勾股定理

黃遠(yuǎn)生

教材分析

《勾股定理》選自九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)教科書《幾何》（人教版）第二冊(cè)《三角形》一章。

“勾股定理”是幾何中極重要的一個(gè)定理，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來(lái)，在理論上占有重要位置，而且它可以解決許多直角三角形的計(jì)算問(wèn)題，在生產(chǎn)、生活中用途很大。

本課時(shí)主要學(xué)習(xí)“勾股定理”的證明及簡(jiǎn)單的應(yīng)用。關(guān)于“勾股定理”的證明方法有很多種，在教學(xué)中選擇了“面積法”這種不常用卻直觀的證明方法，這種方法側(cè)重學(xué)生自己動(dòng)手，很能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，但在教學(xué)中應(yīng)注意兩個(gè)問(wèn)題：第一是圖形的拼接方法;第二是應(yīng)用面積相等的關(guān)系列等式。這兩個(gè)問(wèn)題在教學(xué)時(shí)應(yīng)多引導(dǎo)。

對(duì)于“勾股定理”的應(yīng)用應(yīng)注意強(qiáng)調(diào)：一定要在直角三角形中;一定是已知其中兩邊求第三邊，并要注意求直角邊、斜邊公式的不同。

本課時(shí)內(nèi)容與前面所學(xué)知識(shí)聯(lián)系不大，不受基礎(chǔ)的限制，但要求學(xué)生多動(dòng)口、動(dòng)手、動(dòng)腦，以學(xué)生自主探索為主，教師對(duì)于教學(xué)中出現(xiàn)的突發(fā)問(wèn)題應(yīng)及時(shí)解答，給予學(xué)生幫助。

設(shè)計(jì)理念

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“教學(xué)應(yīng)結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容采用‘問(wèn)題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用與拓展的模式展開，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成與應(yīng)用的過(guò)程……”

本課時(shí)教學(xué)強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索與合作交流，以學(xué)生自主探索為主，并強(qiáng)調(diào)同桌之間的合作與交流，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生多方面能力。

讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口自主探索，感受到“無(wú)處不在的數(shù)學(xué)”與數(shù)學(xué)的美，提高學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的地位和作用。

教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)習(xí)掌握勾股定理的證明及內(nèi)容，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用。

2.培養(yǎng)動(dòng)口、動(dòng)手、動(dòng)腦的綜合能力，并感受從具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律。

教學(xué)重點(diǎn)：勾股定理的證明及應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：勾股定理在生活中的應(yīng)用。

教學(xué)過(guò)程

教具準(zhǔn)備：“L”形紙片若干，紅和綠紙片各一張，剪刀，直尺，相關(guān)課件。

一、趣題引入，導(dǎo)入新課。

師;如圖1，這是由兩個(gè)邊長(zhǎng)不同的正方形連在一起的“L”形紙片，現(xiàn)在請(qǐng)你剪兩刀，再將所得圖形拼成一個(gè)正方形。

學(xué)生動(dòng)手操作，幾分鐘后學(xué)生剪紙失敗，停了下來(lái)，期待老師幫助。

師：要解決這些問(wèn)題，我們可以從剪一些簡(jiǎn)單的圖形開始。

【以趣題引入，激發(fā)學(xué)生興趣。】

二、動(dòng)手動(dòng)腦，推導(dǎo)定理。

師：現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們按老師的要求來(lái)做。同桌之間任意確定兩條線段長(zhǎng)，并以這兩條線段長(zhǎng)為直角邊，用紅紙、綠紙各剪四個(gè)全等的直角三角形。

學(xué)生動(dòng)手，很快完成。

師：同桌之間，一位同學(xué)用紅紙剪兩個(gè)正方形，邊長(zhǎng)分別為直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng);另一位同學(xué)用綠紙剪一個(gè)正方形，邊長(zhǎng)等于直角三角形的斜邊長(zhǎng)。

師：請(qǐng)大家用六個(gè)紅色圖形或五個(gè)綠色圖形拼成一個(gè)大的正方形。

學(xué)生完成拼圖，如圖2、圖3，并投影演示拼圖。學(xué)生若有困難，可仿照投影圖拼圖。

師：請(qǐng)同學(xué)們將紅色正方形、綠色正方形放在一起比較，看看有什么發(fā)現(xiàn)，可得到什么結(jié)論？

生：兩個(gè)正方形一樣大。正方形的邊長(zhǎng)都為a+b，所以兩個(gè)正方形的面積相等。（投影演示）

師：將兩個(gè)正方形中全等的圖形拿掉，還剩下什么？

生：拿掉后可發(fā)現(xiàn)還剩兩個(gè)紅色正方形、一個(gè)綠色正方形。（投影演示）

師：這三個(gè)正方形的面積有什么關(guān)系？為什么？

生：兩個(gè)小正方形的面積和等于大正方形的面積。因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e相等，拿掉部分的面積相等，所以剩下部分的面積相等。

師：由此可得出什么結(jié)論？

若學(xué)生回答有困難，可作提示;正方形面積怎么計(jì)算？三個(gè)正方形邊長(zhǎng)各是多少？引導(dǎo)學(xué)生由“形”向“數(shù)”轉(zhuǎn)化。

生：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

師：這就是我們今天要學(xué)習(xí)的勾股定理（板書課題）。若用a、b表示直角三角形的兩直角邊，c表示斜邊，可得到關(guān)系式：a²+b²=c²。

師：下面來(lái)看看我國(guó)對(duì)勾股定理的研究。

播放錄像片，介紹勾股定理的歷史，激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)熱情。

【讓學(xué)生主動(dòng)參與，自主探究，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性?！?/p>

