險多大。Artzner等［2］證明VaR 在理論上不滿足次可加性，但它在風(fēng)險度量領(lǐng)域所起到的重要性是不可忽視的。盡管存在這一缺陷，但行業(yè)和銀行部門的監(jiān)管機構(gòu)都更喜歡使用VaR，而不是滿足次可加性的風(fēng)險度量指標——預(yù)期缺口（Expect Shortfall，簡稱ES）。主要是因為VaR具有很多實際優(yōu)勢，比如較小的數(shù)據(jù)需求，易于回溯測試，在某些情況下易于計算等。

1 模型設(shè)定

金融收益率序列有兩個非常重要的特征：異方差性和重尾現(xiàn)象。為了描述金融數(shù)據(jù)的這種特征，En‐gle［3］提出了ARCH 模型，在此基礎(chǔ)上，Bollerslev［4］建立了GARCH（廣義ARCH）模型。隨后，Boller‐slev等［5］、Taylor［6］將這些模型應(yīng)用于風(fēng)險（股票價格、金融指數(shù)、外匯匯率等）計量中存在的長期依賴問題。Chang 等［7］在前人的研究基礎(chǔ)上，提出分別使用GARCH、EGARCH、GJRGARCH 等波動率模型對VaR 進行建模，并將條件分布分別設(shè)為高斯分布和t分布。Francq［8］在標準GARCH 對VaR 建模的過程中，將條件波動模型的參數(shù)形式設(shè)為εt=σt(θ0)ηt，認為VaR的計算結(jié)果取決于ηt創(chuàng)新分布的過程，而不取決于波動率參數(shù)θ0。因此本文在Francq［8］的理論基礎(chǔ)下，利用標準GARCH（1，1）模型擬合波動率，同時結(jié)合殘差經(jīng)驗分布函數(shù)這種分布形式對VaR進行建模分析。

標準的GARCH（1，1）模型為

其中ut為收益率序列t時刻的均值，εt是收益率序列t時刻的殘差，zt是均值為0，方差為1 的獨立同分布（iid，independently identically distribution）的隨機變量序列（即zt～iid（0，1））。在這里，我們不指定zt的具體分布，因此形成了更加有利的半?yún)?shù)模型。因事先未指定zt的具體分布，因此避免了由于模型與實際情況不符造成的失效。同時，我們的模型因為在參數(shù)模型的框架下，因而又避免了非參數(shù)模型面臨的維數(shù)災(zāi)難等問題。

1.1 VaR的概念

VaR指在給定的概率水平下，金融產(chǎn)品在某一特定時間段內(nèi)的最大可能損失。即

P(△P> VaR)= 1-τ，

其中△P為金融產(chǎn)品在持有期△t內(nèi)的損失，VaR 是在置信水平τ下可能產(chǎn)生的最大損失值。例如：在90%的置信水平下，某公司一天的VaR值為500萬美元，指該公司以90%的把握保證，在一天內(nèi)由于市場價格變動所帶來的損失不會超過500萬美元。

在本文中用Q(τ)= VaR1-τ表示在置信水平τ下的VaR值（最大損失）。

1.2 模型設(shè)定

假設(shè)VaR =G(Θ，zi)，G(?)的形式通常有GARCH、EGARCH、GJRGARCH 等設(shè)定形式。這里主要討論尾部分布形式，為了盡可能減少參數(shù)估計量，我們使用標準GARCH（1，1）模型為基礎(chǔ)建立模型，即

這里用Q(τ)= VaR1-τ=G(Θ，Qz(τ))表示，其中Θ =(μ，ω，α，β)為標準GARCH（1，1）模型中的參數(shù)，Qz(τ)為zi的τ階分位數(shù)。以下分3個步驟來進行計算。

