速度分解的特殊方法

摘 要：運動的分解是運動合成的逆運算，把一個運動進行分解時，要根據(jù)運動的實際效果來確定分運動。在高中階段，對于為什么要把某一些運動分解為一個平動和一個轉(zhuǎn)動，學(xué)生非常困惑，為此筆者根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗，從發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、突破難點、例題解析、問題辨析等幾個方面一步一步地展開教學(xué)，并總結(jié)出了解決此類繩聯(lián)問題的特殊方法——繩子速度相等法。

關(guān)鍵詞：速度分解；特殊方法；繩子速度相等法

中圖分類號：G633.7 文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1003-6148(2007)8(S)-0032-3

運動的分解是運動合成的逆運算，遵守平行四邊形定則，把一個運動進行分解時，要根據(jù)運動的實際效果來確定分運動，高中階段一般有兩類分解方式：(1)把一個合運動分解為兩個互相垂直的平動；(2)把一個合運動分解為一個平動和一個轉(zhuǎn)動。

筆者在教學(xué)中，對怎樣讓學(xué)生更好地理解第二種分解方式有一點心得，在此與各位交流。為了更好地讓學(xué)生學(xué)習(xí)，把該類問題統(tǒng)稱為繩聯(lián)問題，解答方法稱為繩子速度相等法。

1 問題提出

例1 如圖1所示，物體甲以速度v₁拉著物體乙前進，乙的速度為v₂，甲、乙都在水平面上運

動，求v₁∶v₂。

解法1 如圖2所示，物體甲、乙沿繩的速度分別為v₁和v₂cosα，兩者應(yīng)該相等，所以有v₁∶v₂=cosα∶1。

解法2 如圖3所示，物體甲沿繩的速度為v₁，把v₁按豎直和水平方向分解，v₁的水平方向分速度就是v₂，所以有v₁∶v₂=1∶cosα。

以上兩種解答在同學(xué)中很普遍，且第二種解答很容易與力的正交分解類比，而被同學(xué)們廣泛接受。那么，哪種解答是正確的呢?

2 發(fā)現(xiàn)問題

如圖4所示，根據(jù)運動關(guān)系可知，在時間t內(nèi)物體甲運動的位移為L₁-L₂，而乙的位

移為L₃。由三角形知識易知：L₁-L₂＜L₃，可見v₁＜v₂，第二種解答肯定是錯誤的。那么，第一種解答是否就是正確的呢?

3 突破難點

3.1 如圖5所示，兩個小球用輕彈簧相連接，沿水平方向向右運動，彈簧處于原長狀態(tài)。若后面小球的速度大于前面小球的速度，則彈簧將被壓縮，反之則伸長，要保證彈簧既不壓縮又不伸長，只有兩小球沿水平方向有共同速

度。

3.2 同學(xué)們請看下面的情景，如圖6所示，物體M在一根桿OA上，桿可繞O點轉(zhuǎn)動，物體M可沿桿上下爬，在物體M后系一根不可伸長的輕繩，繩繞過光滑的定滑輪與另一個小物體m相連。

(1)桿繞O點轉(zhuǎn)動，物體M不動，小物體m也不動，如圖7所示。

（2）桿不動，物體M沿桿上下爬動，小物體m也上下移動；且兩者在相等時間內(nèi)移動的距離相等?？梢姡∥矬wm的移動速度大小取決于物體M沿桿方向爬行的速度，如圖8所示。

（3）當(dāng)桿繞O點轉(zhuǎn)動，物體M沿桿上下爬動，小物體m也上下移動；此時物體M參與了兩個運動，一是隨桿的轉(zhuǎn)動，

速度為v⊥，另一個是沿桿的爬行，速度為v∥。此時也可以看到，兩者在相等時間內(nèi)移動的距離關(guān)系是：物體M沿桿爬動的距離等于物體m上下移動的距離?？梢?，小物體m的移動速度大小取決于物體M沿桿方向爬行的速度，如圖9所示。

在不計繩的質(zhì)量和形變、以及摩擦阻力的條件下，根據(jù)能的轉(zhuǎn)化和守恒定律，外力對繩的瞬時功率大小等于繩對被牽引物的瞬時功率大小。如圖10所示，F(xiàn)₁拉繩的功率為F₁v₁，v₁為拉繩的速度，F(xiàn)₂拉車的功率為F₂v₂cosα，v₂為車前進(即合運動)的速度，由F₁v₁=F₂v₂cosα，又F₁=F₂，故v₁=v₂cosα。

結(jié)論：對于繩聯(lián)(或桿聯(lián))問題，由于繩(或桿聯(lián))不可伸長時，繩聯(lián)(或桿聯(lián))物體的速度在繩方向上的投影相等。求繩聯(lián)物體的速度關(guān)聯(lián)問題時，首先要明確繩聯(lián)物體的速度，然后將兩物體的速度分別沿繩的方向和垂直于繩的方向進行分解，令兩物體沿繩方向的速度相等即可求出。

4 例題解析

例1 一半徑為A的半圓形豎直圓柱面，用輕質(zhì)不可伸長的細繩連接A、B兩球，懸掛在圓柱面邊緣兩側(cè)，A球質(zhì)量為B球質(zhì)量的2倍，現(xiàn)將A球從圓柱邊緣處由靜止釋放，如圖11。已知A始終不離開球面，且細繩足夠長，若不計一切 摩擦。求A球沿圓柱面滑至最低點時速度的大小。

解析 當(dāng)A球從圓柱邊緣處沿圓柱面滑至最低點時，走過的路程是1／4圓弧，而月球走過的路程等于1／4圓弧所對應(yīng)的弦長，設(shè)A球滑至最低點時速度大小為v_A，此時B球速度大小為v_B。有關(guān)系：v_B=v_Acos45°

對整個系統(tǒng)，以圓柱的水平直徑為零勢點，由機械能守恒定律有：

5 問題引伸

例2 如圖12所示，光滑半圓上有兩個小球(可看作質(zhì)點)，質(zhì)量分別為m和M，由不可伸長的細繩掛著，今由靜止開始釋放。求小球m沿光滑半圓運動至半圓的最高點C點時的速度是多少 (小球m沿光滑半圓運動至半圓的最高點C點的過程中不脫離半圓。)？

解析 從如圖所示位置由靜止釋放，到B達到半圓頂點這一過程中M受到重力Mg和牽引力F的作用，m將受牽引力F′和重力mg的作用以及球面支持力FN的作用。m和M都將作變加速運動，本題中m走過的圓弧長度始終等于M下降的高度，故二者的速度大小始終相等。當(dāng)m從半圓邊緣處沿半圓面滑至最高點時，走過的路程是1／4圓弧，而M下降的高度也等于1／4圓弧長。

對整個系統(tǒng)，以半圓的水平直徑為零勢點，由機械能守恒定律有：

(欄目編輯鄧 磊)

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