三、舉例驗(yàn)證定理。

師：剛才我們通過(guò)剪紙，得到一個(gè)定理——勾股定理。勾股定理的內(nèi)容為：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方?，F(xiàn)在，我們來(lái)驗(yàn)證一下。請(qǐng)大家任意畫一個(gè)直角三角形，量出三邊長(zhǎng)a、b、c，并計(jì)算一下，看看是否滿足勾股定理。

學(xué)生動(dòng)手。

生：a=3cm，b=4cm，c=5cm，滿足3²+4²=5²。

生：a=4cm，b=5cm，c=6.4cm，滿足4²+5²=6.4²……

師：我們?cè)倩仡櫼幌拢垂啥ɡ硎窃鯓拥玫降模?/p>

生：通過(guò)剪紙，比較正方形的面積得到的。

師：這是數(shù)學(xué)證題中常用的方法：面積法、比較法。

閱讀課本中對(duì)勾股定理的證明的內(nèi)容。

【通過(guò)具體例子驗(yàn)證定理的正確性，加深學(xué)生印象?！?/p>

四、應(yīng)用舉例，鞏固定理。

師：我們剛才學(xué)習(xí)了勾股定理，勾股定理有什么用呢？怎樣用？

生：知道直角三角形兩邊可以求第三邊。

生：知道兩直角邊可求斜邊，應(yīng)用公式。

生：知道斜邊和一直角邊，可求另一直角邊，應(yīng)用公式。

師：請(qǐng)同學(xué)們每人任作兩直角三角形，量出其中一個(gè)直角三角形兩直角邊，求出其斜邊;量出另一直角三角形一直角邊和斜邊，求另一直角邊。運(yùn)算完之后，再量出所求線段的長(zhǎng)，看看計(jì)算是否正確，圖是否畫準(zhǔn)了。

師：（小結(jié)勾股定理應(yīng)用）略。

閱讀課本P97例1、例2。

練習(xí)：略。

師：我們掌握了勾股定理，并會(huì)應(yīng)用了。再回頭看看，上課時(shí)提到的問(wèn)題，該怎么解？

若有困難，可提示：可考慮今天所學(xué)的勾股定理及面積法，剪拼過(guò)程中，什么沒(méi)發(fā)生改變？要得到的是正方形，應(yīng)該先求出什么？可以怎樣求出？

生：可以這樣剪。（一學(xué)生邊剪邊示范，如圖4）在大正方形各邊上找一點(diǎn)H，使BH=EF，再沿直線AH、HE剪開即可。再將以AH、HE邊拼成正方形。（如圖5，投影演示過(guò)程。）

師;為什么可以這樣剪？你是怎樣想到的？

生：因所剪圖形前后面積沒(méi)發(fā)生變化。設(shè)兩個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為a、b，則面積和為a²+b²，所以所剪正方形邊長(zhǎng)應(yīng)為，要得到以a、b為直角邊構(gòu)造直角三角形即可。

【通過(guò)例子，牢固掌握定理及應(yīng)用方法。】

五、課堂小結(jié)。

1.勾股定理內(nèi)容及應(yīng)用。

2.兩種數(shù)學(xué)證題方法：比較法和面積法。

【梳理本節(jié)課重要方法及知識(shí)點(diǎn)，加深對(duì)本章知識(shí)的理解?！?/p>

六、作業(yè)。

1.閱讀有關(guān)勾股定理的證明材料。

2.課本習(xí)題（略）。

3.將下圖剪兩刀，拼成一個(gè)正方形。

【通過(guò)作業(yè)的完成，鞏固勾股定理及應(yīng)用，并通過(guò)閱讀拓寬學(xué)生視野?！?/p>

課后思考

教學(xué)在一種輕松、愉快的環(huán)境中完成，而且取得了很好的教學(xué)效果。

首先從剪紙拼正方形開始，一下子調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。隨著“意料之中”的失敗，很自然引入了新課，又開始引導(dǎo)學(xué)生對(duì)新知識(shí)一勾股定理”的探索。

“勾股定理”是在學(xué)生的動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦中產(chǎn)生的，有一種“水到渠成”的效果。在這里，學(xué)生成了學(xué)習(xí)的主體，教師只是引路者。體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性、主動(dòng)性原則。

在學(xué)生推導(dǎo)出“勾股定理”后，又讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手作圖，檢驗(yàn)其正確性，使學(xué)生感到自己“發(fā)現(xiàn)”的定理是正確的！

在對(duì)“勾股定理”的應(yīng)用中，首先分析了其中的數(shù)量關(guān)系，了解應(yīng)用“勾股定理”的條件和方法，然后用例題、習(xí)題加以鞏固，使學(xué)生牢固掌握。待這一切完成后，又回到引例提出的問(wèn)題中，達(dá)到了“首尾呼應(yīng)”的效果，并且對(duì)“勾股定理”的應(yīng)用有了加深。

課后小結(jié)是對(duì)本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)的回顧與總結(jié)。作業(yè)分三部分：第一部分讓學(xué)生加強(qiáng)課外閱讀，拓展知識(shí)面;第二部分是“勾股定理”在相關(guān)計(jì)算中的應(yīng)用;第三部分是一道趣味剪紙題，一方面加強(qiáng)對(duì)“勾股定理”的理解應(yīng)用，另一方面又提高了學(xué)生興趣，并且加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用意識(shí)。

“因?yàn)榭鞓?lè)，所以學(xué)習(xí)”，在教學(xué)中，多讓學(xué)生主動(dòng)參與，多聯(lián)系學(xué)生感興趣的事，就會(huì)取得很好的教學(xué)效果。