與“功能關(guān)系”有關(guān)的幾點(diǎn)討論

功和能是兩個(gè)聯(lián)系密切的物理量，做功的過(guò)程伴隨著能量的改變，力對(duì)物體做了多少功，物體的能量就改變多少，即W=ΔE，這就是功能關(guān)系。功能關(guān)系貫穿于物理學(xué)的各個(gè)章節(jié)，其中重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)三部分應(yīng)用最多。筆者在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在使用功能關(guān)系W=ΔE解題時(shí)并不熟練，有時(shí)思路還顯得比較紊亂，究其原因，是因?yàn)樗麄儾磺宄降资裁戳ψ龉Φ扔谖矬w哪種能量的改變?，F(xiàn)通過(guò)一個(gè)實(shí)例的詳細(xì)推導(dǎo)，理清各量在推導(dǎo)過(guò)程中的變化，從中體會(huì)其內(nèi)在聯(lián)系。

例 如圖1所示，空間存在著正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為E，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的小球在外力F的作用下從位置1運(yùn)動(dòng)到位置2，速度由v1變?yōu)関2，高度由h1變?yōu)閔2，試分析此過(guò)程中的功能轉(zhuǎn)化關(guān)系。（設(shè)地面處為高度和電勢(shì)的零點(diǎn)）

解 小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受洛侖茲力不做功，而重力、電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)，只與小球初、末位置有關(guān)。由動(dòng)能定理得：

所以WF=(12mv22+mgh2+qEh2)-(12mv21+mgh1+qEh1)。

在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，U=Ed，則：

WF=（12mv22+mgh2+qφ2）-(12mv21+mgh1+qφ1)。①

由推導(dǎo)過(guò)程可以看出：重力功、電場(chǎng)力功經(jīng)過(guò)移項(xiàng)以重力勢(shì)能差和電勢(shì)能差體現(xiàn)出來(lái)。由此可以得到以下結(jié)論：

（1）除重力、電場(chǎng)力外的力對(duì)物體所做的功等于物體機(jī)械能增量與電勢(shì)能增量之和。

若WF=0，則①變?yōu)椋?/p>

12mv22+mgh2+qφ2=12mv21+mgh1+qφ1。②

即只有重力、電場(chǎng)力做功的情況下，物體的機(jī)械能和電勢(shì)能之和守恒。

（2）若不存在電場(chǎng)，則①變?yōu)椋?/p>

WF=(12mv22+mgh2)-(12mv21+mgh1)。③

即除重力外的力對(duì)物體所做的功等于物體機(jī)械能的增量。

若WF=0，則③變?yōu)椋?/p>

即在只有重力做功的情況下，物體的動(dòng)能和重力勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，但總機(jī)械能保持不變。這就是機(jī)械能守恒定律。

（3）若不存在重力場(chǎng)（重力可忽略不計(jì)的情況），則①變?yōu)椋?/p>

WF=（12mv22+qφ2）-（12mv21+qφ1）。⑤

即除電場(chǎng)力外的力對(duì)物體所做的功等于物體動(dòng)能增量與電勢(shì)能增量之和。

若WF=0，則⑤變?yōu)椋?/p>

即在只有電場(chǎng)力做功的情況下，物體的動(dòng)能和電勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，但動(dòng)能和電勢(shì)能的總量保持不變。

綜上所述，總結(jié)所有功能關(guān)系，有如下幾點(diǎn)結(jié)論：

①動(dòng)能的變化看合外力的功；

②重力勢(shì)能的變化看重力的功；

③電勢(shì)能的變化看電場(chǎng)力的功；

④機(jī)械能的變化看除重力外的其它力的功；

⑤動(dòng)能和電勢(shì)能總量的變化看除電場(chǎng)力外

的其它力的功；

⑥重力勢(shì)能和電勢(shì)能總量的變化看重力功、電場(chǎng)力功之和；

⑦機(jī)械能和電勢(shì)能總量的變化看除重力、電場(chǎng)力外的其它力的功；

①、④、⑤、⑦中功為正，相應(yīng)物理量增加；功為負(fù)，相應(yīng)物理量減少。②、③、⑥中則相反，功為正，相應(yīng)物理量減少；功為負(fù)，相應(yīng)物理量增加。當(dāng)然，若功為零，則上述所有結(jié)論中相應(yīng)物理量保持不變。

還可以看出，由于洛侖茲力不做功，磁場(chǎng)的存在與否不影響上述所有結(jié)論。

下面用上述推論分析幾個(gè)具體的例子來(lái)體會(huì)它在解題中的應(yīng)用。

例1 質(zhì)量為m的物體，由靜止開(kāi)始下落，由于阻力的作用，下落的加速度為45g，在物體加速下落高度為h的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是

A.物體的動(dòng)能增加了45mgh。

B.物體的機(jī)械能減少了45mgh。

C.物體的重力勢(shì)能減少了mgh。

D.物體克服阻力做功為15mgh。

解析 F合=ma=45mg，所以W合=45mgh，由推論①知A正確；而F合=mg-f，故f=15mg，W阻=-15mgh，D正確；同時(shí)由推論④知物體的機(jī)械能減少了15mgh，B錯(cuò)；由推論②易知C正確。所以答案為：BCD。

例2 在如圖2所示的勻強(qiáng)電場(chǎng)E和勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中，一個(gè)負(fù)電荷（重力不計(jì)）在外力作用下由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，則（ ）

A.外力與電場(chǎng)力對(duì)電荷做功之和等于電荷電勢(shì)能的增量與動(dòng)能增量之和。

B.外力對(duì)電荷所做的功等于電荷電勢(shì)能的增量與動(dòng)能增量之和。

C.外力、電場(chǎng)力、洛侖茲力對(duì)電荷做功之和等于電荷動(dòng)能的增量。

D.電場(chǎng)力對(duì)電荷所做的功等于電荷電勢(shì)能的減少量。

解析 由推論⑤可知?jiǎng)幽芎碗妱?shì)能總量的變化看除電場(chǎng)力外的其它力的功，所以A錯(cuò)B正確；由推論①知C正確；由推論③易知D正確。故答案為：BCD。

總之，處理物理學(xué)中的功能關(guān)系問(wèn)題，以“功是能轉(zhuǎn)化的量度”為主旨，運(yùn)用動(dòng)能定理和重力、電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)，洛倫茲力不做功的特點(diǎn)，結(jié)合數(shù)學(xué)推導(dǎo)，再經(jīng)過(guò)綜合分析，理清做功的力與相應(yīng)能量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就能順利解決有關(guān)問(wèn)題。

（欄目編輯羅琬華）

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