低雷諾數(shù)下鈍體三維尾跡中的渦量符號律*

林黎明

(中國科學(xué)院力學(xué)研究所, 中國科學(xué)院流固耦合系統(tǒng)力學(xué)重點(diǎn)實驗室, 北京 100190)

鈍體是目前各種工程中廣泛應(yīng)用的一種結(jié)構(gòu).鈍體繞流的尾跡渦動力學(xué)也是經(jīng)典的流體力學(xué)研究對象之一.本文通過直接數(shù)值模擬, 針對低雷諾數(shù)下各種鈍體結(jié)構(gòu)的不可壓縮繞流, 當(dāng)形成三維尾跡時, 研究具有特定符號的渦量分布特征.通過分析兩類鈍體結(jié)構(gòu), 基本的直柱體和受到幾何擾動的柱體, 總結(jié)并得到了更為廣泛適用的渦量符號律.通過對比并分析這兩類鈍體結(jié)構(gòu), 結(jié)合理論證明的結(jié)果, 進(jìn)一步厘清了對產(chǎn)生渦量符號律的這兩類鈍體結(jié)構(gòu)之間的內(nèi)在物理關(guān)聯(lián), 即引起自然失穩(wěn)的小擾動在慣性力作用下產(chǎn)生的表面渦量只能向下游演化發(fā)展, 而幾何擾動則根據(jù)擾動位置, 產(chǎn)生的表面渦量可以向擾動上游或下游演化發(fā)展.從而可以推測所有鈍體結(jié)構(gòu)尾跡中的各種型式的渦脫落模態(tài), 從渦量符號律的演化角度來看, 實際上是一致的,都是起源于壁面產(chǎn)生特定符號組合規(guī)律的Π型渦.

1 引 言

鈍體結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于各種工程應(yīng)用中, 如斜拉索橋梁、海洋工程中的立管與輸油管道、高層建筑物和熱交換器等.鈍體繞流也是流體力學(xué)的經(jīng)典問題之一.一個物理原因在于：當(dāng)高速流體繞過結(jié)構(gòu)之后, 由于黏性導(dǎo)致結(jié)構(gòu)兩側(cè)出現(xiàn)較大的速度梯度, 即剪切層; 當(dāng)剪切層中的渦量集中到一定程度后發(fā)生脫落; 若上下剪切層中脫落的漩渦發(fā)生交替運(yùn)動時, 對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生一個交替變化的流體載荷; 若這種交變載荷或脫落漩渦的頻率和結(jié)構(gòu)固有頻率接近時, 極易發(fā)生共振, 稱之為渦激振動; 共振嚴(yán)重時會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)發(fā)生疲勞破壞.因此為了了解并控制鈍體結(jié)構(gòu)的尾跡渦動力學(xué), 近幾十年來, 國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究[1?15].采用的方法包括物理模型試驗、直接數(shù)值模擬和線性/非線性穩(wěn)定性分析.

典型地, 以圓形截面直柱體時的尾跡流動為例進(jìn)行說明.根據(jù)前人研究[1?10], 當(dāng)雷諾數(shù)在50—150之間時, 圓柱繞流的尾跡始終為二維的, 此時柱面及尾跡中僅僅存在展向渦(具有展向渦量 ωz),特別是尾跡中的交替脫落渦, 即卡門渦街; 而當(dāng)雷諾數(shù)超過150—190時, 流動進(jìn)入三維層流尾跡轉(zhuǎn)捩區(qū).根據(jù)渦脫落頻率和雷諾數(shù)的關(guān)系, 尾跡轉(zhuǎn)捩過程中存在兩個不連續(xù)的頻率變化, 分別對應(yīng)兩個三維尾跡渦脫落模態(tài)A和B.依據(jù)穩(wěn)定性理論分析, 第一個不穩(wěn)定性模態(tài)A出現(xiàn)的臨界雷諾數(shù)大約在190, 最不穩(wěn)定展向波長約為4倍柱體直徑;而當(dāng)雷諾數(shù)在230—260及之后, 第二個不穩(wěn)定性模態(tài)B逐漸出現(xiàn), 其主要特征為出現(xiàn)了有序的三維流向渦結(jié)構(gòu)(具有流向渦量 ωx), 即小尺度三維性.除了上述兩種具有典型三維特征的渦脫落模態(tài)之外, 還存在一種大尺度、低頻且間歇性出現(xiàn)的尾跡速度脈動, 對應(yīng)的物理現(xiàn)象稱之為大尺度斑狀旋渦位錯.

除了上述三維自然轉(zhuǎn)捩過程中出現(xiàn)的三維尾跡外, 還可以通過柱面引入幾何擾動提前實現(xiàn)尾跡出現(xiàn)三維特征, 如渦激振動抑制措施方面的研究 [16?19]; 特殊地, 有一些研究[20?23]表明, 更多的具有三維特征的渦脫落模態(tài)出現(xiàn)在尾跡中, 比如類似于模式A的渦脫落模態(tài), 以及出現(xiàn)類似于發(fā)夾渦的模態(tài).比如全彎曲方柱的尾跡中, 數(shù)值模擬計算結(jié)果表明, 當(dāng)雷諾數(shù)為100時, 通過適當(dāng)控制擾動強(qiáng)度, 原本交替脫落的卡門渦街沿著流動方向和柱體展向發(fā)生強(qiáng)烈扭曲變形, 甚至脫落的卡門渦街完全受到抑制.

