淺淡幾何數(shù)學(xué)模型的活學(xué)、活記、活用

新課程理念強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)教學(xué)要從學(xué)生已有的知識和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程。從小培養(yǎng)和發(fā)展兒童建構(gòu)、運(yùn)用數(shù)學(xué)模型的意識和能力，是對小學(xué)數(shù)學(xué)教師的要求，也是在新課程實(shí)施中，需要廣大教師思考和實(shí)踐探索的重要課題。數(shù)學(xué)模型是指數(shù)學(xué)中各種基本概念以及用數(shù)學(xué)符號語言或圖像語言刻劃表達(dá)的某種實(shí)際問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。有關(guān)幾何圖形方面的周長、面積、體積計(jì)算公式就是一種數(shù)學(xué)模型。不過，有關(guān)幾何知識的數(shù)學(xué)模型多而雜，較抽象，易混淆，是教學(xué)的一大難點(diǎn)。如何優(yōu)化教法和學(xué)法，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用中更好地掌握知識、發(fā)展能力、培養(yǎng)興趣、促進(jìn)創(chuàng)新，打破幾何知識難教難學(xué)的神話呢?下面就從如何引領(lǐng)學(xué)生活學(xué)、活記、活用幾何計(jì)算公式這三個(gè)方面談?wù)勛约旱囊恍┳龇ā?/p>

一、教學(xué)手段直觀化——活學(xué)

要使學(xué)生很好地理解幾何知識方面的計(jì)算公式，教者必須借助有效的直觀手段，幫助學(xué)生建立有關(guān)幾何圖形的清晰表象，掌握幾何圖形的特征，理解計(jì)算公式的建模過程，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和形象思維能力。教者除了借助實(shí)物、模型進(jìn)行直觀演示外，操作和畫圖是最好的直觀化手段。

1，動(dòng)手操作。心理學(xué)家皮亞杰指出：兒童的思維是從動(dòng)作開始的。學(xué)生動(dòng)手操作是一種特殊的認(rèn)知活動(dòng)。這一動(dòng)態(tài)的活動(dòng)既滿足了學(xué)生好奇、好動(dòng)、好表現(xiàn)的心理特點(diǎn)。又可以集中學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)。通過操作活動(dòng)，能夠促進(jìn)學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)知識，從中建立空間感。在實(shí)際教學(xué)中，老師大多是讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)物操作和學(xué)具操作，卻忽視了手勢操作。實(shí)物操作和學(xué)具操作是手勢操作的前提，但用得過多，就易使學(xué)生過于依賴外在的物體使思維水平停留在低層次的視覺和觸覺操作層面：而手勢操作的優(yōu)勢就是讓學(xué)生借助短暫的實(shí)物操作和學(xué)具操作所積累的感知經(jīng)驗(yàn)，通過想象、比劃和口頭表述等外部活動(dòng)促進(jìn)內(nèi)部思維活動(dòng)快速高效地展開，使學(xué)生在頭腦中迅速生成關(guān)于外在感知對象的清晰表象。學(xué)生借助于頭腦中的表象就能易如反掌地掌握幾何圖形的特征，理解相關(guān)的計(jì)算公式。發(fā)展自己的空間觀念和形象思維能力。如：我在教學(xué)長方體面的特征時(shí)，先讓學(xué)生拿實(shí)物或自制的模型摸一摸長方體的6個(gè)面，觀察相對面的大小關(guān)系，緊接著就果斷拋開實(shí)物與模型，讓學(xué)生在眼前想像一個(gè)長方體，并用兩個(gè)手掌相對，分別比劃出它的前后面、左右面和上下面，并戲稱這是在玩“降龍十八掌”，學(xué)生興致極高。接著進(jìn)行比劃競賽：師說出一個(gè)面或相對面，生用手掌比劃，看誰反應(yīng)快。通過巧妙的比劃游戲，有關(guān)面的特征就不只是寫在黑板上的一段枯燥抽象的文字(長方體有6個(gè)面，3組相對面，相對面是完全相同的長方形)。而是已經(jīng)牢牢地建立在學(xué)生腦海中以具體形象為基礎(chǔ)的心智圖像。學(xué)到棱的時(shí)候，我同樣先讓學(xué)生借助實(shí)物或模型數(shù)棱，認(rèn)識相對棱，概括出棱的特征后，我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生玩食指禪功：每個(gè)學(xué)生與同座面對面，共同想像出一個(gè)長方體，各自伸出2個(gè)食指，合作比劃同一方向的四條棱，邊比劃邊說：左右(上下、前后)方向四條棱；然后進(jìn)行比劃相對棱的游戲：師發(fā)口令，同座合作比劃，看哪一組同學(xué)動(dòng)作快!有了這樣的手勢操作，12條棱的清晰表象已牢牢地建構(gòu)在學(xué)生的腦海中了。正是由于巧妙地借助動(dòng)手操作尤其是手勢操作幫助學(xué)生建立了有關(guān)長方體面、棱特征的具體表象，學(xué)生在建構(gòu)有關(guān)長方體的表面積和棱長總和計(jì)算公式時(shí)就表現(xiàn)得相當(dāng)積極主動(dòng)。感覺特容易、特爽!而當(dāng)我在總復(fù)習(xí)時(shí)讓學(xué)生說出長方體的特征時(shí)。學(xué)生們倒背如流、口若懸河。難怪呀!十指連心那!

