渦旋電場(chǎng)中的電動(dòng)勢(shì)與電勢(shì)差

摘 要：如何比較渦旋電場(chǎng)中各點(diǎn)電勢(shì)的高低，這是一個(gè)讓很多同學(xué)感到困惑的問(wèn)題。本文通過(guò)對(duì)比討論渦旋電場(chǎng)中的電動(dòng)勢(shì)和電勢(shì)差來(lái)解釋這一問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：渦旋電場(chǎng)；電動(dòng)勢(shì)；電勢(shì)差

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-6148(2007)8(S)-0036-3

1 一個(gè)佯謬

我們知道，磁感線是閉合的，它在磁體外部總是由N極指向S極，在磁體內(nèi)部又從S極指回N極。與磁感線不同，靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線是不閉合的，它始于正電荷（或無(wú)窮遠(yuǎn)），終于負(fù)電荷（或無(wú)窮遠(yuǎn)），沿著電場(chǎng)線電勢(shì)降低。

不過(guò)，并不是所有電場(chǎng)的電場(chǎng)線都不閉合。麥克斯韋從場(chǎng)的觀點(diǎn)研究了電磁感應(yīng)現(xiàn)象，認(rèn)為變化的電路里能產(chǎn)生感應(yīng)電流，是因?yàn)樽兓碾妶?chǎng)感應(yīng)產(chǎn)生一個(gè)變化的磁場(chǎng)，而變化的磁場(chǎng)又產(chǎn)生了一個(gè)電場(chǎng)，這個(gè)電場(chǎng)驅(qū)使導(dǎo)體中的自由電荷做定向的移動(dòng)。麥克斯韋還把這種用場(chǎng)來(lái)描述電磁感應(yīng)現(xiàn)象的觀點(diǎn)，推廣到不存在閉合電路的情形。他認(rèn)為，在變化的磁場(chǎng)周圍產(chǎn)生電場(chǎng)，是一種普遍存在的現(xiàn)象，跟閉合電路是否存在無(wú)關(guān)（如圖1）。這種在變化的磁場(chǎng)周圍產(chǎn)生的電場(chǎng)，叫做感應(yīng)電場(chǎng)或渦旋電場(chǎng)。與靜電場(chǎng)不同，渦旋電場(chǎng)的電場(chǎng)線是閉合的。根據(jù)麥克斯韋理論，如果磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B是隨時(shí)間均勻變化的，那么，它所產(chǎn)生的電場(chǎng)是恒定的。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們下面僅討論這樣的恒定的渦旋電場(chǎng)。



由于電場(chǎng)線是閉合的，這樣就產(chǎn)生一個(gè)佯謬，即無(wú)法確定渦旋電場(chǎng)電場(chǎng)線上某兩點(diǎn)電勢(shì)的高低。如圖2，在渦旋電場(chǎng)電場(chǎng)線上的三點(diǎn)A、B、C，設(shè)它們電勢(shì)分別為φ_A、φ_B、φ_C，沿著電場(chǎng)線方向從A到B，電勢(shì)降低，故φ_B〈φ_A，再沿著電場(chǎng)線方向從B到C，電勢(shì)繼續(xù)降低，故φ_C〈φ_B，同理可得，φ_A〈φ_C，即φ_A〈φ_C〈φ_B，這顯然是與前面的φ_B〈φ_A自相矛盾。



要解釋這一矛盾，必須先明確渦旋電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的區(qū)別。

2 渦旋電場(chǎng)與靜電場(chǎng)

靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)（或叫位場(chǎng)），它的電場(chǎng)線是不閉合的，可以證明，試探電荷在任何靜電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力所做的功，只與試探電荷電量的大小及其起點(diǎn)、終點(diǎn)的位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。用公式表為：

