一堂數(shù)學(xué)選修課的探究與思考

蔡紅

針對高中《數(shù)學(xué)》選修教材“定積分概念”第一課時中的內(nèi)容，從教學(xué)背景的分析、教學(xué)策略的選擇、教學(xué)目標(biāo)的確定、教學(xué)重難點分析、教學(xué)過程的設(shè)計、教學(xué)設(shè)計特點及評價等六個方面，談?wù)勎业睦斫夂驼J(rèn)識。

本課一方面讓學(xué)生獲得曲邊梯形面積的求解方法，認(rèn)識“一個和式的極限”這一數(shù)學(xué)模型，同時提高學(xué)生的運(yùn)算能力；另一方面，通過“割圓術(shù)”的引入以及曲邊梯形面積求法的探究過程，加強(qiáng)對分割思想、近似思想、極限思想的體驗，為后續(xù)定積分的概念和幾何意義的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

通過前面對導(dǎo)數(shù)知識的學(xué)習(xí)，學(xué)生對“逼近”的數(shù)學(xué)思想有初步的認(rèn)識。從學(xué)生思維特點看，很容易把導(dǎo)數(shù)的幾何意義、劉徽的“割圓術(shù)”與本節(jié)課知識聯(lián)系到一起，但是在具體求曲邊梯形面積的過程中，很難找到解決問題的方法和步驟，對求第i個小曲邊梯形的面積有些困難，同時對“一個和式的極限”這一數(shù)學(xué)模型比較陌生.

筆者采用“引導(dǎo)探究式”的教學(xué)方式，在課堂教學(xué)貫徹“教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體，以問題為引領(lǐng)，探究為主線，思維為核心”的教學(xué)思想，通過圖形和表格直觀啟迪學(xué)生的思維，注重數(shù)學(xué)思想的滲透。并從“求不規(guī)則圖形面積”這個具體問題入手，讓學(xué)生經(jīng)歷類比“割圓術(shù)”中運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想和方法的過程，觀察、分析、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，注重培養(yǎng)學(xué)生自主探究、動手實踐、合作交流的能力，提高學(xué)生分析問題解決問題的能力。同時利用計算機(jī)輔助教學(xué)，通過觀察幾何畫板中圖形以及Excel表格中數(shù)值的變化情況，使學(xué)生直觀感受到“逼近”的數(shù)學(xué)思想，同時鼓勵學(xué)生利用課余時間用信息技術(shù)進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn)，使信息技術(shù)真正為教學(xué)服務(wù)。

引導(dǎo)學(xué)生建立曲邊梯形與圓形的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生回顧分析圓面積公式的具體推導(dǎo)過程：將圓分成很多個小扇形，當(dāng)分割無限變細(xì)的時候，用相應(yīng)小三角形的邊長“近似代替”小扇形的弧長，小三角形“近似代替”小扇形，利用公式計算出每一個小三角形的面積，用小三角形的面積和“逼近”小扇形的面積和，得出此面積即圓的面積的結(jié)論。通過分析小三角形，使學(xué)生感受“以直代曲”和“逼近”的數(shù)學(xué)思想；通過類比啟發(fā)學(xué)生的思維，幫助學(xué)生找到新知識的生長點，用已知探求未知，獲得解決問題的數(shù)學(xué)思想方法。

在解決問題的過程中，數(shù)學(xué)思想必須轉(zhuǎn)化成可以操作的具體方法，才能真正發(fā)揮作用，所以還有必要引導(dǎo)學(xué)生具體分析解決問題的步驟。在求曲邊梯形面積時，能否直接對曲邊梯形進(jìn)行“以直代曲”？追問：如何減小誤差呢？引導(dǎo)學(xué)生初步體會“逼近”的數(shù)學(xué)思想：如果將曲邊梯形分成若干個小曲邊梯形，在每個局部小范圍內(nèi)“以直代曲”，那么就能減小誤差，而且分得越細(xì)，誤差就會越小。這樣就得到了解決問題的第一個步驟：分割。

類比圓面積公式推導(dǎo)中用小三角形面積“近似代替”小扇形面積，如何理解對每個小曲邊梯形 “近似代替”？引導(dǎo)學(xué)生以合理的方式進(jìn)行“近似代替”，學(xué)生可能會提出多種“近似代替”的方案，鼓勵學(xué)生說出他們的想法，幫助他們分析每種方法，指出當(dāng)分割很細(xì)的時候，每種方案的誤差都很小，從計算公式角度來看，矩形的面積公式最簡單，由此確定“近似代替”的方案。同時鼓勵感興趣的同學(xué)課下探究其他“近似代替”的方案。

在課堂上利用幾何畫板直觀演示小矩形面積和Sx逼近曲邊梯形面積S的過程，使學(xué)生從幾何角度直觀感知面積的逼近過程。隨后，請一位同學(xué)展示他所在小組課前做的Excel表格，使學(xué)生從數(shù)值上準(zhǔn)確地看出Sx的變化趨勢。通過這種方式，使學(xué)生從數(shù)與形兩方面體會“逼近”的數(shù)學(xué)思想，認(rèn)同“有限與無限的對立與統(tǒng)一”的辯證觀點，有效地突破了教學(xué)的難點，使信息技術(shù)真正為課堂服務(wù)，成為提高課堂效果的有效手段。至此，得到解決問題的第四個步驟：取極限。為了進(jìn)一步熟悉“一個和式的極限”這一模型，體會“以直代曲”，“逼近”的數(shù)學(xué)思想，可設(shè)計如下練習(xí)題讓學(xué)生動手操作：求由曲線y=x2與直線（x=2，y=0），所圍成的平面圖形的面積S。

回顧本課所學(xué)習(xí)的知識，讓學(xué)生通過小結(jié)，反思本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，加深學(xué)生對求曲邊梯形面積方法的理解。師生共同提煉出本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的精華：一個案例、兩種數(shù)學(xué)思想、三套“以直代曲”的方案、四個解決問題的步驟。

本課采用“探究發(fā)現(xiàn)式”的教學(xué)方式，有如下突出的特點：從學(xué)生原有認(rèn)知出發(fā)，類比圓面積公式推導(dǎo)方法，尋找到新知識的生長點，通過環(huán)環(huán)相扣的問題，結(jié)合學(xué)生的思維發(fā)展變化不斷追問，使學(xué)生對問題本質(zhì)的思考逐步深入；在確定“近似代替”方案時，設(shè)計了適合思維發(fā)散的教學(xué)環(huán)節(jié)，使探究活動貫穿整節(jié)課，讓學(xué)生在思考的過程中深刻體會兩種數(shù)學(xué)思想，有效地突出了教學(xué)重點；利用幾何畫板中的圖形和Excel表格中數(shù)據(jù)展示小矩形面積和逼近曲邊梯形面積的過程，使學(xué)生從數(shù)與形兩方面直觀感受到“以直代曲”和“逼近”的數(shù)學(xué)思想，從而突破了教學(xué)難點。（作者單位：南昌大學(xué)附屬中學(xué)）

責(zé)任編輯：劉 林endprint