2，畫圖法。建構(gòu)數(shù)學(xué)圖像語言的材料是十分豐富的。而畫圖相對于實(shí)物和模型操作來說，更方便、更經(jīng)濟(jì)，相對于手勢操作來說。更清晰、更直觀，更利于揭示數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)特征。更利于學(xué)生充分展開數(shù)學(xué)思維。如在教學(xué)圓柱體的表面積公式S=C(H＋R)時(shí)，我就借助了畫圖法。圓柱體表面積公式書上只介紹了S表＝S底×2＋S，而我在一開始的教學(xué)中也沒有將S＝C(H＋R)介紹給學(xué)生。因?yàn)楫?dāng)時(shí)考慮到有關(guān)面積方面的公式太多，學(xué)生易混淆，怕增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。之后的綜合練習(xí)中出現(xiàn)了有關(guān)這一公式的選擇題，全班無一人答出。于是我決定與學(xué)生共同探討這一計(jì)算公式。

師：圓柱側(cè)面展開是什么圖形?(長方形)長、寬各是多少?(C和H)

根據(jù)學(xué)生的回答師畫圖1。

師：圓柱底面的圓形可以剪拼成什么圖形?(長方形)長、寬各是多少?(∏R，R)將上下兩個(gè)圓形底面剪拼成的長方形拼成更大的長方形，長、寬各是多少?(2∏R和R，也就是C和R)

根據(jù)學(xué)生的回答師畫圖2。

師：將長、寬是C和H的長方形與長、寬是C和R的長方形上下再拼起來，又得到了什么圖形?(長方形)長、寬各是多少?(C和H＋R))怎樣求它的面積?所以圓柱的表面積還可以怎樣算——

學(xué)生們頓時(shí)兩眼放光。紛紛舉手，有的競手舞足蹈地大喊起來：S＝C(H＋R)

師反問：記住了這幅剪拼圖。還發(fā)愁記不住這一公式嗎?

生：NO!這一公式太容易了，太簡單了，我更喜歡這一公式!