然而, 注意到上述研究中, 幾乎都只是關(guān)注流向渦或流向渦量在三維尾跡或三維渦脫落模態(tài)中所起的作用, 比如模式A中流向渦產(chǎn)生的物理根源的研究, 以及幾何擾動下卡門渦脫落受到抑制的情況.

根據(jù)渦量的物理定義, 渦矢量為速度矢量的旋度, 可以判斷出三維渦脫落模態(tài)中, 除了前述的流向渦量 ωx和展向渦量 ωz外, 還存在另外一個渦量分量, 即垂向渦量 ωy.根據(jù)對該渦分量在卡門渦脫落受到抑制情況中的詳細(xì)研究[24], 發(fā)現(xiàn)垂向渦分量 ωy的強(qiáng)度起著關(guān)鍵作用.而在方形截面柱體層流尾跡轉(zhuǎn)捩過程中出現(xiàn)的模式A中, 也同樣發(fā)現(xiàn)垂向渦分量 ωy對尾跡中流向渦的物理起源起著重要的作用[25].

更進(jìn)一步地, 通過分析幾何擾動后的柱體尾跡渦脫落模態(tài)中的3個渦分量[26], 發(fā)現(xiàn)了一個有趣的物理現(xiàn)象—渦矢量3個渦分量之間存在特定的符號關(guān)系, 即符號律.通過理論分析, 這種受到幾何擾動后的渦量符號律得到了證明[27].同時, 對直方形截面柱體的層流尾跡轉(zhuǎn)捩過程中的兩個渦脫落模態(tài)(模態(tài)A和B)進(jìn)行渦量分析, 同樣發(fā)現(xiàn)這一特殊的符號律[28].由于涉及到渦量符號律方面的研究是一個全新的渦動力學(xué)研究內(nèi)容, 因此國內(nèi)外尚缺乏更多的相關(guān)研究資料.

本文通過直接數(shù)值模擬, 并綜合十多年來研究的各種鈍體結(jié)構(gòu), 無論是直柱體還是受到幾何擾動柱體, 依據(jù)其三維尾跡中三個渦分量之間的關(guān)系,展現(xiàn)并總結(jié)出更為廣泛的鈍體繞流三維尾跡渦量符號律; 并且找到幾何擾動柱體中理論證明的符號律和各種鈍體結(jié)構(gòu)的三維尾跡中渦量符號律之間的物理關(guān)系; 并闡述該符號律所具有的物理涵義.

2 物理模型

2.1 鈍體幾何結(jié)構(gòu)及參數(shù)

為了更好地對比和總結(jié)各類鈍體三維尾跡中渦及其渦分量的符號關(guān)系, 典型地, 將鈍體結(jié)構(gòu)分成兩類, 如圖1所示.一類是基本的直柱體, 主要特征是：不僅柱體軸向不同位置處的橫截面沿著柱體軸向始終保持不變, 而且柱體軸線保持直線.另一類就是上述直柱體中當(dāng)受到幾何擾動后發(fā)生形狀變化的柱體, 其特征主要是：或者柱體軸向位置處的橫截面沿著柱體軸向逐漸變化, 或者柱體軸線不再是保持直線, 而是呈現(xiàn)彎曲型變化的.

顯然, 可以從三維尾跡的角度來分析當(dāng)前鈍體三維尾跡的物理成因.由于基本的直柱體本身并沒有引入三維結(jié)構(gòu)特征而產(chǎn)生的任何干擾, 因此尾跡的三維特性主要是由于隨著雷諾數(shù)增大在自然轉(zhuǎn)捩過程中出現(xiàn)的三維失穩(wěn)引起的.而對于幾何擾動柱體, 由于結(jié)構(gòu)本身就具有三維特征, 因此壁面附近的流動就一直具有三維流動特征; 當(dāng)這種壁面流動引起的干擾足夠強(qiáng)烈時, 導(dǎo)致原先基本直柱體時的二維尾跡提前(在較低的雷諾數(shù))呈現(xiàn)三維特征.

在基本的直柱體一類中, 對兩種經(jīng)典的橫截面形狀進(jìn)行了研究.這兩種橫截面形狀分別是圓形和方形截面, 對應(yīng)的直柱體分別如圖1(a)和圖1(b)所示的直圓柱和直方柱.

而在幾何擾動柱體中, 則分三種情況.1)僅僅是橫截面沿著柱體軸向發(fā)生變化, 而柱體軸線仍然是直線; 此處, 選取了圓形截面內(nèi)半徑坐標(biāo)沿著軸向分別呈諧波形和“Λ”形變化; 對應(yīng)的柱體分別稱之為諧波柱和圓錐柱, 分別如圖1(c)和圖1(d)所示.2)橫截面形狀沿著柱體軸向不發(fā)生變化, 僅僅是柱體軸線呈曲線變化; 此時, 我們研究的是方形截面沿著柱體軸線相互平行, 大小不變, 而柱體軸線呈諧波形變化; 該柱體稱之為全彎曲方柱, 如圖1(e)所示.3)不僅僅橫截面沿著柱體軸向發(fā)生變化, 且柱體軸線也呈曲線變化; 此時, 這種結(jié)構(gòu)最為復(fù)雜.本文主要針對的是作為基礎(chǔ)幾何擾動結(jié)構(gòu)形式的前兩種結(jié)構(gòu); 而第三種則放在后期的研究工作中.

