構(gòu)建數(shù)學模型 解決物理問題

摘 要：本文著重探討了在中學物理教學中注重數(shù)學模型與數(shù)學方法教學的必要性，構(gòu)建數(shù)學模型的基本途徑，數(shù)學方法在解決物理問題中的具體應用，數(shù)學的解與物理的解的統(tǒng)一等。使學生能自覺地運用數(shù)學知識、思想、方法去考慮和處理物理問題，從而有效地培養(yǎng)學生應用數(shù)學思想與方法解決物理問題的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學模型；數(shù)學方法；物理問題

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148(2007)8(S)-0044-3

物理學是應用數(shù)學思想與方法最充分、最成功的一門科學?？梢赃@樣說，離開了數(shù)學思想與方法，就沒有真正意義上的物理學。但是，在相當多的學生中，存在著將學習數(shù)學和學習物理兩者截然分開的現(xiàn)象：他們學習了一定的數(shù)學思想與方法，并能解決一些比較復雜的數(shù)學問題；但是在需要運用這些數(shù)學思想與方法來解決物理問題時，卻表現(xiàn)出滯后和吃力?；诖?，筆者經(jīng)過對高中物理中應用數(shù)學思想與方法的多年研究，認為構(gòu)建數(shù)學模型，應用數(shù)學方法，注重數(shù)學的解與物理的解的統(tǒng)一是解決物理問題的有效途徑。

1 注重數(shù)學模型、數(shù)學方法教學的必要性

2006年《普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱(理綜物理)》對應用數(shù)學處理物理問題的能力的要求是：能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進行推導和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論；必要時能運用幾何圖形、函數(shù)圖像進行表達、分析。可見數(shù)學是解決物理問題一個不可缺少的工具。

2 構(gòu)建數(shù)學模型的基本途徑

所謂數(shù)學模型，就是用符號、字母和數(shù)字等數(shù)學語言表示的，反映問題中各要素之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學表達式。構(gòu)建數(shù)學模型(即數(shù)學建模)解決物理問題，就是用數(shù)學語言形式表達所研究的物理問題的特征及有關(guān)量之間的關(guān)系，然后應用數(shù)學方法尋求問題答案。它是解決物理問題的一種方法，一般要經(jīng)過以下兩步：

2.1 物理問題向物理模型的轉(zhuǎn)化

實際的物理問題往往錯綜復雜，影響問題的因素很多，但在諸多的因素中，總有些因素占主導的位置，而另一些因素處于次要的位置。在眾多因素中突出主要因素和主要關(guān)系，進行科學抽象，把復雜的研究對象簡化，即構(gòu)建物理模型。如研究地球公轉(zhuǎn)，求日地間距等，就可以忽略地球的自轉(zhuǎn)以及地球、太陽的線度，將地球、太陽都抽象為質(zhì)點。這樣，地球繞日運動就可以抽象為一質(zhì)點在萬有引力作用下繞另一質(zhì)點的運動。

2．2 物理模型向數(shù)學模型的轉(zhuǎn)化

建立物理模型后，分析與主要因素有關(guān)的基本物理量中，哪些是常量，哪些是變量；哪些是矢量，哪些是標量；哪些是過程量，哪些是狀態(tài)量；哪些是已知量，哪些是待求量。再根據(jù)物理規(guī)律找出各物理量之間的關(guān)系式，抽象出研究對象的數(shù)學模型。如上例中，地球繞太陽運動，若太陽的質(zhì)量M、地球的運動周期T是已知量，地球到太陽的間距r為待求量，而G是常量。根據(jù)日地間的萬有引力

3 數(shù)學方法的具體運用

數(shù)學模型建立起來后，就要應用數(shù)學方法來求解。高中物理學中的數(shù)學方法，是指運用數(shù)學工具分析及闡明物理理論、解決物理問題的方法。常見的數(shù)學方法有：三角函數(shù)法、圖象求解法、數(shù)學比例法、指數(shù)對數(shù)法、幾何圖形法、數(shù)學極值法、數(shù)列極限法、導數(shù)微元法等。在這里僅例舉三角函數(shù)法、數(shù)列極限法加以說明。

例1 質(zhì)量為m的物體放在地面上，它們間的滑動摩擦系數(shù)為μ，用力F斜向上拉物體，使物體在水平面上作勻速直線運動，求力與水平方向的夾角α為多大時最省力。

析與解 由于物體在水平面上做勻速直線運動，隨著α角的不同，物體與水平面間的彈力不同，因而滑動摩擦力也不一樣。而拉力在水平方向的分力與摩擦力相等。以物體為研究對象，受力分析如圖1所示。因為物體處于平衡狀態(tài)，根據(jù)∑F=0得

4 數(shù)學的解與物理的解的統(tǒng)一

從實際問題提煉出數(shù)學模型后，必須根據(jù)問題的目標和條件，尋找切實可行的數(shù)學方法，求出數(shù)學的解。但獲得了數(shù)學的解，并不意味著解題工作的終結(jié)，還應將它還原成物理的解，這種還原工作主要包括以下兩個方面：

4．1 解釋數(shù)學解的物理意義，并結(jié)合實際對數(shù)學解作出取舍

對數(shù)學的解應該充分挖掘其內(nèi)含的物理意義，并給予解釋，以便自身得到認同和接受。如在運動學問題中求得的速度為負值，說明所求得的速度方向與原規(guī)定正方向相反。通過數(shù)學方程解得數(shù)學的解，有時往往不止一個，這些數(shù)學的解，有可能都具有物理意義，也可能并不是都具有物理意義，并不能全部都能在現(xiàn)實中客觀存在，或并不具有同等的地位和價值。這時，就需要結(jié)合物理實際進行討論，舍去不符合實際的解。

4．2 根據(jù)數(shù)學的解對解題過程作必要的修正

如果由建立的數(shù)學模型，應用數(shù)學方法解出的數(shù)學的解都不符合物理實際意義，并不能只是簡單下個無解的結(jié)論，而是應該對原數(shù)學模型作仔細的分析與反思，找到其潛在的問題，并對原數(shù)學模型進行修正。

例3 在平直公路上以20m/s勻速行駛的汽車，剎車后獲得8m/s²大小的加速度，問經(jīng)過5秒鐘，汽車發(fā)生的位移是多少?

錯解 根據(jù)勻變速直線運動的位移公式

討論 汽車剎車后，沒有向前移動，這是不可能的。為什么會出現(xiàn)這樣的結(jié)果呢?進一步分析可以發(fā)現(xiàn)，汽車從開始剎車到停止需要的時間

如果以t=2.5s代入上式求得s=50m才是正確的結(jié)果。

由此可見，求得數(shù)學的解后，再從物理的角度進行討論分析，把數(shù)學的解還原成符合實際的物理的解這一過程，是十分重要的，這也是解題過程中最容易疏漏的地方。

在物理教學過程中對學生進行數(shù)學建模思想和數(shù)學方法應用的滲透，不僅可以使學生體會到物理并非只是一門以實驗為基礎的自然科學，而且還可以使學生感覺到利用數(shù)學的思想和方法能很好的解決一些物理實際問題。

參考文獻

［1］陳宗造，邵曉明．高中物理中的數(shù)學思想與方法［M］．北京：中國科學技術(shù)出版社，2005．2

［2］張憲魁．物理科學方法教育［M］．青島：青島海洋大學出版社，2000．3

［3］張遙．中學物理方法［N］．黑龍江：黑龍江科學技術(shù)出版社，2002．8

(欄目編輯陳 潔)

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