由于巧妙借助了畫圖法，學(xué)生輕而易舉地就掌握了這一公式，并大有相見恨晚之感。所以，只要有直觀形象的教法和學(xué)法，再難的知識也會(huì)變得簡單容易。

我覺得手勢操作和畫圖法是幾何知識教學(xué)中非常有用的直觀手段，是幫助學(xué)生迅速高效地生成清晰表象、發(fā)展形象思維能力和空間觀念的捷徑，經(jīng)濟(jì)、方便、簡單、實(shí)用，事半功倍。

二、溝通聯(lián)系系統(tǒng)化——活記

有關(guān)幾何知識方面的計(jì)算公式多而雜。經(jīng)過一段時(shí)間的學(xué)習(xí)后，要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對這部分知識進(jìn)行系統(tǒng)地梳理、整合，溝通內(nèi)在的聯(lián)系，讓學(xué)生親歷溫故知新的過程，通過比較、辨析知識之間的聯(lián)系和區(qū)別，形成一個(gè)比較完整的知識網(wǎng)絡(luò)。這樣不僅能使學(xué)生更好地掌握知識的本質(zhì)。加深對公式全面而系統(tǒng)的認(rèn)識，便于深刻理解和長久記憶，達(dá)到牽一發(fā)而動(dòng)全身的功效；更能提高所學(xué)知識的通識性，使學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題時(shí)能融會(huì)貫通、靈活變通、左右逢源、游刃有余!如有關(guān)圓的長度和面積計(jì)算公式，書上只介紹了5個(gè)，即d＝2r，r＝d÷2，C＝∏d，C＝2∏r，S＝∏r。而在實(shí)際運(yùn)用中。常要進(jìn)行公式的逆用，如已知周長求半徑或直徑；或不能直接用公式計(jì)算，如已知直徑或周長求圓的面積。于是我又增加了相應(yīng)的4個(gè)計(jì)算公式：d＝C÷∏，學(xué)了半圓和圓環(huán)后，我又增加了相應(yīng)的5個(gè)計(jì)算公式。這樣有關(guān)圓方面的計(jì)算公式就是14個(gè)。而這14個(gè)公式的聯(lián)系是相當(dāng)密切的。只要抓住其中的3個(gè)基本公式(d＝2r，C＝∏d，S＝∏r)進(jìn)行逆向反推或正向類推。其余公式就水落石出，記憶它們也就不費(fèi)吹灰之力了。

在記憶這些公式時(shí)，我要求學(xué)生完整表述，如：已知直徑求半徑的公式是r＝d÷2，已知周長求半徑的公式是r＝C÷∏÷2。這樣不僅使學(xué)生徹底搞清公式之間的區(qū)別，還能使學(xué)生在實(shí)際運(yùn)用中能根據(jù)已知條件靈活選用合適的計(jì)算公式，從而真正達(dá)到活記活用、學(xué)為所用的目的。而在教學(xué)圓周長的一半和半圓周長時(shí)，我則自創(chuàng)出字母和圖形相結(jié)合的計(jì)算公式，便于學(xué)生更好地把握公式內(nèi)涵，同時(shí)還讓學(xué)生邊比劃手勢邊口述公式，從而使學(xué)生真正心領(lǐng)神會(huì)地建構(gòu)了這一數(shù)學(xué)模型，真可謂“一兩撥千斤”。

從教學(xué)效果看。這14個(gè)公式不僅沒有增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，反而讓學(xué)生真切地感受到知識的聯(lián)系性與系統(tǒng)性，體驗(yàn)到巧學(xué)活記的輕松愉悅，感受到數(shù)學(xué)公式的簡潔美和靈活美，提高了思維的逆向性、綜合性、靈活性和敏捷性，使所有學(xué)生(包括數(shù)學(xué)后進(jìn)生)真正獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功。

由于有關(guān)圓的計(jì)算公式學(xué)得深刻而系統(tǒng)，使得學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)更具遷移性和通識性，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)有關(guān)圓柱的計(jì)算公式時(shí)顯得得心應(yīng)手、易如反掌。在畢業(yè)總復(fù)習(xí)時(shí)，學(xué)生們很輕松地就回憶起有關(guān)平面圖形和立體圖形的36個(gè)公式，他們的駕輕就熟、了如指掌讓我也有幾分吃驚。于是我試探地問：已經(jīng)將這36個(gè)公式熟記于心的請舉手!剎那間，教室里小手如林!是那樣的自信與愉悅!我心中好一陣感動(dòng)與自豪!由此可見，融會(huì)貫通、自成系統(tǒng)的知識一定是活的知識、活的智慧!它就像滾動(dòng)的雪球，越“滾”越大，越“滾”越快。越“滾”越富有靈性；學(xué)生也越學(xué)越輕松，越學(xué)越聰明，越學(xué)越富有智慧!