圖1 各種幾何結(jié)構(gòu)形式的鈍體繞流示意圖 (a)圓形截面的直圓柱; (b)方形截面的直方柱; (c)圓形截面的諧波柱; (d)圓形截面的圓錐柱; (e)方形截面的全彎曲方柱Fig.1.Schematics of a flow past a bluff body with different geometry：(a) The straight cylinder with circular cross?section; (b) the straight cylinder with square cross?section; (c) the harmonic cylinder with circular cross?section; (d) the conic cylinder with circular cross?section; (e) the wholly wavy cylinder with square cross?section.

相應(yīng)地, 這兩類結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)也有所區(qū)別,如圖1所示.其中, 直柱體主要為柱體直徑(圓截面)或邊長(方截面)D和展向長度尺度 λ .而幾何擾動柱體, 除了上述兩個幾何參數(shù)外, 還增加了一個幾何擾動高度W, 定義為徑向(諧波柱與圓錐柱)或彎曲方向(全彎曲方柱)最大位置和基本直柱體邊緣之間的距離; 特別地, 定義 W /λ 為幾何擾動強(qiáng)度(波陡度), 用來刻畫引入的幾何擾動對尾跡流動的干擾強(qiáng)度.

2.2 控制方程及邊界條件

對于上述各種結(jié)構(gòu)型式的鈍體三維尾跡流動,建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系 ( x,y,z) .其中, x坐標(biāo)為沿著自由來流并指向下游的方向, 稱為流向;z坐標(biāo)為柱體軸線方向(若為全彎曲柱體, 則是彎曲前均勻直柱體時的軸線), 稱為展向; y坐標(biāo)為垂直于尾跡中心平面 ( x,z) ( y =0 )的方向, 稱為垂向.所有坐標(biāo)系的原點(diǎn)都設(shè)置在柱體一端的截面中心.

假設(shè)流體為不可壓縮牛頓流體, 無量綱的質(zhì)量連續(xù)性方程和動量方程分別為

其中, u =(u,v,w) 為無量綱速度矢量及其3個分量; ? 為梯度算子; t為無量綱的時間; p為無量綱的壓力; Re為雷諾數(shù), 定義為 U∞D(zhuǎn)/ν , 其中 U∞為自由來流速度, D為柱體直徑或邊長(若是幾何擾動柱, 則對應(yīng)的是幾何擾動引入之前基本直柱體時的直徑或邊長), ν 為流體的運(yùn)動黏性系數(shù).所有的速度和長度分別采用自由流速 U∞和柱體直徑或邊長D進(jìn)行無量綱化.

此外, 渦量矢量 ω 定義為速度矢量的旋度, 即? ×u ; 其3個渦分量分別為 ωx(流向渦量), ωy(垂向渦量)和 ωz(展向渦量).根據(jù)這一定義式, 注意到直方柱和直圓柱的另一個物理上或者渦動力學(xué)上的區(qū)別為：直方柱的上下表面(法線方向與y軸平行)處垂向渦量 ωy≡0 , 迎風(fēng)面和背風(fēng)面(法線方向與x軸平行)處流向渦量 ωx≡0 ; 而直圓柱表面除了特殊位置 ( x =0 或 y =0 ) 外, ωx和 ωy是同時存在的.正是這一物理或渦動力學(xué)特征, 使得直方柱有時比直圓柱更能厘清如下的一種關(guān)系：壁面產(chǎn)生的 ωx或 ωy, 和鈍體結(jié)構(gòu)附近繞流流場中的 ωx或 ωy, 這兩者之間的物理對應(yīng)關(guān)系, 從而了解尾跡中流向渦產(chǎn)生的物理源頭.

對應(yīng)地, 不可壓縮牛頓流體流動的渦動力學(xué)控制方程為

由于當(dāng)前研究的鈍體結(jié)構(gòu), 其幾何形狀沿著展向是均勻的或周期性變化, 因而這里首先假設(shè)流動沿著展向是周期性變化的; 其次, 本文僅僅研究流動的展向波長與結(jié)構(gòu)的展向尺度相同情況下的流動(不同展向尺度或波長 λ 和具體研究的流動對象相關(guān), 這在本文第3節(jié)的計算結(jié)果中給出); 而對于特定結(jié)構(gòu)展向尺度下, 兩個或兩個以上展向波長或幾何擾動波長的流場結(jié)構(gòu)將留待以后進(jìn)行研究.

由此, 當(dāng)前各種鈍體結(jié)構(gòu)繞流的邊界條件主要是在 ( x,y) 平面內(nèi)給出.其中, 在來流入口處, 流速為自由來流, 即 u =U∞和 v =w=0 ; 在流動下游出口處, 采用平移邊界條件, 即速度矢量的法向梯度為零, 表達(dá)為 ? u/?x=0 ; 在兩側(cè)垂向邊界處, 采用自由滑移條件, 即和v=0; 在柱體表面處, 采用無滑移速度條件, 即 u =0 .此外, 參考壓力( p∞=0 )設(shè)置在流動入口且 y =0 處.

