基于分裂法的內(nèi)部Neumann反散射問題*

張歡，劉立漢

重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331

反散射問題是數(shù)學(xué)物理中一個重要的研究領(lǐng)域，其主要是利用聲波或電磁波的散射數(shù)據(jù)來確定未知散射體的位置、形狀及其物理性質(zhì)。反散射問題的研究成果已在聲納雷達探測、地球物理探測、醫(yī)學(xué)成像、生命科學(xué)、遙感技術(shù)等其他學(xué)科的研究領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。在現(xiàn)有的研究中，更多的是考慮入射波和散射波都在散射體的外部，稱之為外部反散射問題（見文獻［1］），但是正如文獻［2-3］中所述，為了解決一些實際問題，內(nèi)部反散射問題也逐漸得到關(guān)注，相比于外部反散射問題，其入射波和散射波都在散射體的內(nèi)部，且散射波在散射體內(nèi)部會不斷地進行反射，所以內(nèi)部反散射問題更為復(fù)雜。而內(nèi)部反散射問題是一個非線性不適定問題，為了解決其在求解過程中的困難，目前已有一些解決方法，對于不可穿透散射體，文獻［3］通過線性采樣法反演在Dirichlet 邊界條件下的散射體的位置和形狀；文獻［4］考慮在Maxwell 方程及其Dirichlet 邊界條件下，利用同樣的方法反演散射體的位置及其形狀；文獻［5］將線性采樣法延拓到阻尼邊界條件的情況，通過該方法反演散射體的位置、形狀及其物理性質(zhì)；文獻［6］利用交互間隙法來重構(gòu)阻抗邊界條件下散射體的位置、形狀及其物理性質(zhì)；文獻［7］將表示邊界值問題的偏微分方程轉(zhuǎn)化為一個等價的非線性積分方程組，并通過正則的Newton迭代法求解這個非線性積分方程組，從而解得散射體的未知邊界；文獻［8］則將線性采樣法進一步延拓到混合邊界條件下來重構(gòu)散射體的位置、形狀及其物理性質(zhì)。對于可穿透散射體，文獻［9］利用線性采樣法進行數(shù)值反演傳輸邊界條件下散射體的位置及其形狀；文獻［10-11］分別通過分解法和正則的Newton迭代法求解了同樣的反散射問題。對于更一般的混合邊界條件，文獻［12］基于外部傳輸特征值問題的譜性質(zhì)分析，證明了可穿透散射體的位置、形狀及其物理性質(zhì)可由腔體內(nèi)部多個點源的測量數(shù)據(jù)來唯一確定，再利用線性采樣法的想法，構(gòu)造適應(yīng)于點源的奇異性的指示函數(shù)，進而重構(gòu)散射體的位置、形狀及其物理性質(zhì)。

本文考慮采用由Kress 和Kirsch 提出的分裂法來求解Neumann 邊界的內(nèi)部反散射問題，這個方法最初是為了解決外部反散射問題。針對內(nèi)部反散射問題的非線性和不適定性，分裂法將其原問題的這兩大難點拆分成兩步來解決［2，13］，首先通過測量的數(shù)據(jù)來構(gòu)造散射場從而解決原問題的不適定性，然后由邊界條件，利用入射波及散射場將原問題轉(zhuǎn)化為一個優(yōu)化問題，從而達到解決非線性的目的。

1 反散射問題

設(shè)D是R2中的一個單連通區(qū)域，D的邊界?D具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，波數(shù)k> 0，z為散射體D內(nèi)部的一點。正散射問題是找到散射場us，使得

故矛盾，定理得證。

2 分裂法

假設(shè)散射體內(nèi)部的曲線C上有一個點源z，對?x∈C，其散射場為us(x，z)，記為usC. 假設(shè)Γ 是D外部的一條曲線，定義如下算子

其中

定理2 假設(shè)k2> 0 不是-Δ 在Γ 或C內(nèi)部的Neumann 特征值，則S是緊算子且是單射，此外，S在L2(C)上有稠密值域。

證明 首先證明緊性，因為L2(Γ)為有界集，且L2(C)是有限維的賦范空間，而有限維的賦范空間的任意有界序列都包含一個收斂序列，所以L2(C)是相對緊集，故算子S是緊的。

然后證明S是單射的，設(shè)

3 數(shù)值例子

本節(jié)通過2個數(shù)值例子來驗證分裂法的可行性和有效性。以下是分裂法求解反散射問題的邊界的3個步驟。

第一個例子，考慮重構(gòu)一個邊界為心形線的散射體，結(jié)果見圖1。第二個例子，考慮重構(gòu)一個邊界為正六邊形的散射體，結(jié)果見圖2。

圖1 重構(gòu)邊界為心形線Fig.1 Reconstruct a boundary of cardioid