下面就是我與學(xué)生共同整理出來的有關(guān)小學(xué)數(shù)學(xué)幾何知識的全部計(jì)算公式，共36個(gè)!數(shù)學(xué)模型的簡潔概括、直觀通融之美盡顯其中!

三、指導(dǎo)解題有序化——活用

記住了計(jì)算公式不等于就會(huì)用公式解決實(shí)際問題。在解決幾何實(shí)際問題時(shí)。我們可以通過由“單位——公式——算式——豎式”組成的“四點(diǎn)三步”的解題流程來指導(dǎo)學(xué)生思考，滲透解題策略，提高學(xué)生的實(shí)踐能力和解決問題的本領(lǐng)。

1，圈“單位名稱”定解題方向。在幾何知識的實(shí)際運(yùn)用中，涉及到的單位較多，包括長度單位、面積單位、體積單位、容積單位、質(zhì)量單位等。在審題過程中，讓學(xué)生圈出題中的所有單位名稱，不僅可以加強(qiáng)學(xué)生對不同單位名稱的關(guān)注，明確是否需要同類單位名稱間的互化，還能根據(jù)不同單位名稱的量之間的聯(lián)系定出解題方向和思路?？梢哉f，單位名稱就是幾何應(yīng)用題的解題線索和思維命脈。

案例1：做一個(gè)底面直徑0.6米，高1米的圓柱形油箱，至少需要多少平方分米的鐵皮?如果每升汽油重0.8千克，這個(gè)油箱能存汽油多少千克?

在分析思路時(shí)，我是這樣引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析的：

師：本題中有哪些單位名稱?需要單位互化嗎?

生1：本題中有長度單位米，面積單位平方分米，容積單位升，質(zhì)量單位千克。要將長度單位米化為分米，再求面積，因?yàn)槊娣e單位是平方分米。

生2：也可以先求出圓柱的表面積是多少平方米，再化為平方分米。

師：很好!如何解決第二個(gè)問題?

生3：升是容積單位。由“每升汽油重0.8千克”可知汽油質(zhì)量與油箱的容積有關(guān)，所以先求油箱的容積是多少立方米，并化為多少升，再求汽油質(zhì)量。

生4：也可以先將長度單位米化為分米，再求出容積是多少立方分米，也就是多少升，最后求汽油質(zhì)量。

對于這道題，學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)首先就是忽略單位互化。再有，就是習(xí)慣用第一問中求出的結(jié)果乘0，8，求第二個(gè)問題的結(jié)果。而抓住單位名稱來進(jìn)行分析，這兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)就迎刃而解了。

2，由已知條件定計(jì)算公式。有關(guān)幾何知識的計(jì)算公式很多。除了在教學(xué)計(jì)算公式時(shí)要讓學(xué)生明白每個(gè)公式是已知什么求什么外，在實(shí)際解題時(shí)，更應(yīng)要求學(xué)生根據(jù)題中的已知條件準(zhǔn)確、靈活地確定相應(yīng)的計(jì)算公式，并正確無誤地寫出來。這樣既鞏固了公式的記憶，又提高了靈活運(yùn)用公式的能力，培養(yǎng)了應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力，達(dá)到學(xué)以致用的目的。在審題時(shí)。要提醒學(xué)生注意一些重要字眼，如：“無蓋”、圓錐、通風(fēng)管、煙囪、壓路機(jī)等，以提高公式運(yùn)用的正確性、靈活性。

在案例1中。由于題中已知圓柱的直徑和高，所以求圓柱表面積的公式是：S＝∏(d÷2)2×2＋∏dh，求容積的公式是：V＝∏(d÷2)h。

案例2：一個(gè)圓錐形小麥堆，底面周長為12.56米。高1.5米。每立方米小麥重750千克，這堆小麥約重多少千克?

