一種改進(jìn)的非整數(shù)自適應(yīng)時(shí)延估計(jì)方法?

李均浩 劉文紅

(1 上海電機(jī)學(xué)院電氣學(xué)院 上海 201306)

(2 上海電機(jī)學(xué)院電子信息學(xué)院 上海 201306)

0 引言

機(jī)電設(shè)備故障診斷有許多種方法，故障聲故障定位能夠不接觸設(shè)備，通過采集設(shè)備的聲場(chǎng)信息和陣列處理技術(shù)，確定聲源的位置，直觀地找到故障源，進(jìn)而查明故障的原因，例如變速箱噪聲控制[1]、空調(diào)壓縮機(jī)異常聲定位[2]和風(fēng)機(jī)氣動(dòng)噪聲源定位[3]。聲源定位系統(tǒng)是微型、獨(dú)立且可移植的，對(duì)于大型設(shè)備檢測(cè)系統(tǒng)復(fù)雜的情況，可以從某些故障具有發(fā)聲的特征運(yùn)用聲源定位技術(shù)補(bǔ)充設(shè)備故障診斷系統(tǒng)[4]?；跁r(shí)延估計(jì)的聲源定位中，時(shí)延估計(jì)算法性能對(duì)定位的效果有直接的影響。文獻(xiàn)[5]對(duì)空調(diào)外機(jī)故障聲和背景噪聲進(jìn)行分析建模，故障聲信號(hào)的低信噪比和脈沖噪聲的影響要求時(shí)延估計(jì)算法能夠處理這些狀況。

相關(guān)法時(shí)延估計(jì)是運(yùn)用最廣泛的算法。文獻(xiàn)[6]對(duì)二次相關(guān)法進(jìn)行改進(jìn)，銳化峰值位置，時(shí)延估計(jì)效果好于二次相關(guān)法和相關(guān)法。文獻(xiàn)[7]進(jìn)行二次相關(guān)算法后，對(duì)相關(guān)峰值由希爾伯特差分法進(jìn)一步改善。文獻(xiàn)[8]通過實(shí)驗(yàn)對(duì)比相關(guān)、共變、分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差算法，證明分?jǐn)?shù)低階算法更具有魯棒性。文獻(xiàn)[9]提出共變相關(guān)算法，能夠抑制脈沖噪聲，低信噪比下估計(jì)精度高于共變法和相關(guān)法。相關(guān)法只能對(duì)時(shí)延估計(jì)值整數(shù)位進(jìn)行估計(jì)，對(duì)一些低頻故障聲源[10]進(jìn)行定位，若采樣頻率只滿足采樣定理，分?jǐn)?shù)位的誤差對(duì)定位影響很大；提高信號(hào)的采樣率能夠提高時(shí)延估計(jì)的分辨率，但相關(guān)峰值就不尖銳，不易找到峰值的位置；同時(shí)提高采樣率在硬件實(shí)現(xiàn)上亦增加了難度。

提高時(shí)延估計(jì)分辨率有兩種方法，一種方法是插值，另一種方法是直接估計(jì)出非整數(shù)時(shí)延。文獻(xiàn)[11]首先用相關(guān)法求時(shí)延估計(jì)值，然后用sinc 函數(shù)對(duì)一個(gè)序列進(jìn)行時(shí)延處理，時(shí)延值為采樣周期的一定百分比，再進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，與之前的峰值進(jìn)行比較，得到更精確的時(shí)延估計(jì)值；若要提高分辨率，則要在此前基礎(chǔ)上重復(fù)這一過程，分辨率仍然受影響。文獻(xiàn)[12]用時(shí)延估計(jì)方法對(duì)電站鍋爐進(jìn)行高溫測(cè)量，基于背景噪聲非常接近高斯過程時(shí)，為了克服在低時(shí)變信噪比下估計(jì)電站鍋爐內(nèi)精確時(shí)間延遲的困難，研究了基于四階累積量的顯式時(shí)延增益估計(jì)算法。文獻(xiàn)[13]提出一種基于最小平均p范數(shù)的非整數(shù)自適應(yīng)時(shí)間延遲估計(jì)方法，稱為L(zhǎng)MPFTDE算法，在高斯噪聲和脈沖噪聲環(huán)境都具有良好的魯棒性，算法的代價(jià)函數(shù)為多峰函數(shù)，但時(shí)延值在D ?0.5 與D+0.5 之間(D為時(shí)延真值)，代價(jià)函數(shù)是單峰的，需要其他算法對(duì)時(shí)延估計(jì)值先進(jìn)行整數(shù)位的準(zhǔn)確估計(jì)，作為迭代初始值來估計(jì)非整數(shù)的時(shí)延真值。