2.3 計算方法及計算校驗

本文中不同鈍體結(jié)構(gòu)型式的尾跡流動是綜合了筆者十多年來的工作成果[23?26,28,29].這些成果中, 所采用的計算工具是不同的.這些計算工具主要分成兩種：一種是采用C/C++語言自行編程的直接數(shù)值模擬, 如方形截面的直方柱和全彎曲方柱;另一種是通過通用商業(yè)計算軟件Fluent進(jìn)行的直接數(shù)值模擬, 如圓形截面的直圓柱, 以及受到幾何擾動的諧波柱和圓錐柱.

這兩種不同的計算工具中, 采用的計算方法大致是一致的.其中, 速度和壓力耦合求解方程采用隱式格式; 空間離散, 采用二階中心差分格式或二階離散格式; 時間離散精度為二階精度; 壓力泊松方程的求解采用多重網(wǎng)格技術(shù); 詳細(xì)的計算方法可以參考文獻(xiàn)[23, 26, 29].

為了驗證鈍體繞流流動計算結(jié)果與計算域和網(wǎng)格密度無關(guān), 文獻(xiàn)[23]中針對方形截面柱體做了大量的無關(guān)性檢驗工作, 如計算域入口位置、出口位置和垂向兩側(cè)間距的影響; 而圓形截面的幾何擾動柱, 部分借鑒了方柱的驗證經(jīng)驗, 文獻(xiàn)[26]中給出了驗證結(jié)果; 直圓柱則在文獻(xiàn)[29]中同樣給出了更為詳細(xì)的計算域尺度和網(wǎng)格密度對計算結(jié)果的影響分析.上述文獻(xiàn)均表明, 計算所選擇的計算域和網(wǎng)格密度(如表1所列)均對計算結(jié)果影響很小,可以用于下文的結(jié)果分析.

表1 不同幾何結(jié)構(gòu)的鈍體繞流所采用的計算域及近壁網(wǎng)格尺度匯總Table 1.Summary of computational domain and the nearest?wall grid used in a flow past a bluff body with different geometry.

3 數(shù)值模擬計算結(jié)果

在分析尾跡中各個渦分量之前, 首先針對非零渦量 ω 定義如下的符號函數(shù)：

其次, 當(dāng)三維尾跡充分發(fā)展之后, 選取某一時刻考察尾跡中渦量的符號關(guān)系; 最后, 整個鈍體繞流區(qū)域中只關(guān)心其中3個區(qū)域：柱體迎風(fēng)面、剪切層和尾跡.而柱體背風(fēng)面及回流區(qū)內(nèi)渦分量的特定符號關(guān)系留待以后進(jìn)一步研究.

3.1 基本直柱體的三維尾跡

首先來看直圓柱的三維尾跡.特別地, 選取Re=200時出現(xiàn)的純模式A ( λ =4 )和Re=300時出現(xiàn)的純模式B ( λ =1 ), 分別如圖2和圖3所示.根據(jù)柱體迎風(fēng)面、剪切層及尾跡中占優(yōu)渦分量的特定符號來看, 存在如下的兩種關(guān)系, 分別為

需要說明的是, 這兩個關(guān)系式中, y ＜0 指的是尾跡中心平面( y =0 )以下, 如柱體表面下半部分, 下剪切層和尾跡中從下剪切層脫落的渦流(此時 ωz＞ 0 ); 對應(yīng)地, y ＞0 指的是尾跡中心平面( y =0 )上方, 如柱體表面上半部分, 上剪切層和尾跡中從上剪切層脫落的渦流(此時 ωz＜ 0 ).由此, 直圓柱繞流流場中出現(xiàn)的這種具有特定渦量符號組合關(guān)系, 稱之為符號律; 其中(5)式稱為流向渦量和垂向渦量的第一符號律; (6)式則稱為3個渦分量的第二符號律, 或尾跡渦量負(fù)號律.舉例來說, 如圖2(a)和圖2(b)中, 靠近結(jié)構(gòu)一端, 上、下剪切層中占優(yōu)的流向渦量分別為負(fù)號和正號; 而此時占優(yōu)的垂向渦量, 無論上還是下剪切層中, 均為負(fù)號; 流向渦量和垂向渦量均隨著展向渦的交替脫落而脫落; 在此過程中, 可以看出, 上剪切層中, 流向渦量和垂向渦量符號相同, 而下剪切層中則相反;考慮到圖2(c)中展向渦量在上、下剪切層中分別為負(fù)號和正號, 從而得到3個渦分量在剪切層以及隨后的尾跡中的符號組合恒為負(fù)號.

然后, 考察直方柱時的三維尾跡.同樣地, 選取Re = 180時出現(xiàn)的純模式A ( λ=5.6) 和Re =250時純模式B ( λ=1.2) 的渦量場, 分別如圖4和圖5所示.如前所述方形截面的特殊性, 這里只關(guān)注剪切層和尾跡兩個流動區(qū)域.有趣的是, 根據(jù)這兩個區(qū)域內(nèi)占優(yōu)的渦分量符號分布特征, 同樣能得到(3)式和(4)式.