1.3 模型評價方法

1.3.1 失敗頻率檢驗對度量VaR 的模型準確性檢驗指的是模型的度量結(jié)果對實際損失的覆蓋程度。例如：給定99%置信水平下的VaR 值，若實際損失超過預(yù)期VaR 值的概率大于1%，說明模型預(yù)測失效。本文采用Kupiec［10］提出的失敗頻率檢驗法。其基本思想是觀察實際損益超過VaR 值的概率。把實際損益超過VaR 值記為預(yù)測失敗。假定VaR 的置信水平為τ，實際觀測天數(shù)為T，預(yù)測失敗天數(shù)為N，則失敗頻率為p=N/T，失敗的期望概率為p*= 1-τ。此時，對模型準確性的檢驗等同于檢驗失敗概率p是否等于給定概率p*，即檢驗的零假設(shè)是H0：p=p*。

Kupiec提出了對H0最合適的檢驗是似然比率檢驗

在假設(shè)H0下，統(tǒng)計量LR服從自由度為1的χ2分布。失敗頻率檢驗法應(yīng)用廣泛，但是當(dāng)基于每日回報的基礎(chǔ)之上，數(shù)據(jù)量較少時很難評價模型低估潛在損失的情況。因此，這種模型評價方法通?；陂L期數(shù)據(jù)觀測的前提下。

1.3.2 相對誤差為了體現(xiàn)模型的準確性，本文在失敗頻率這個指標基礎(chǔ)上增加了一個新的評價指標——相對誤差（Relative Error，RE），可以寫為

相對誤差越小，說明對VaR的預(yù)測效果越準確。

2 基本數(shù)據(jù)分析

選取的數(shù)據(jù)是道瓊斯指數(shù)（DJIA）2009 年1 月2 日至2019 年12 月31 日的數(shù)據(jù)（見圖1），樣本量為2 768個數(shù)據(jù)，我們將前2 476個數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，用于模型的建立，后292個數(shù)據(jù)作為測試集，用來觀察模型的預(yù)測準確程度。本文采用對數(shù)收益率，即rt= lnpt- lnpt-1，pt為第t日收盤價。相對于一般收益率，采用對數(shù)收益率主要有以下幾點原因：①對數(shù)函數(shù)使得收益率的取值擴展到整個實數(shù)域范圍，對于金融產(chǎn)品的建模更為合適。②通過對收益率取對數(shù)，將原本計算中的乘法運算變?yōu)榧臃ㄟ\算，簡化了計算過程。③對時間序列的數(shù)據(jù)進行建模時，推導(dǎo)時間序列之和的計算更加方便，使得模型建立更簡單。

圖1 道瓊斯指數(shù)日收益率Fig.1 DJIA index daily return

2.1 數(shù)據(jù)基本特征

從圖1可以看出我們研究的數(shù)據(jù)是比較平穩(wěn)的，并且也能夠看出金融時間序列存在的波動叢集性特征（大的波動后面常伴隨大的波動，小波動的后面跟隨小的波動）。從數(shù)據(jù)的基本特征來（見表1）看，道瓊斯指數(shù)（DJIA）的偏度分別為-0.315 80（<0），峰度分別為4.643 77（>3），同時其JB統(tǒng)計量為2 254.568，并結(jié)合QQ圖（見圖2）可以看出，研究數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布，并具有尖峰厚尾的特征。

表1 數(shù)據(jù)基本特征統(tǒng)計Table 1 Data basic characteristics statistics

圖2 道瓊斯指數(shù)QQ圖Fig.2 DJIA QQ plot

2.2 平穩(wěn)性檢驗

對時間序列數(shù)據(jù)進行分析建模前，首先需要對序列是否平穩(wěn)進行檢驗。在此，我們采取了ADF（Augmented Dickey-Fuller test）［11］檢驗和PP（Phillips-Perron Unit Root Test）［12］單位根檢驗。

2.2.1 ADF檢驗ADF檢驗通過在回歸方程右邊加入因變量yt的滯后差分來控制高階序列相關(guān)。

（I）無常數(shù)項、無趨勢項的p階自回歸過程：yt=γ1yt-1+ …+γpyt-p+ξt.

