穿行在算理與算法之間

算理與算法是計(jì)算教學(xué)中兩個(gè)不同的術(shù)語，有其不同的內(nèi)涵。算理是計(jì)算的道理，它有兩層含義：一是列式的依據(jù)，即某一問題為什么要用加法而不能用減法，這是根據(jù)所求問題與條件的關(guān)系確定的。如表示兩部分的數(shù)量合在一起，需要用加法計(jì)算，而表示總數(shù)量中去掉一部分，則用減法計(jì)算。正因?yàn)橛羞@些依據(jù)，從而構(gòu)成了加、減、乘、除四則運(yùn)算；二是運(yùn)算的依據(jù)，即每一步的運(yùn)算都有其內(nèi)在的道理。如“34＋5”，為什么“5”一定要與“4”相加，這是數(shù)字符號(hào)所含的意義不同。算法是具體的計(jì)算方法。如計(jì)算“34＋5”，先要列出豎式。然后個(gè)位對(duì)齊進(jìn)行計(jì)算。算理與算法有著密切的關(guān)系，前者是計(jì)算的基礎(chǔ)，后者是計(jì)算的概括，兩者呈現(xiàn)出膠著的狀態(tài)。而學(xué)生在實(shí)際計(jì)算過程中往往出現(xiàn)“斷層”現(xiàn)象：即使出現(xiàn)不可能的計(jì)算結(jié)果學(xué)生也渾然不覺，若讓其說明每一步的算理，則更多地是“背運(yùn)算順序”?？梢妼W(xué)生在實(shí)際計(jì)算時(shí)更多地是機(jī)械地實(shí)施算法，缺少運(yùn)用算理計(jì)算、檢驗(yàn)的意識(shí)和習(xí)慣。如何避免這種現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生在真正理解算理的基礎(chǔ)上提煉算法并進(jìn)行計(jì)算，這是我們所要思考的。

[案例]5以內(nèi)的加法

實(shí)踐一：

(一)認(rèn)識(shí)加法

出示掛圖：

1，請(qǐng)學(xué)生觀察圖上畫了什么。(有3個(gè)小朋友在澆花，又跑過來2個(gè)小朋友)

2，教師：你想知道什么?(引導(dǎo)學(xué)生提問：一共有幾個(gè)小朋友?)

3，不需教師指導(dǎo)，學(xué)生列出算式：3＋2＝5。

4，教師追問“3”、“2”、“＋”、“5”分別表示什么意思。

5，揭示課題：5以內(nèi)的加法。

(二)鞏固算法

依次完成教材“試一試”和“想想做做”的題目。其中前四題為根據(jù)圖意列出加法算式，教師在讓學(xué)生充分理解圖意、說圖意的基礎(chǔ)上列式計(jì)算。后兩題為直接計(jì)算5以內(nèi)的加法。

應(yīng)該說，以上教學(xué)充分利用了教材主題圖提供的資源，讓學(xué)生說圖意，在理解圖意的基礎(chǔ)上列式，揭示“加法”概念，并引導(dǎo)學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上計(jì)算加法，練習(xí)設(shè)計(jì)也頗有層次，似乎無懈可擊。但如果仔細(xì)剖析，卻發(fā)現(xiàn)以上案例忽視了一種比獲得概念、算出結(jié)果更重要的東西，那就是發(fā)揮例圖及練習(xí)中各圖在加法概念建模過程中的作用，也就是如何讓學(xué)生經(jīng)歷把主題圖中的物抽象出算式，再將算式回到生活實(shí)際的過程。這種教學(xué)只把圖畫簡(jiǎn)單地看成強(qiáng)化加法概念的一種手段，這樣操作只停留在看圖列式的認(rèn)識(shí)水平上，并沒有借助圖畫讓學(xué)生親歷從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出算式，并將抽象的算式“回爐”到現(xiàn)實(shí)情境的過程。這樣就淡化了圖畫的潛在功能，學(xué)生的思維活動(dòng)缺乏連續(xù)性、漸進(jìn)性，甚至發(fā)生斷層。

實(shí)踐二：

(一)認(rèn)識(shí)加法(同第一次實(shí)踐)

(二)理解算法

1，師：在這里“3”、“2”、“5”分別表示什么意思?教師追問算式所表示的意思。

2，教師出示教材“試一試”的“蕩秋千圖”和“草莓圖”。

(1)學(xué)生獨(dú)立列式計(jì)算后教師追問算式所表示的意思。

(2)師：剛才“3+2”表示3個(gè)小朋友和2個(gè)小朋友，一共有5個(gè)小朋友在蕩秋千；“1＋3”表示1個(gè)大草莓和3個(gè)小草莓，一共有4個(gè)草莓。根據(jù)圖意。小朋友都列出了加法算式并正確地計(jì)算出了結(jié)果，你也想畫一張圖讓小朋友根據(jù)你畫的圖列式計(jì)算嗎?

(3)學(xué)生個(gè)個(gè)躍躍欲試。

(4)師：不過，現(xiàn)在上課畫圖可能來不及。老師請(qǐng)小朋友自己列一個(gè)加法算式來表示你想畫的圖畫的意思，然后請(qǐng)同學(xué)來猜猜你可能畫的是什么。

(5)學(xué)生興致勃勃地開始列式，有的甚至一下子列了五、六個(gè)加法算式。

(6)請(qǐng)幾名學(xué)生上臺(tái)展示所寫的加法算式，下面的學(xué)生爭(zhēng)先恐后地舉手猜測(cè)同學(xué)可能畫的是什么圖畫。大概有以下幾種：

(1)3個(gè)大蘋果和1個(gè)小蘋果一共有4個(gè)蘋果。(模仿練習(xí)題)

(2)×××有3輛玩具車，爸爸今天又買了1輛，他一共有4輛玩具車了。(同學(xué)的愛好)

(3)有3輛大卡車，又開來了1輛，現(xiàn)在一共有4輛大卡車。(生活場(chǎng)景)

學(xué)生憑著自己的生活經(jīng)驗(yàn)。憑著對(duì)同學(xué)的了解，紛紛猜測(cè)著。這不正是學(xué)生在用自己喜歡的方式理解加法。并嘗試計(jì)算加法嗎?

(三)教師跳過教材設(shè)計(jì)的看圖列式題，直接出示5以內(nèi)的加法算式，讓學(xué)生嘗試計(jì)算。

此時(shí)，學(xué)生們想象著現(xiàn)實(shí)情境理解算式、計(jì)算加法，學(xué)生的思維不斷地來回于算理與算法之間，知其然。更知其所以然。

第二次實(shí)踐，教者按照“主題圖——抽象出算式——生活中的加法”進(jìn)行教學(xué)，把加法算式處理成可操作的場(chǎng)景，將圖畫的教學(xué)設(shè)計(jì)成由表及里的學(xué)習(xí)活動(dòng)，使抽象的數(shù)學(xué)概念變成學(xué)生看得見的“數(shù)學(xué)事實(shí)”，經(jīng)歷了把具體場(chǎng)景抽象出算式，又將算式回歸到生活的過程。教師穿行于學(xué)生與文本之間，穿行于算理與算法之間，以“猜測(cè)算式所表示的意思”幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)了認(rèn)識(shí)上的兩次飛躍和直觀思維與抽象思維的有效溝通，搭起了算理與算法之間的橋梁。