“圓柱的體積”教學(xué)紀(jì)實與反思（佳木斯市團隊）

教學(xué)內(nèi)容：義務(wù)教育六年制小學(xué)教科書數(shù)學(xué)第12冊第2單元“圓柱的體積”。

教材簡析：圓柱是一種含有曲面的幾何體，給體積的認識和計算增加了難度。教材將本課學(xué)習(xí)安排在圓柱的認識和圓柱的表面積之后。讓學(xué)生有序地經(jīng)歷了探究物體與圖形的形狀、大小、位置關(guān)系的變換過程，掌握圓柱體積的計算方法和公式的推導(dǎo)過程，建立初步的空間概念，培養(yǎng)形象思維，還可以為學(xué)習(xí)圓錐體積打下堅實的基礎(chǔ)，提高學(xué)生的知識遷移能力?；谝陨险J識，我在設(shè)計中突出了以下幾點：

1．加強幾何的實踐操作，盡量讓學(xué)生自己動手，親身經(jīng)歷圓柱的體積轉(zhuǎn)化過程，讓學(xué)生的多種感觀參與學(xué)習(xí)活動。在理解知識的基礎(chǔ)上，發(fā)展學(xué)生思維。

2．加強幾何習(xí)題的設(shè)計，設(shè)計一些實踐性、開放性強的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生靈活運用知識，可以根據(jù)不同的條件求圓柱的體積。盡可能地滿足不同思維水平學(xué)生的需要，并滲透優(yōu)化解題策略。

3．加強空間觀念的培養(yǎng)，提高學(xué)生形象思維及解決問題的能力。突出知識間的聯(lián)系對比，在操作、推導(dǎo)、對比、運用中深化學(xué)生的空間觀念。

學(xué)情分析：

高年級學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題能力逐步增強，這為學(xué)生的自主探究及合作學(xué)習(xí)創(chuàng)造了有利條件，他們已經(jīng)掌握了一些幾何知識，了解部分幾何圖形之間的轉(zhuǎn)化方法。但學(xué)生的立體空間觀念還不是完全成熟，形體之間的轉(zhuǎn)化還有一定的困難。針對學(xué)生的實際，教學(xué)中我主要采用觀察、比較、操作等方法。組織學(xué)生探索規(guī)律，歸納總結(jié)，體驗知識的生成和形成。

教學(xué)目標(biāo)：

1．結(jié)合實際，讓學(xué)生探索并掌握圓柱體積的計算方法，并能運用計算公式解決簡單的實際問題。

2．讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗證等數(shù)學(xué)活動過程，培養(yǎng)學(xué)生探究推理能力，體驗數(shù)學(xué)研究的方法。

3．通過圓柱體積計算公式的推導(dǎo)、運用的過程，體驗數(shù)學(xué)問題的探索性和挑戰(zhàn)性，感受數(shù)學(xué)思考過程的條理性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性，獲得成功的喜悅。

教學(xué)重點：掌握和運用圓柱體積計算公式。

教學(xué)準(zhǔn)點：掌握圓柱體積公式的推導(dǎo)過程。

教學(xué)設(shè)想：

1．課前互動，我們做一個吹氣球的游戲，讓學(xué)生來對比氣球變大后所占用空間的變化。在熱烈的氣氛中讓學(xué)生感受物體的體積就是物體所占用空間的大小。

2．教學(xué)伊始我創(chuàng)設(shè)學(xué)具槽做圓柱學(xué)具這一睛境，讓學(xué)生感知圓柱體積的概念，再通過讓學(xué)生給這4個圓柱學(xué)具排序這一問題設(shè)疑，讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)。

3．動手實踐是學(xué)生體驗的主要方式，合作交流是學(xué)生體驗的有效途徑。所以在教學(xué)中我為圖形轉(zhuǎn)化、猜想推理創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主探究的三步曲：第一步：選擇轉(zhuǎn)化的方法。第二步：體驗轉(zhuǎn)化的過程、第三步：驗證轉(zhuǎn)化的結(jié)果。引導(dǎo)學(xué)生開展觀察、操作、猜想、交流、轉(zhuǎn)化的活動，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中經(jīng)歷數(shù)學(xué)、體驗數(shù)學(xué)。