圖2 Re = 200時直圓柱尾跡中各個渦分量等值面以及柱體表面各個渦分量等值線(其中紅色和藍(lán)色分別表示正值和負(fù)值,注 意 等 值 面 圖 中 采 用 半 透 明 灰 色 面 來 表 示 圓 柱 體, 且 流 動 從 左 至 右) (a) ωx= ±0.4 等 值 面; (b) ωy= ±0.2 等 值 面;(c) ωz= ±0.8 等值面 ; (d) ωx 等值線; (e) ωy 等值線; (f) ωz 等值線Fig.2.At Re = 200, iso?surfaces of ω in the wake of a straight circular cylinder, and contours of ω on cylinder surfaces, where red and blue colors denote positive and negative values, respectively：(a) Iso?surfaces of ωx= ±0.4 ; (b) iso?surfaces of ωy=±0.2 ;(c) iso?surfaces of ωz= ±0.8 ; (d) contours of ωx ; (e) contours of ωy ; (f) contours of ωz .Note that the cylinder is denoted by the grey translucent surface in iso?surfaces and the flow is from left to right.

圖3 Re = 300時直圓柱尾跡中各個渦分量等值面以及柱體表面各個渦分量等值線(其中紅色和藍(lán)色分別表示正值和負(fù)值, 以及等值線圖中的綠色則表示 | ωx| 或 | ωy| 小于0.001; 注意, 等值面圖中采用半透明灰色面來表示圓柱體, 且流動從左至右) (a)ωx=±0.2等 值 面 ; (b) ωy= ±0.2 等 值 面 ; (c) ωz=±1 等 值 面 ; (d) ωx 等 值 線 ; (e) ωy 等 值 線 ; (f) ωz 等 值 線Fig.3.At Re = 300, iso?surfaces of ω in the wake of a straight circular cylinder, and contours of ω on cylinder surfaces, where red and blue colors denote positive and negative values, respectively, and green color in contours denotes | ωx| or | ωy| less than 0.001：(a) Iso?surfaces of ωx=±0.2 ; (b) iso?surfaces of ωy= ±0.2 ; (c) iso?surfaces of ωz= ±1 ; (d) contours of ωx ; (e) contours of ωy ;(f) contours of ω z .Note that the cylinder is denoted by the grey translucent surface in iso?surfaces and the flow is from left to right.

圖4 Re = 180時直方柱尾跡中 (a) ωx=±0.8 (黃/綠)和 ωz= ±1 (紅/藍(lán))等值面圖, 其中背景為 z =0 處的 ωz 等值線色圖;(b) z =λ/4 處 ωx 的等值線色圖; (c) z =λ/4 處 ωy 的等值線色圖; 圖中紅色和藍(lán)色, 以及 ωz 等值線的實線和虛線分別表示正值和負(fù)值Fig.4.In the wake of a square cylinder at Re = 180：(a) Iso?surfaces of ωx=±0.8 (yellow/green) and ωz=±1 (red/blue), where the background is colorful contours of ωz at z =0 ; (b) colorful contours of ωx at z =λ/4 ; (c) colorful contours of ωy at z=λ/4.In Fig.4, red and blue colors, as well as solid and dashed lines in contours of ωz , denote positive and negative values, re?spectively.

圖5 Re = 250時直方柱尾跡中 (a) ωx=±0.8 (黃/綠)和 ωz= ±1 (紅/藍(lán))等值面圖, 其中背景為 z =0 處的 ωz 等值線色圖;(b) z =λ/4 處 ωx 的等值線色圖; (c) z =λ/4 處 ωy 的等值線色圖, 其中紅色和藍(lán)色, 以及 ωz 等值線的實線和虛線分別表示正值和負(fù)值Fig.5.In the wake of a square cylinder at Re = 250：(a) Iso?surfaces of ωx=±0.8 (yellow/green) and ωz=±1 (red/blue), where the background is colorful contours of ωz at z =0 ; (b) colorful contours of ωx at z =λ/4 ; (c) colorful contours of ωy at z=λ/4.In Fig.5, red and blue colors, as well as solid and dashed lines in contours of ωz , denote positive and negative values, re?spectively.

3.2 幾何擾動柱體的三維尾跡

由于幾何擾動柱體尾跡中存在多種渦脫落模態(tài), 這里主要選擇兩種類型進(jìn)行展示.一種是類似于上述直柱體中模式A出現(xiàn)的漩渦交替脫落狀態(tài);另一種為脫落渦完全受到抑制的情況.

首先來看圓形截面的諧波柱尾跡.此時, Re =100和擾動強(qiáng)度為 W /λ=0.1 , 選取擾動波長λ=8和4時的渦模態(tài), 分別如圖6和圖7所示.這時,根據(jù)占優(yōu)渦分量的空間分布特征來看, 得到如下兩種情況的渦量符號關(guān)系：

1)迎風(fēng)面及附近至剪切層中下游某一有限位置之間,

圖6 Re = 100, W /λ=0.1 且 λ =8 時諧波柱尾跡中3個渦分量等值面圖(其中紅色和藍(lán)色分別為正值和負(fù)值, 背景為z=0處 ω z 的等值線色圖) (a) ω x ; (b) ω y ; (c)ωzFig.6.At Re = 100, W /λ=0.1 and λ =8 , iso?surfaces of three components of vorticity in the wake of a harmonic cylinder：(a) ω x ; (b) ω y ; (c) ω z .In Fig.6, red and blue colors denote positive and negative values, respectively, and the background is the colorful contour of ωz at z =0 .