即靜電場(chǎng)中沿任意閉合環(huán)路的線積分恒等于0。這一定理常常被叫做靜電場(chǎng)的環(huán)路定理。

而渦旋電場(chǎng)的電場(chǎng)線是閉合的，它不是保守場(chǎng)，

在渦旋電場(chǎng)中移動(dòng)試探電荷時(shí)，電場(chǎng)力所做的功與路徑有關(guān)。既然如此，在渦旋電場(chǎng)就沒(méi)有電勢(shì)能（位能）這一概念，同樣也無(wú)法引入電勢(shì)這一概念，也就自然沒(méi)有電勢(shì)高低之說(shuō)了。所以，前面關(guān)于A、B、C三點(diǎn)電勢(shì)高低的比較其實(shí)是無(wú)從談起的。

3 電勢(shì)差與電動(dòng)勢(shì)

盡管在渦旋電場(chǎng)中無(wú)法引入電勢(shì)、電勢(shì)差的概念，不過(guò)這里倒可以引入電動(dòng)勢(shì)的概念。下面，先來(lái)談?wù)勲妱?shì)差與電動(dòng)勢(shì)的區(qū)別。

電勢(shì)差是指在靜電場(chǎng)中，把單位正電荷從A點(diǎn)沿任意路徑移動(dòng)到B點(diǎn)靜電力所做的功，它的定義為

它是描寫靜電場(chǎng)本身性質(zhì)的物理量，在靜電場(chǎng)中確定的兩點(diǎn)的電勢(shì)差是一定的，與電勢(shì)參考點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)。在渦旋電場(chǎng)中，試探電荷受到的電場(chǎng)力是非靜電力，在移動(dòng)試探電荷的過(guò)程中沒(méi)有靜電力做功，當(dāng)然也就沒(méi)有電勢(shì)差這一說(shuō)法了。

電動(dòng)勢(shì)表示把單位正電荷從電源負(fù)極通過(guò)電源內(nèi)部移到電源正極時(shí)非靜電力K所做的功，它的定義

它反映電源中非靜電力做功的本領(lǐng)，是描寫電源本身性質(zhì)的物理量。電源一定，電動(dòng)勢(shì)就一定，與外電路的性質(zhì)及電路是否接通沒(méi)有關(guān)系。在渦旋電場(chǎng)中將試探電荷q沿電場(chǎng)線移動(dòng)一周，非靜電力K所做的功為

所以得到：感生電動(dòng)勢(shì)為

4 電勢(shì)差與電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算

可能有人會(huì)問(wèn)，既然在渦旋電場(chǎng)中可以引入電動(dòng)勢(shì)的的概念，那么，任意兩點(diǎn)間的電動(dòng)勢(shì)是不是可以求呢？比如，可不可求前面圖2中A、B兩點(diǎn)間的電動(dòng)勢(shì)呢？

提出上述問(wèn)題的同學(xué)還是沒(méi)有真正理解電動(dòng)勢(shì)和電勢(shì)差的區(qū)別。

電動(dòng)勢(shì)的定義式

中，非靜電力K所做的功W_k是與路徑有關(guān)的，所以在沒(méi)有說(shuō)明路徑的情況下，無(wú)法求出非靜電力的功，自然也就沒(méi)有辦法確定電動(dòng)勢(shì)了。

有意思的是，在渦旋電場(chǎng)中鋪設(shè)導(dǎo)線后，導(dǎo)線中的自由電荷在渦旋電場(chǎng)非靜電力的搬運(yùn)下，會(huì)在導(dǎo)線中重新分布，直至達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡。導(dǎo)線中重新分布的電荷又會(huì)在自己周圍產(chǎn)生靜電場(chǎng)，這樣，再移動(dòng)電荷時(shí)，電荷還會(huì)受靜電力作用，靜電力做功必定對(duì)應(yīng)著電勢(shì)能的變化，于是，就又有了電勢(shì)和電勢(shì)差的概念了。實(shí)際上，根據(jù)閉合電路歐姆定律，我們知道當(dāng)導(dǎo)線（相當(dāng)于電源）不閉合時(shí)，其兩端的電勢(shì)差（即路端電壓）就等于電源電動(dòng)勢(shì)。也就是說(shuō)，上面所討論的三種情況下，導(dǎo)線兩端的電勢(shì)差 的大小分別為Eθr、E(2π-θ)r和0。