4．用字母表示公式已經(jīng)是學(xué)生很熟知的幾何知識，因此我為學(xué)生提供了與圓柱體積有關(guān)的字母，讓他們寫出相應(yīng)的公式并在接下來的環(huán)節(jié)中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)公式與習(xí)題的聯(lián)系，讓他們對號入座。學(xué)生根據(jù)不同的公式進行計算，給4個圓柱學(xué)具排序。這樣可以深入理解不同的條件、不同的方法，同樣可以得到圓柱的體積，在對比算法中掌握新知。 5．體積和容積這兩個概念在五年級已經(jīng)學(xué)過，學(xué)生會說意義，但是通過了解，學(xué)生并不是真正理解圓柱的體積和容積。所以我在第一次探究中安排了這樣的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)實踐中區(qū)別圓柱的容積和體積。從形象到抽象建立圓柱的體積概念，符合學(xué)生的認知規(guī)律。第二次探究則是加入表面積這一剛剛學(xué)過的內(nèi)容，讓學(xué)生在為3道選擇問題的練習(xí)中達到區(qū)別體積、容積、表面積的目的，從而實現(xiàn)學(xué)習(xí)運用的最佳狀態(tài)。 6．最后的思維訓(xùn)練是計算正方體中最大圓柱體的體積，給學(xué)生以生動、形象、直觀的認識，此題算法多樣，富于啟發(fā)地清晰揭示了知識的內(nèi)在規(guī)律，使它和教學(xué)過程有機組合，把學(xué)習(xí)延伸到實際，讓知識在體驗中生成。

7．由于每個學(xué)生的知識經(jīng)驗、生活情景、思維方式的不同，對知識的學(xué)習(xí)也有獨特的理解和感受。所以我讓他們用今天的知識去解決生活中的問題，并寫成數(shù)學(xué)日記，讓他們用自己的方式去體驗、探究學(xué)習(xí)過程。

教學(xué)過程：

一、問題導(dǎo)入，質(zhì)疑問難

師：老師這里有兩個氣球，(師從兜里掏出兩個氣球，將其中一個遞給學(xué)生。)你試試把它們變大。(老師再把兩個氣球放回兜里。)為什么這個放不回去了?(因為其中一個的體積變大了。)看來它占據(jù)了很大的空間。教室中還有哪些物體占據(jù)空間?

師：這是一個制作學(xué)具的學(xué)具槽，想一想，它可以做出什么樣的學(xué)具來?

生：圓柱學(xué)具。

師：是的。仔細觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)?

生：圓柱學(xué)具占據(jù)了學(xué)具槽的空間。

師：這就是圓柱學(xué)具的體積。你真善于發(fā)現(xiàn)!能用你的話說說，什么是圓柱的體積嗎?

生：圓柱的體積就是圓柱所占空間的大小。

師：誰來試著給這4個圓柱學(xué)具按體積從大到小排排序?你來試試。

生：體積大小接近，不能確定。

師：老師聽懂了，無法判斷的原因是不知道圓柱體積的大小，現(xiàn)在我們就來研究圓柱的體積。(師板書。)

二、圖形轉(zhuǎn)化。猜想推理

師：想一想，你有辦法得到這4個圓柱學(xué)具的體積嗎?(圓柱課件再從槽中跳出。) 生：用公式計算。 生：用水或沙子轉(zhuǎn)化計算。 師：你們是怎樣轉(zhuǎn)化的，具體說說。

生：用橡皮泥轉(zhuǎn)化計算。

生：用圓形紙片疊加計算……

師：嗯，這些方法都很好，就在今天的課堂你會選擇哪種方法?

生：因為沒有實驗學(xué)具，所以只能用公式計算。

師：其他的方法可以在課后進行。

師：想用公式計算的同學(xué)，你想怎樣推導(dǎo)圓柱的體積公式呢?結(jié)合你們以往學(xué)習(xí)幾何圖形的經(jīng)驗，舉例說明。

生：大部分圖形公式的推導(dǎo)都是把新學(xué)的轉(zhuǎn)化為學(xué)過的。例如：圓形可以轉(zhuǎn)化為長方形。

師：聯(lián)系舊知識，采用轉(zhuǎn)化法，確實不錯。 師：那現(xiàn)在它是一個圓柱，你想怎么辦?

生：像剛才一樣進行平均分。

師：你能具體說說嗎?

生：沿著圓柱的底面直徑平均切分成16個小扇形。

師：都說實踐出真知，接下來就請同學(xué)們拿出學(xué)具，動手嘗試著進行轉(zhuǎn)化，并說說轉(zhuǎn)化后的結(jié)果。

生：將圓柱沿底面直徑平均分成16個小扇形，切分之后，可以拼成一個近似的長方體。

師：(剛才我們將圓柱沿底面直徑平均分成16個小扇形，拼成一個近似的長方體。)如果想讓它更近似于長方體，你想分成多少份?(32)更近似一點。(64)你呢?(128)……