圖7 Re = 100, W /λ=0.1 且 λ =4 時諧波柱尾跡中3個渦分量等值面圖(其中紅色和藍(lán)色分別為正值和負(fù)值, 背景為z=0處 ω z 的等值線色圖) (a) ω x ; (b) ω y ; (c)ωzFig.7.At Re = 100, W /λ=0.1 and λ =4 , iso?surfaces of three components of vorticity in the wake of a harmonic cylinder：(a) ω x ; (b) ω y ; (c) ω z .In Fig.7, red and blue colors denote positive and negative values, respectively, and the background is the colorful contour of ωz at z =0 .

圖8 Re = 100, W /λ=0.1 且 λ =8 時圓錐柱尾跡中三個渦分量等值面圖(其中紅色和藍(lán)色分別為正值和負(fù)值, 背景為z=0處 ω z 的等值線色圖) (a) ω x ; (b) ω y ; (c)ωzFig.8.At Re = 100, W /λ=0.1 and λ =8 , iso?surfaces of three components of vorticity in the wake of a conic cylinder：(a) ω x ;(b) ω y ; (c) ω z .In Fig.8, red and blue colors denote positive and negative values, respectively, and the background is the colorful contour of ωz at z =0 .

圖9 Re = 100, W /λ=0.2 且 λ =4 時諧波柱尾跡中3個渦分量等值面圖(其中紅色和藍(lán)色分別為正值和負(fù)值, 背景為z=0處 ω z 的等值線色圖) (a) ω x ; (b) ω y ; (c)ωzFig.9.At Re = 100, W /λ=0.2 and λ =4 , iso?surfaces of three components of vorticity in the wake of a harmonic cylinder：(a) ω x ; (b) ω y ; (c) ω z .In Fig.9, red and blue colors denote positive and negative values, respectively, and the background is the colorful contour of ωz at z =0 .

2)剪切層下游之后和脫落尾渦的尾跡中, 此時可以看出, 渦量符號關(guān)系仍然滿足直柱體尾跡中的(5)式和(6)式.

類似地, 在圓錐柱的三維尾跡中, 當(dāng)Re =100時, 選取擾動強(qiáng)度 W /λ=0.1 且擾動波長 λ =8 ,和擾動強(qiáng)度 W /λ=0.2 且 λ =4 時兩種渦模態(tài), 分別如圖8和圖9所示.依據(jù)特定流動區(qū)域內(nèi)占優(yōu)渦量的符號分布, 可以得到和諧波柱相同的結(jié)論.

最后, 來考察全彎曲方柱的渦量分布特征.同樣 地, 選 取 Re = 100和 λ =5.6 時 W /λ 分 別 為0.025和0.167, 對應(yīng)的兩種渦脫落模態(tài), 如圖10—12所示.比如, 從圖10所示的典型迎風(fēng)面表面渦量分布可以看出, 3個渦分量嚴(yán)格滿足(7)和(8)式; 而圖11和圖12則清楚地表明, 上下剪切層及尾跡中占優(yōu)的三個渦分量滿足(5)和(6)式的關(guān)系.

4 討論部分

根據(jù)上述各種研究結(jié)果, 針對當(dāng)前的渦動力學(xué)系統(tǒng), 對于結(jié)構(gòu)迎風(fēng)面及其附近, 剪切層和尾跡中,首先得到如下的更為廣泛的鈍體繞流尾跡渦量符號律：

其中, 需要澄清位置變量x在鈍體結(jié)構(gòu)中的物理涵義為：當(dāng)受到幾何擾動或自然失穩(wěn)的小擾動時, 沿著當(dāng)前自由來流方向或當(dāng)?shù)亓鲃臃较蛏? 所在流動區(qū)域位于擾動的上游還是下游, 分別對應(yīng)于x＜0和 x ＞0 ; 而位置變量 y ＞0 和 y ＜0 的物理涵義仍然分別是結(jié)構(gòu)中心位置的上側(cè)或上剪切層, 和下側(cè)或下剪切層.

圖10 典型的全彎曲方柱迎風(fēng)面表面渦量分布(Re =100, λ =5.6 和 W /λ=0.025 ) (a) ωx ; (b) ωy ; (c)ωzFig.10.Typical distributions of surface vorticity on the wholly wavy cylinder with a square cross?section (Re = 100,λ=5.6and W /λ=0.025 )：(a) ωx ; (b) ωy ; (c) ωz .

圖11 Re = 100, λ =5.6 和 W /λ=0.025 時 全 彎 曲 方 柱尾跡中渦量等值面分布 (a) ωz= ±1 (紅/藍(lán)); (b)ωx=±0.25(黃/綠)和 ωy= ±0.5 (紅/藍(lán))Fig.11.At Re = 100, λ =5.6 and W /λ=0.025 , iso?sur?faces of ω in the wake of the wholly wavy cylinder with a square corss?section：(a) ωz= ±1 (red/blue); (b)ωx=±0.25(yellow/green) and ωy= ±0.5 (red/blue).