（II）有常數(shù)項、無趨勢項的p階自回歸過程：yt=ρ+γ1yt-1+ …+γpyt-p+ξt.

（III）有常數(shù)項、有趨勢項的p階自回歸過程：yt=ρ+δt+γ1yt-1+ …+γpyt-p+ξt.

模型（III）中的t是時間變量，代表序列隨時間變化的某種趨勢。虛擬假設(shè)均為H0：γ= 0，即存在單位根，該序列不平穩(wěn)。模型（III）與模型（I）、（II）的差別為是否含有常數(shù)項和趨勢項，檢驗順序為（III）→（II）→（I），何時拒絕零假設(shè)，何時停止檢驗，即該序列為平穩(wěn)序列。經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)，在第一次檢驗（III）時即拒絕原假設(shè)，說明我們研究的序列是平穩(wěn)的。

2.2.2 PP檢驗PP 檢驗優(yōu)化的是DF 統(tǒng)計量，通過非參數(shù)方法來修正DF 統(tǒng)計量，使其具有滯后期估計功能。

道瓊斯指數(shù)經(jīng)過ADF 和PP 單位根檢驗結(jié)果分別為-13.943 和-53.086，它們的p值都遠遠小于0.01，在99%的顯著性水平下拒絕了原假設(shè)，說明我們研究的收益率序列是平穩(wěn)的。

2.3 異方差檢驗

Engle 在1982 年提出檢驗殘差序列中是否存在ARCH 效應(yīng)的拉格朗日乘數(shù)檢驗（Lagrange multiplier test），即ARCH-LM 檢驗。其零假設(shè)是序列不存在ARCH 效應(yīng)，此時檢驗統(tǒng)計量漸近服從χ2分布。檢驗結(jié)果如表2所示。

表2 ARCH-LM檢驗Table 2 ARCH-LM test

檢驗結(jié)果p值可以看出，我們在滯后階數(shù)為5階、10階、15階均拒絕了原假設(shè)，即原序列存在顯著的ARCH 效應(yīng)。從以上的數(shù)據(jù)分析可以看出：收益率序列是平穩(wěn)的，不服從正態(tài)分布且具有尖峰厚尾的特征，其次數(shù)據(jù)存在顯著的ARCH效應(yīng)，因此在這里使用GARCH模型是合適的。

3 模型預(yù)測與結(jié)果分析

GARCH（1，1）模型選取以下參數(shù)值：μ=7.45× 10-4，ω= 2.67 × 10-6，α= 0.149，β= 0.824，對數(shù)似然值為8 410.83。

3.1 模型預(yù)測

以下是我們分別使用指定條件分布為正態(tài)分布的GARCH（1，1）模型，以及經(jīng)過我們提出的新方法修正后在樣本外的測試結(jié)果（見表3）。

表3 道瓊斯指數(shù)（DJIA）預(yù)測結(jié)果1）Table 3 Predicted results of DJIA

3.2 結(jié)果分析

通過Kupiec 失敗頻率檢驗結(jié)果看到，使用標準GARCH（1，1）建立模型，其預(yù)測效果表現(xiàn)不佳，尤其是在99%的置信水平下，利用標準的GARCH（1，1）模型預(yù)測結(jié)果，其實際失敗天數(shù)是預(yù)期失敗天數(shù)的數(shù)倍?？梢钥吹絺鹘y(tǒng)的參數(shù)模型一旦指定條件分布是錯誤的，模型的表現(xiàn)效果就會很差。在我們利用新方法對殘差進行修正后，實際失敗率得到了很大的改善，不僅在各置信水平下通過了Kupiec失敗頻率檢驗，而且與預(yù)期失敗天數(shù)十分接近。其次，我們采用的方法得到的相對誤差也小于標準GARCH（1，1）模型下的誤差，因此，我們的模型不僅修正了標準的GARCH（1，1）模型，并且在較高置信水平下對VaR 的度量更為準確。