基于轉(zhuǎn)角和嚙合點關(guān)系的內(nèi)嚙合齒輪泵排量精確計算

(太原科技大學(xué) 機械工程學(xué)院， 山西 太原 030024)

引言

齒輪泵是液壓傳動系統(tǒng)中常用的液壓元件，其中內(nèi)嚙合齒輪泵因齒輪同向旋轉(zhuǎn)，相對滑動速度小，磨損輕微，使用壽命長。同時又具有結(jié)構(gòu)緊湊、高效、低噪音等突出優(yōu)點[1]得到了廣泛應(yīng)用。但同時對齒輪泵的排量的準確計算也是齒輪泵設(shè)計、制造和使用中常見的問題。

何存興為便于齒輪泵排量在實際工程中計算給出了估算公式，而后李宏偉在此基礎(chǔ)上提出另一種近似公式來估算排量[1-2]。楊國來等[3]基于直線共軛內(nèi)嚙合齒輪泵，定義了其嚙合角函數(shù)并進一步推導(dǎo)出了直線共軛齒廓方程。錢志達等[4]針對不同傳動形式的內(nèi)嚙合齒輪泵推導(dǎo)了一系列排量公式。鄒旻等[5]針對諧波式齒輪泵進行了排量計算。呂程輝等[6]基于Fluent動網(wǎng)格技術(shù)，對內(nèi)嚙合齒輪泵內(nèi)部流場進行了二維非定常計算，得到了其在不同工況下的流場特性。吳曉明等[7]基于AMESim搭建內(nèi)嚙合齒輪泵的流量動態(tài)子模型，分析了泵的流量、壓力脈動特性并得出一系列影響脈動的因素。郭善新[8]針對嚙合齒輪齒間有無側(cè)隙情況對內(nèi)嚙合齒輪泵排量的精確計算。董亞敏[9]

通過推導(dǎo)齒輪齒厚與壓力角關(guān)系式，得出內(nèi)嚙合齒輪泵排量在一定程度上隨壓力減小而增大。李玙璠等[10]基于SimulationX預(yù)測了泵的輸出特性以及齒間容積內(nèi)達到的最大和最小壓力。目前內(nèi)嚙合齒輪泵排量的計算基本利用經(jīng)驗公式，對研究齒輪泵的流量特性及其影響因素缺乏指導(dǎo)意義，因此對其進行排量精確推導(dǎo)尤為必要。

1 齒輪轉(zhuǎn)角與嚙合點關(guān)系

如圖1所示，根據(jù)內(nèi)嚙合齒輪泵的嚙合原理及能量守恒定律易得齒輪泵瞬時流量表達式為[1]：

(1)

式中，B—— 齒寬

ω—— 外齒輪軸的角速度

x—— 嚙合點到外齒輪中心的距離

y—— 嚙合點到內(nèi)齒輪中心的距離

R1，R2—— 外齒輪和內(nèi)齒輪節(jié)圓半徑

Re1，Re2—— 外齒輪和內(nèi)齒輪齒頂圓半徑

圖1 簡化內(nèi)嚙合齒輪泵工作原理圖

公式中x，y隨齒輪的轉(zhuǎn)動角度β而變化，且具有一一對應(yīng)關(guān)系，因此求解該關(guān)系式有助于得到內(nèi)嚙合齒輪泵瞬時流量和理論排量明確的解析。

由齒廓的漸開線方程[11]：

(2)

式中，rK—— 漸開線上一點K到基圓中心的距離

Rb—— 齒輪的基圓半徑

α——K點的壓力角

θ——K點的展開角

對外齒廓而言，某瞬時嚙合點在K1，外齒輪軸轉(zhuǎn)過角β1后的嚙合點為K2，而K2的初始位置為K0點，如圖2所示。

圖2 外齒輪嚙合點和轉(zhuǎn)角關(guān)系

易得如下角度關(guān)系：

β1=(α′1-α1)+(θ1-θ1)

=tan(α′1)-tan(α1)

(3)

式中，α1,θ1—— 嚙合點K1處的壓力角和展開角

α′1，θ1—— 嚙合點K2處的壓力角和展開角

故：

α′1=arctan(tan(α1)+β1)

(4)

則外齒輪轉(zhuǎn)動角度β1后，嚙合點K2到外齒輪中心的距離為：

(5)

對內(nèi)齒廓而言，某瞬時嚙合點在K1，外齒輪軸轉(zhuǎn)過角β1，內(nèi)齒輪同向轉(zhuǎn)過的角度為β2，此時嚙合點為K2，且K2轉(zhuǎn)動之前的位置為K0點，如圖3所示。

圖3 內(nèi)齒輪轉(zhuǎn)角和嚙合點關(guān)系

內(nèi)齒輪轉(zhuǎn)動角度β2后，同理推導(dǎo)易得：嚙合點K2到內(nèi)齒輪中心的距離為：

(6)

式中，α2，α′2分別為內(nèi)齒廓上嚙合點K1和K2處的壓力角。

2 排量分析

(7)

內(nèi)嚙合齒輪泵的排量分析即研究主齒輪(外齒輪)轉(zhuǎn)動一圈泵吸入或者排出的油液體積。考慮到齒輪嚙合傳動的連續(xù)性，以及內(nèi)嚙合齒輪泵作為容積式液壓泵，其高低壓密封的可靠性。一般設(shè)計內(nèi)嚙合齒輪副重合度ε大于1。即上一對輪齒還未退出嚙合狀態(tài)的時候，下一對輪齒就已進入嚙合。

又ωdt=dβ1，則這對輪齒排出的油液體積為：

(8)

故內(nèi)嚙合齒輪泵的排量公式為：

(9)