師：這是同學(xué)們剛才的轉(zhuǎn)化過程。

師：打開書，自由讀，用直線標(biāo)記，找出關(guān)鍵詞，依照關(guān)鍵詞自由讀讀轉(zhuǎn)化的過程。

師：現(xiàn)在再請一名同學(xué)到前面來演示轉(zhuǎn)化過程，其他同學(xué)注意觀察，圓柱轉(zhuǎn)化為長方體后什么變了，什么沒變7(圓柱轉(zhuǎn)化為長方體時形狀變了，但是它們底面積、高和體積都沒變。)

總結(jié)文字公式：長方體體積＝底面積×高

圓柱體體積＝底面積×高

師：恭喜大家，我們已經(jīng)成功地推導(dǎo)出圓柱的體積公式。(掌聲鼓勵一下)老師這有一些字母：d、s、r、C、h、v、π。它們與圓柱體體積的計算公式息息相關(guān)，請你們用字母表示出圓柱的體積公式。

生：V=Sh V=(d/2)2π×hV=π2×h V=(c÷π/2)2π×h

師：對比這四個公式你又有什么新發(fā)現(xiàn)?(彩色粉筆畫線。)

生：相同之處都是底面積乘以高，不同是底面積求法不同。

師：謝謝你精彩的發(fā)現(xiàn)，你叫什么名字，認識一下，老師會記住你的。

三、運用公式，解決問題

師：現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了圓柱的體積公式，快來解決剛才的實際問題吧!這是我們要由大到小排序的4個圓柱學(xué)具，請你們拿出題卡計算出它們的體積并排序。

1號底面積50平方厘米，高2.1分米：

2號直徑是10厘米，高20厘米；

3號半徑是4厘米，高22厘米；

4號底面周長31.4厘米，高18厘米。

師：匯報一下你的計算和排序結(jié)果，并說說你應(yīng)用了哪個公式?

師：與他答案相同的同學(xué)舉手示意一下，你是怎樣做的?現(xiàn)在你清楚了嗎?

師：看來，靈活運用公式，并選擇合理的算法。會使我們的學(xué)習(xí)更高效。

四、巧用公式，多重探究

師：同學(xué)們到現(xiàn)在為止，你都學(xué)到了哪些關(guān)于圓柱的知識?

生：表面積、體積、容積。

師：老師這里有一組習(xí)題。請你們選擇合適的問題。

師：讀完之后，你認為求什么就可以大聲地說出來。

(生：體積、容積、表面積。)

學(xué)具廠有一個制作學(xué)具的圓柱形鐵皮桶。它的底面直徑是22厘米，高是25厘米，_________?從里面量底面直徑是20厘米，高是25厘米______________9底面積是380平方厘米。側(cè)面積是1727平方厘米_________________?

師：說說你選擇問題的根據(jù)是什么?

生：體積是圓柱所占空間的大小。容積是圓柱能容納物體的大小，表面積是圓柱所有面積的總和。

五、開放訓(xùn)練，拓展提升

師：學(xué)習(xí)很愉快，我們來慶祝一下：在一個棱長為a分米正方體盒中，放一個最大的圓柱體蛋糕，系上b分米長的絲帶，(打結(jié)部分忽略不計)挖去1根直徑為c厘米，高是d厘米的圓柱蠟燭空隙，這個蛋糕體積到底是多少呢?這次我們男女生比賽，列式不計算，看誰解法多并說明解題思路。

反思：

孫老師作為本次數(shù)學(xué)活動的策劃者、組織者和引導(dǎo)者，巧妙地把純數(shù)學(xué)的“體積問題”與生活實際聯(lián)系起來，組織學(xué)生進行實踐操作、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，自主探究圓柱體積公式并推廣應(yīng)用。這正是我們努力探索的一種新型的數(shù)學(xué)教學(xué)模型：來源于生活——提煉為數(shù)學(xué)——應(yīng)用于實際。