圖12 Re = 100, λ =5.6 和 W /λ=0.167 時 全 彎 曲 方 柱尾跡中渦量等值面分布 (a) ωz= ±1 (紅/藍(lán))和ωx= ±0.25(黃/綠); (b) ωx= ±0.25 (黃/綠)和 ωy= ±0.5 (紅/藍(lán))Fig.12.At Re = 100, λ =5.6 and W /λ=0.167 , iso?sur?faces of ω in the wake of the wholly wavy cylinder with a square corss?section：(a) ωz= ±1 (red/blue) andωx= ±0.25(yellow/green); (b) ωx= ±0.25 (yellow/green) andωy=±0.5(red/blue).

另一方面, 對于受到幾何擾動的鈍體結(jié)構(gòu), 文獻(xiàn)[27]給出了一種簡化的證明方法, 獲得了引入的幾何擾動情況下空間渦結(jié)構(gòu)發(fā)展演化時3個渦分量之間的特殊符號規(guī)律.證明的思路或方法簡述如下：首先, 當(dāng)前動力系統(tǒng)中, 壁面是產(chǎn)生渦量的唯一來源, 由此將分析的流動空間限制在壁面及其附近, 即可以忽略慣性力的黏性底層; 然后, 根據(jù)文獻(xiàn)[23, 24]的研究表明, 幾何擾動能直接產(chǎn)生特定方向的渦分量, 如彎曲方柱迎風(fēng)面和背風(fēng)面處的ωy, 因此在壁面附近直接引入周期性變化的、且由幾何擾動導(dǎo)致的某一方向的渦分量; 并且, 假設(shè)該單一渦分量在壁面黏性底層沿該坐標(biāo)分量的分布是均勻的(如 ωy沿著y方向), 從而通過簡化后的Stokes方程推導(dǎo)得到了另外兩個由于擾動產(chǎn)生的渦分量及其空間分布, 此時得到的是第一渦量符號律, 即(9)式; 最后, 迭加壁面附近外流引起的(二維)剪切流動及其展向渦分量, 最終得到第二渦量符號律, 即(10)式.

從而, 由上述分析可以看出, 這一廣泛的鈍體尾跡渦量符號律恰好和幾何擾動柱體中理論證明的符號律[27]完全一致, 這就說明直柱體時由于引起自然失穩(wěn)的小擾動在結(jié)果上和幾何擾動導(dǎo)致的結(jié)果是完全相同的.然而主要物理區(qū)別在于鈍體結(jié)構(gòu)的迎風(fēng)面及其附近的流動.這一區(qū)別的物理根源在于渦動力學(xué)控制方程(3)式中的非線性對流項(u ·?)ω和非線性拉伸扭曲項 ( ω ·?)u ; 這兩項均來自于運(yùn)動方程(2)式中的非線性慣性力項(u·?)u.所表達(dá)的物理區(qū)別在于, 對于引起自然失穩(wěn)的小擾動, 具有強(qiáng)度小、瞬時性和空間隨機(jī)性的特點(diǎn), 因此若該小擾動產(chǎn)生之后, 在非線性慣性力下, 只能向擾動下游發(fā)展, 而擾動上游則受到抑制; 對應(yīng)地, 所產(chǎn)生的渦量或旋渦在非線性對流項下向下游對流輸運(yùn), 在非線性拉伸扭曲項下進(jìn)一步沿著當(dāng)?shù)亓鲃臃较蜓由煅莼? 從而導(dǎo)致直柱體迎風(fēng)面處即使由于小擾動產(chǎn)生表面渦量, 也只能向下游演化發(fā)展; 因此上述渦量符號律中直柱體迎風(fēng)面處渦量符號律始終取 x ＞0 的情況進(jìn)行解釋.而對于幾何擾動柱體, 則幾何擾動本身強(qiáng)度足夠大, 且屬于持續(xù)存在的擾動, 一旦該幾何擾動(從對稱面x=0)延伸至擾動上游, 則導(dǎo)致表面渦量的產(chǎn)生持續(xù)存在, 且遵循文獻(xiàn)[27]中提出的渦誘導(dǎo)渦結(jié)果;一旦產(chǎn)生之后, 在非線性慣性力作用下在迎風(fēng)面附近對流輸運(yùn)至剪切層下游某一位置處結(jié)束.由此看出, 黏性力不僅產(chǎn)生渦量并導(dǎo)致渦量離開壁面之后的擴(kuò)散和耗散, 同時也決定渦量各分量之間的符號關(guān)系; 而慣性力則是決定已經(jīng)由黏性力所產(chǎn)生的渦量的對流輸運(yùn)及扭曲的空間演化方向, 慣性力本身并不決定渦量各分量之間的符號關(guān)系.