分析：這一題要先由底面周長和高求出圓錐的體積，再由體積求小麥的質(zhì)量，所以選用的公式是：V＝∏(C÷∏÷2)h÷3

3，由“三式一體”確保解題質(zhì)量。所謂“三式一體”，就是要求學(xué)生在解題時(shí)詳寫每道題的公式、算式、豎式，通過“三式”連續(xù)正確高效的書寫，提高答題的效率。讓學(xué)生將公式寫出來，不僅可以使教者清楚地了解學(xué)生的思路，進(jìn)行有針對性的指導(dǎo)，還使學(xué)生進(jìn)一步鞏固公式的記憶，并對照公式正確列出算式，避免因解題條件過多而發(fā)生漏寫的情況。正確寫出公式和相應(yīng)的算式后，還要認(rèn)真寫豎式，克服怕算抄算的惡習(xí)，準(zhǔn)確、認(rèn)真地算出計(jì)算結(jié)果，踏實(shí)有效地提高計(jì)算能力，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

有關(guān)圓、圓柱、圓錐等幾何知識方面的計(jì)算繁雜易錯(cuò)，為了提高計(jì)算的速度和正確率，教者要在具體的學(xué)習(xí)情境中進(jìn)行算法指導(dǎo)。首先是注意口算與筆算的結(jié)合。如計(jì)算案例2中的算式時(shí)，通過乘法結(jié)合律將與750相乘為250，(12.56÷3.14÷2)與1.5相乘為6，250與6相乘為1500，最后列豎式計(jì)算3，14乘1500為4710。求案例1中的汽油重量時(shí)，先將算出72，再列豎式計(jì)算3.14乘72得226.08。其次是要求學(xué)生在計(jì)算中有意識地記住某些常見數(shù)據(jù)。同時(shí)借助估算來幫助檢驗(yàn)筆算的正誤。如：3.14x16，可把3.14看成3，3乘16為48，所以3.14x16＝50.24；如果算成3.14x16＝18.84，顯然就錯(cuò)了。另外，由于計(jì)算多了，學(xué)生對有關(guān)3.14方面的計(jì)算就形成了一定的直覺，感覺某些結(jié)果很眼熟，如：113.04，226.08，78.5，7.065，100.48，471，56.52等。所以不妨提醒學(xué)生借助數(shù)感與直覺來判斷計(jì)算的正誤。

由于在平時(shí)教學(xué)時(shí)就注意了幾何計(jì)算公式的活學(xué)、活記、活用，所以學(xué)生們對這部分知識學(xué)得扎實(shí)、牢固、靈活。當(dāng)我追問解決這類問題要注意什么時(shí)，學(xué)生們?nèi)鐢?shù)家珍，滔滔不絕：要圈單位，注意單位互化；要由單位名稱定思路，如有的物體質(zhì)量與面積有關(guān)，像：每平方米用漆0.5千克，有的與體積有關(guān)，像：每立方米石油重800千克：要看清有蓋還是無蓋；求圓錐的體積要乘三分之一：計(jì)算時(shí)要注意口算、估算、簡算、筆算相結(jié)合；與煙囪、通風(fēng)管、壓路機(jī)前輪等有關(guān)的面積計(jì)算只要求側(cè)面積，等等。當(dāng)時(shí)我內(nèi)心好不激動(dòng)!是呀，活的知識不僅容易激活，更能活化為學(xué)生的能力和智慧，成為學(xué)生持續(xù)發(fā)展和終身發(fā)展的源頭活水。