下面就這方面結(jié)合孫老師這節(jié)課談?wù)勎业目捶ǎ?/p>

(一)教師是創(chuàng)造開發(fā)者，為學(xué)生創(chuàng)造自主探究的學(xué)習(xí)環(huán)境

在教學(xué)中孫老師非常注重學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)習(xí)能力，給學(xué)生提供較充分的探索交流的空間，組織、引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程”，并把培養(yǎng)數(shù)學(xué)推理能力有機地融合在這樣的“過程”之中，改善了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。本節(jié)課，孫老師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了看一看、想一想、猜一猜、擺一擺等學(xué)生熟悉的、感興趣的活動情境。如導(dǎo)入新課時。課件出示一個圓柱學(xué)具槽，接著演示把4個圓柱放入學(xué)具槽中，然后讓學(xué)生說一說，這說明了什么?學(xué)生通過觀察和根據(jù)已有的生活經(jīng)驗很容易明白：圓柱占據(jù)了學(xué)具槽的空間。最后，教師指出：圓柱所占空間的大小就是圓柱的體積。緊接著讓學(xué)生試著給這4個圓柱學(xué)具按所占空間大小排序。學(xué)生答案不一，引起爭議，從而激發(fā)了學(xué)生思考怎樣才能準(zhǔn)確的得到這些圓柱的體積呢?引出本課題“圓柱的體積”。此時已經(jīng)點燃學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，他們渴望獲得正確地結(jié)果，并愿意為此付出自己的努力。這正是這節(jié)課成功的起點，也是教師的高明之處，不僅為學(xué)生創(chuàng)造了一個十分寬松的學(xué)習(xí)環(huán)境，還為學(xué)生后面構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)圓柱體積公式奠定了基礎(chǔ)。而一切又是那么的自然，絲毫不露痕跡，頗有“潤物細無聲”的味道。

(二)教師是組織引導(dǎo)者，讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究的全過程

小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程不是被動吸收課本中現(xiàn)成結(jié)論的過程，而是一個親自參與的、豐富生動的思維活動，一個實踐和創(chuàng)新的過程。在教學(xué)中孫老師讓學(xué)生經(jīng)歷了5次自主探究的過程：1．讓學(xué)生回顧“圓”形轉(zhuǎn)化成近似的長方形的過程。通過兩次演示操作，使學(xué)生感受到平均分的份數(shù)越多轉(zhuǎn)化后的圖形更接近長方形。2．讓學(xué)生遷移猜想：圓形摞成的圓柱體能轉(zhuǎn)化成什么幾何形體，學(xué)生動手演示猜想過程。3．再次讓學(xué)生用學(xué)具驗證圓柱轉(zhuǎn)化成長方體過程，并討論思考：這個圓柱體與轉(zhuǎn)化后的長方體相比什么變了，什么沒變?從而得出結(jié)論圓柱的體積等于底面積乘以高。4．教師出示一些字母，讓學(xué)生用等式表示它們之間的關(guān)系，這進一步延伸了本課的知識，學(xué)生很快得出了已知底面半徑、直徑、底面周長、底面積和高求圓柱體積的計算公式。接著教師有引導(dǎo)學(xué)生進行對比、總結(jié)發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，加深學(xué)生的理解。5．最后，利用體積公式計算導(dǎo)入新課時4個圓柱學(xué)具的體積，重新排序。我們欣喜的看到，學(xué)生始終保持著高昂的學(xué)習(xí)情緒，積極參與了每一個環(huán)節(jié)并取得了理想的成果。

(三)教師是促進者，幫助學(xué)生收獲自主探究的果實

一堂課雖然只有幾十分鐘，但孩子們是那么積極主動，不僅創(chuàng)造性的建立了數(shù)學(xué)模型而且發(fā)現(xiàn)圓柱體的轉(zhuǎn)換成長方體的規(guī)律，還找到了許多計算方法。學(xué)生能有如此的表現(xiàn)和收獲，與教師扮演的角色是密不可分的。首先，課堂教學(xué)設(shè)計能從學(xué)生的實際出發(fā)，符合學(xué)生的認知規(guī)律和探究心理，不僅讓學(xué)生自主探究解決當(dāng)前問題，而且引發(fā)了下一個活動。其次，開放性的問題為學(xué)生提供了開放性的思維空間。最后，讓學(xué)生設(shè)計計算蛋糕的體積，再次把學(xué)生帶到新的學(xué)習(xí)環(huán)境中，使學(xué)習(xí)回歸到生活。

(四)遺憾之處

1．在學(xué)生匯報圓柱轉(zhuǎn)化成近似的長方體的時候，學(xué)生只說把圓柱分成16份、32份、64份等。沒有說“平均分”。當(dāng)學(xué)生語言不夠嚴(yán)密的時候，教師要及時糾正。教師敘述的時候也沒有加以強調(diào)，“平均分”在這里顯得尤為重要。而這一部分教學(xué)用時過長，教師調(diào)控課堂教學(xué)能力還有待提高，如果緊湊些，就不會出現(xiàn)超時現(xiàn)象了。

2．面向全體，關(guān)注大多數(shù)學(xué)生做得還不夠。一些學(xué)生課堂上大膽吏流的意識不強，教師應(yīng)給與更多的關(guān)注，多給他們一些機會，讓他們參與進來，與大家共同體驗成功的樂趣。

總之，這是一堂充滿快樂的創(chuàng)新性的數(shù)學(xué)課，教師創(chuàng)造性地開發(fā)教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)造性地開展教學(xué)，學(xué)生創(chuàng)造性地構(gòu)建數(shù)學(xué)知識，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，解決問題。師生一起分享創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)的快樂。