值得注意的是, 在當(dāng)前的渦動力學(xué)系統(tǒng)下, 壁面是產(chǎn)生渦量的唯一來源.考慮到柱體迎風(fēng)面, 無論是直柱體還是幾何擾動柱體, 該處的渦量向下游延伸的空間距離有限, 而下游(剪切層和尾跡)則仍然主要遵循 x ＞0 情況下的渦量符號律.根據(jù)(9)和(10)式所表明的空間三維渦結(jié)構(gòu)內(nèi)部各個渦分量的特殊符號組合, 結(jié)合文獻(xiàn)[27]提出的壁面渦誘導(dǎo)渦理論, 可以得出如下的結(jié)論：剪切層中和尾跡中出現(xiàn)的流向渦量和垂向渦量, 其物理根源均來自于柱體表面; 特殊的符號關(guān)系由剪切層及尾跡中的渦量符號律決定.該結(jié)論不僅能解釋直方柱尾跡轉(zhuǎn)捩模式A中流向渦量的產(chǎn)生源頭[25], 也同樣適用于直圓柱尾跡轉(zhuǎn)捩模式A中的流向渦量[29].根據(jù)文獻(xiàn)[23, 28, 29]的研究結(jié)果, 定義如下特殊渦量符號組合的渦結(jié)構(gòu), 上剪切層中的 Π-渦具有(+|ωx|,+|ωy|,-|ωz|)和 ( -|ωx|,-|ωy|,-|ωz|) 兩種組合, 而下剪切層中的 Π+渦具有(+|ωx|,-|ωy|,+|ωz|)和 ( -|ωx|,+|ωy|,+|ωz|) 兩種組合, 其中 Π 型渦中的“ - ”表示為展向渦量, “| |”則主要為流向渦量和垂向渦量.當(dāng)前研究結(jié)果表明, 無論是直柱體還是受到幾何擾動的柱體, 即使尾跡中渦脫落模態(tài)的外觀、展向波長、出現(xiàn)的雷諾數(shù)等信息各不相同, 甚至是渦脫落完全受到抑制的情況, 尾跡渦模態(tài)中的渦量符號組合是恒定不變的, 即僅有 Π-和 Π+渦分別出現(xiàn)在上和下剪切層中, 或最終脫落.因此可以推測如下, 對于任意鈍體結(jié)構(gòu)在低雷諾數(shù)下出現(xiàn)的三維尾跡中, 渦量符號組合都是統(tǒng)一的; 進(jìn)而, 這些形態(tài)各不相同的渦, 從渦量符號演化的角度來看, 本質(zhì)上都是相同的, 即 Π 型渦.

本文需要提及的是, 在文獻(xiàn)[26]中提出的垂向相互作用和文獻(xiàn)[30]中提出的流向相互作用, 本質(zhì)上仍然是文獻(xiàn)[27]中壁面上渦量產(chǎn)生的物理根源進(jìn)而向下游發(fā)展演化的結(jié)果.文獻(xiàn)[30]中在討論平板尾跡三維渦模態(tài)復(fù)雜相互作用的過程中忽略了非常關(guān)鍵的信息：流向渦量和垂向渦量在平板尾緣處由于引入幾何擾動(周期性褶皺)就已經(jīng)出現(xiàn)了,進(jìn)而在尾跡中由于展向渦的拉伸作用而顯著增強(qiáng).即使如此, 該尾跡中的渦脫落模態(tài)中渦量符號仍然遵循當(dāng)前的符號律.

此外, 從渦量的物理定義 ω =?×u 看出,3個渦分量之間并不是獨(dú)立的, 而是相互關(guān)聯(lián)的.鈍體尾跡渦量符號律恰好從符號的角度詮釋了三個渦分量之間的內(nèi)在的物理關(guān)聯(lián).

5 結(jié) 論

通過直接數(shù)值模擬, 針對典型的不同鈍體結(jié)構(gòu), 獲得了低雷諾數(shù)下出現(xiàn)的各種三維尾跡渦脫落模態(tài), 對其中渦結(jié)構(gòu)的各個渦分量空間分布進(jìn)行了分析和總結(jié), 特別關(guān)注鈍體迎風(fēng)面及其附近、剪切層和尾跡區(qū)域, 從而得到了應(yīng)用更加廣泛的渦量符號律.特別重要的是, 渦量符號律反映了鈍體尾跡中出現(xiàn)的流向渦量和垂向渦量之間的相互依賴的物理關(guān)系, 可以用來解釋直柱體層流尾跡轉(zhuǎn)捩過程中模態(tài)A中流向渦產(chǎn)生的物理根源.

在當(dāng)前計算和分析條件下, 該渦量符號律和擾動波長、計算的雷諾數(shù)無關(guān).

這一渦量符號律不僅得到了理論上的證明, 也通過直柱體和受幾何擾動柱體之間的區(qū)別厘清了特定情況下符號律的物理關(guān)系, 特別是直柱體尾跡中引起自然失穩(wěn)的小擾動和擾動柱本身的幾何擾動.尾跡渦量符號律或負(fù)號律也間接表明各種尾跡渦脫落模態(tài)之間的內(nèi)在物理關(guān)聯(lián), 從而確認(rèn)鈍體尾跡渦脫落模態(tài)僅存在兩種特殊渦量符號組成的渦結(jié)構(gòu), 即分別出現(xiàn)在上和下剪切層中的 Π-和 Π+渦.

下一步, 即將開展更大尺度下直圓柱尾跡中出現(xiàn)旋渦位錯時, 考察該結(jié)構(gòu)尾跡中出現(xiàn)不同展向波長(模態(tài)A和大尺度的旋渦位錯)對尾跡渦量符號律的影響.