一類具有梯度項(xiàng)的非線性拋物方程解的不穩(wěn)定性

葉毅

摘要：本文通過引入特征函數(shù)及構(gòu)造適當(dāng)?shù)钠屏岩蜃?，討論了一類具有梯度?xiàng)的非線性拋物方程的行為.運(yùn)用重要函數(shù)空間和重要的 不等式、 不等式等方法，以及積分、微分公式，證明了這類方程初邊值問題之解在有限時(shí)間內(nèi)爆破.

關(guān)鍵詞：非線性拋物方程;破裂因子;特征函數(shù)

引言：“”

由于非線性拋物方程描述了物理、化學(xué)、半導(dǎo)體科學(xué)及量子力學(xué)的許多現(xiàn)象 ，因此對(duì)它的研究一直是人們主要的任務(wù).目前，人們對(duì)非線性拋物方程

（1）

的局部解、整體解以及爆破性進(jìn)行了大量研究，已取得了許多重要的成果，但對(duì)于含梯度項(xiàng)的非線性拋物方程

（2）

的爆破性質(zhì)，近來(lái)才引起人們的關(guān)注，主要因?yàn)閷?duì)于方程（2）的處理較之于（1）要困難得多.在[11]和[12]中，分別研究了一類典型的具有梯度項(xiàng)的非線性拋物方程

和

的特殊形式進(jìn)行了研究，并取得了有益的成果.在此基礎(chǔ)上，本文將考慮如下一類具有梯度項(xiàng)的非線性拋物方程

（3）

具有 邊值的初邊值問題.在文中通過引入特征函數(shù)的爆裂因子的方法，討論方程（3）的解的不穩(wěn)定性，所得結(jié)果推廣了文[11-12]相應(yīng)的結(jié)論.

1.主要結(jié)果

考慮如下初邊值問題

（4）

（5）

（6）

其中， 是 中具光滑邊界 的有界域， 是 算子， 是梯度算子， 定義在區(qū)域 上，引入 算子的線性特征值問題

（7）

（8）

人們知道，問題（7），（8）存在第一特征值 及對(duì)應(yīng)的第一特征函數(shù) ， ，并且 ，顯然， 與 由 完全決定.

設(shè) 是屬于如下空間

（9）

其中 由此，對(duì)問題（4）～（6）之解都是在此意義下理解.為了證明定理，我們首先對(duì)問題（4）～（6）之解的作如下增長(zhǎng)估計(jì).

定理設(shè) .若初值 滿足

（10）

則問題（4）～（6）之解關(guān)于時(shí)間 最多在

內(nèi)存在，并且有

（11）

其中， 為正常數(shù).

2.定理的證明

定理的證明設(shè) 是問題（4）～（6）在空間（9）中的解，設(shè)（9）中的T滿足

（26）

在定理2的條件之下，引理1滿足，

注意到 及條件（10），則

，

因此假設(shè)（26）不成立，即只能有

并且有（11）成立，其中 .所以問題（5）～（7）的解在有限時(shí)間內(nèi)爆破.

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