那么，如果電路是閉合的，又會(huì)怎么樣呢？

如果在圖3中，沿著電場(chǎng)線鋪設(shè)一個(gè)均勻的細(xì)圓環(huán)，其電阻為R，則圓環(huán)上兩點(diǎn)A、B之間的電勢(shì)差為多大呢？

由閉合電路歐姆定律，

為了更好地理解這一結(jié)果，我們?cè)賮?lái)看一個(gè)類似的問(wèn)題。

如圖4所示，八個(gè)完全相同的電池依次首尾相接后，用一電壓表測(cè)量圖中a、b兩點(diǎn)的電壓，已知每個(gè)電池的電動(dòng)勢(shì)為ε，內(nèi)阻為r，電壓表理想，對(duì)電路的影響不計(jì)，則電壓表的讀數(shù)為多大？

此題的答案為0。因?yàn)椋捎趯?duì)稱性，對(duì)于每一個(gè)電池，從其負(fù)極到正極，由于電源電動(dòng)勢(shì)而抬高的電勢(shì)和由于電池內(nèi)阻沿著電流方向降落的電勢(shì)必相等。

其實(shí)，在這一問(wèn)題中，即使電壓表不是理想的，其讀數(shù)也為0。證明如下：

設(shè)電壓表內(nèi)阻為R_V，并設(shè)圖中各支路的電流方向如圖5所示，電流的大小分別為I₁，I₂，I₃。對(duì)I₁，I₂，I₃流經(jīng)的三個(gè)支路分別用歐姆定律，有

由以上各式，可解得，I₁= 0。所以電壓表內(nèi)阻上的電勢(shì)降I₁R_V=0，即電壓表讀數(shù)為0。

有趣的是，在前面提到的電磁感應(yīng)電路中，盡管A、B間的電勢(shì)差為0，但如果也用電壓表去測(cè)量，則電壓表的示數(shù)卻不一定為零。這是為什么呢？讓我們一起來(lái)探討這一問(wèn)題。

如圖6（a），若把電壓表放在圓環(huán)中心處，連接用的導(dǎo)線沿圓環(huán)的半徑，這時(shí)電壓表的讀數(shù)如何？



如前所述，如果把電壓表放在圓環(huán)中心處，電壓表所在的這一支路感生電動(dòng)勢(shì)為零，相當(dāng)于外電路。與前一題一樣，設(shè)電壓表內(nèi)阻為R_V，并設(shè)圖中各支路的電流方向如圖6（b）所示，電流的大小分別為I₁，I₂，I₃。對(duì)I₁，I₂，I₃流經(jīng)的三個(gè)支路分別用歐姆定律，有

由以上各式，同樣可解得，I₁=0。所以電壓表內(nèi)阻上的電勢(shì)降I₁R_V=0，即電壓表讀數(shù)為0。這一求解過(guò)程和結(jié)果與上一題并無(wú)不同。

但是，如果把電壓表放在AB弦的中點(diǎn)處，連接用的導(dǎo)線沿著此弦，如圖7（a）所示，則此時(shí)電壓表的讀數(shù)又為多少？

反思這一現(xiàn)象，可以發(fā)現(xiàn)，電壓表放置情形不同，讀數(shù)也就不同的原因是：電壓表所在支路可能也有感生電動(dòng)勢(shì)，不能簡(jiǎn)單地將其看作外電路。這其實(shí)也再一次說(shuō)明，電動(dòng)勢(shì)與電勢(shì)差不同，它不只取決于始末兩個(gè)位置，還與實(shí)際路徑相關(guān)，導(dǎo)線鋪設(shè)的情形不同，其兩端的電動(dòng)勢(shì)也就可能不同。

參考文獻(xiàn)：

［1］全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修加選修）物理第二冊(cè).人民教育出版社.2003

［2］趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué).高等教育出版社.1985

（欄目編輯羅琬華）

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