式中，z1和z2分別是外、內(nèi)齒輪的齒數(shù)。

計算式(9)中的α1和α2，即起始嚙合點K1相對于外齒輪和內(nèi)齒輪的壓力角是精確求解排量的關(guān)鍵。

則將上值代入式(4)，得:

(10)

同理，對于內(nèi)齒輪而言，易得到:

(11)

式中，α″為內(nèi)嚙合齒輪副節(jié)圓壓力角。

對于變位內(nèi)嚙合齒輪副，其節(jié)圓壓力角(即嚙合角α″)和重合度ε計算如下[11]：

(12)

式中，a，a′分別為齒輪泵變位前、后的中心距。

(13)

式中，αa1，αa2分別表示外齒輪和內(nèi)齒輪的齒頂圓壓力角。

基于上述分析計算易知，內(nèi)嚙合齒輪泵排量本質(zhì)上是由齒輪副的模數(shù)、齒數(shù)、齒頂高系數(shù)、分度圓壓力角、齒寬和變位情況決定。雖然上述方法對齒輪泵排量的計算較為復(fù)雜，但能較為全面反映各因素對排量的影響情況，因而本研究所得出的排量計算方法對參數(shù)優(yōu)化以及流量脈動分析都具有指導(dǎo)意義[12]。

3 界面化程序設(shè)計

由于本內(nèi)嚙合齒輪泵的排量計算公式推導(dǎo)和計算較為復(fù)雜，為方便在實際工程中的應(yīng)用，基于LabVIEW中公式節(jié)點，對排量公式作了界面化程序設(shè)計，如圖4所示，為內(nèi)嚙合齒輪泵排量的計算和探究齒輪各參數(shù)對排量的影響都提供了便利。

4 排量驗證

表1列舉了3種不同型號規(guī)格的內(nèi)嚙合齒輪泵及其相關(guān)參數(shù)，其中型號Ⅰ的齒輪副傳動類型為正傳動，且變位后的實際中心距a′=10.84 mm；型號Ⅱ、Ⅲ的齒輪副傳動為等變位傳動，即嚙合角與分度圓壓力角相等，中心距沒有變化。

圖4 排量計算的程序顯示面板

由于型號Ⅰ、Ⅲ的內(nèi)嚙合齒輪泵結(jié)構(gòu)尺寸限制，內(nèi)齒圈齒數(shù)較小，以及出于變位或齒頂修型的考慮，使內(nèi)齒圈齒頂?shù)牟糠铸X廓不再是漸開線。但根據(jù)表1中相關(guān)泵的參數(shù)計算易知，這部分過渡圓弧齒廓極短，分別為0.35 mm和0.122 mm，故在對式(13)進行重合度計算時，可將其看作內(nèi)齒輪齒頂圓與其基圓重合的情況考慮?；谏鲜鰲l件并結(jié)合3種實際產(chǎn)品的參數(shù)信息，對本研究提出的排量精確計算式(9)進行實例驗證所表1所示。

表1 內(nèi)嚙合齒輪泵排量的實例驗證

表1中對應(yīng)泵的型號和廠家分別是Ⅰ為國內(nèi)海特克公司的PGI101-3-050型內(nèi)嚙合齒輪泵，Ⅱ為德國ECKLER公司的EIPH316高壓內(nèi)嚙合齒輪泵；Ⅲ為德國VOITH公司的IPV-10型齒輪泵。根據(jù)排量的實際計算結(jié)果及其與公稱排量的誤差對比，充分說明了本研究介紹的分析方法的正確性，證明分析結(jié)果能夠滿足工程應(yīng)用的需要。

5 公式計算對比

現(xiàn)結(jié)合前人基于對嚙合齒輪的齒間工作容積和輪齒的有效體積的系列圖形簡化假設(shè)而得到的排量估算公式進行對比分析。

何存興提出齒輪泵排量可近似為主動齒輪齒頂圓與基圓之間的環(huán)形圓柱的體積：

q=2πz1m2B×10-3

(14)

考慮到齒數(shù)的差異化對排量計算影響較大，進一步修正為[1]：

(15)

李宏偉[2]認為內(nèi)嚙合齒輪泵排量可近似為外齒輪的齒頂圓半徑與內(nèi)齒圈的齒頂圓到外齒輪中心的圓心最近距離為半徑的環(huán)形圓柱的體積：

(16)

利用上述公式對表1中的實例參數(shù)進行排量驗算，計算結(jié)果列于表2如下：

表2 排量公式計算結(jié)果比較 mL/r

由表2可以看出，排量近似計算式(15)和式(16)利用表1提供的參數(shù)所得出的計算排量皆能在一定程度上反映泵實際排量，式(15)因忽略了內(nèi)齒輪的參數(shù)影響，故計算精度不太穩(wěn)定；但上述計算方式無法全面獲得影響內(nèi)嚙合齒輪泵排量的各因素的影響，在齒輪嚙合運動學(xué)分析和齒輪副參數(shù)優(yōu)化上作用不大。

6 結(jié)論

(1) 基于齒輪嚙合原理得出齒輪轉(zhuǎn)角與嚙合點的運動學(xué)關(guān)系，推導(dǎo)精確化排量式(9)；

(2) 利用3種實際產(chǎn)品參數(shù)對式(9)、式(15)和式(16)驗證計算，式(9)計算結(jié)果精確，各影響參數(shù)可直觀表現(xiàn)，為后續(xù)研究奠定基礎(chǔ)。同時基于LabVIEW進行了參數(shù)化輸入的界面程序設(shè)計，增加其在工程實際中應(yīng)用的便捷性；

(3) 提出的精確化排量計算方法對內(nèi)嚙合齒輪泵進行參數(shù)優(yōu)化、流量脈動分析和嚙合力動態(tài)變化提供理論基礎(chǔ)。