在滿足采樣定理的采樣率下，考慮故障信號(hào)的低信噪比和噪聲含有脈沖信號(hào)的特點(diǎn)，本文通過兩步對(duì)時(shí)延估計(jì)值進(jìn)行更準(zhǔn)確的估計(jì)。首先將觀測(cè)序列進(jìn)行自共變和互共變運(yùn)算，將共變序列進(jìn)行相關(guān)法時(shí)延估計(jì)，得到時(shí)延估計(jì)值的整數(shù)位，作為非整數(shù)自適應(yīng)時(shí)延估計(jì)算法的初始值；然后將共變序列作為L(zhǎng)MPFTDE算法的輸入信號(hào)，實(shí)現(xiàn)在低采樣率下對(duì)時(shí)延估計(jì)值更加準(zhǔn)確的估計(jì)。

1 α穩(wěn)定分布和共變

1.1 α穩(wěn)定分布

α穩(wěn)定分布是一種廣義的高斯模型[14]，根據(jù)廣義中心極限定理，它是唯一的一類構(gòu)成獨(dú)立同分布隨機(jī)變量之和的極限分布，高斯分布是其子類。高斯分布和α穩(wěn)定分布的區(qū)別在于：高斯分布具有指數(shù)拖尾，α穩(wěn)定分布具有代數(shù)拖尾。所以α穩(wěn)定分布能夠更好地描述噪聲中的脈沖過程。

除少數(shù)幾種情況外，α穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)沒有解析的表達(dá)式。特征函數(shù)和概率密度函數(shù)是互相唯一確定的關(guān)系，特征函數(shù)本質(zhì)上是概率密度函數(shù)的傅里葉逆變換，它們都可以完全描述一個(gè)隨機(jī)分布的統(tǒng)計(jì)特性，下面是α穩(wěn)態(tài)分布的特征函數(shù)介紹。

則隨機(jī)變量X服從α穩(wěn)定分布。

式(1)中參數(shù)α為特征指數(shù)，它決定α穩(wěn)定分布的脈沖性程度。α值越小，所對(duì)應(yīng)分布的拖尾越厚，樣本的脈沖性越顯著；反之，α值變大，所對(duì)應(yīng)分布的拖尾變薄，樣本的脈沖性減弱。當(dāng)α= 2 時(shí)，α分布對(duì)應(yīng)高斯分布，α穩(wěn)態(tài)分布是廣義的高斯分布。參數(shù)β確定分布的斜度，γ是分散系數(shù)，它是樣本相對(duì)于均值分散程度的度量，a為位置參數(shù)，對(duì)應(yīng)α穩(wěn)定分布的中值或均值。

1.2 共變

共變[15]是一種分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量(Fractional lower order statistics, FLOS)，它在SαS分布(對(duì)稱α穩(wěn)定分布)隨機(jī)變量中的作用類似于協(xié)方差在高斯分布隨機(jī)變量中的作用。兩個(gè)滿足的聯(lián)合SαS分布隨機(jī)變量x和y，其共變定義為

式(4)中，S表示單位圓；μ(?)表示SαS分布隨機(jī)向量(x,y)的譜測(cè)度；由于譜測(cè)度μ(?)不易得到，因此，實(shí)際中常常通過分?jǐn)?shù)低階距(Fractional lower order moment,FLOM)來獲得共變。兩個(gè)滿足的聯(lián)合SαS分布隨機(jī)變量x和y，其共變與FLOM具有如下的關(guān)系：

式(5)中，γy為隨機(jī)變量y的分散系數(shù)。

共變具有的一些性質(zhì)[15]在α穩(wěn)定信號(hào)處理和分析中起著重要的作用。

性質(zhì)1 共變[X,Y]α對(duì)第一變?cè)獂是線性的，即如果x1、x2和y服從聯(lián)合SαS，

式(6)中，A和B為任意實(shí)數(shù)。

性質(zhì)2 如果y1和y2是獨(dú)立的，且x、y1和y2服從聯(lián)合SαS，則

式(7)中，A和B為任意實(shí)數(shù)。

性質(zhì)3 如果x和y是獨(dú)立的且服從聯(lián)合SαS，則[X,Y]α= 0。反之，通常是不成立的。當(dāng)α= 2時(shí)，即x和y服從零均值的聯(lián)合高斯分布時(shí)，x和y的共變就退化為x和y的協(xié)方差，

2 算法分析

2.1 信號(hào)噪聲模型

假定兩個(gè)接收信號(hào)x1(n)和x2(n)滿足下面的離散信號(hào)模型：

其中，λs(n ?D)為相對(duì)于s(n)的延遲源信號(hào)，λ為衰減因子(為了簡(jiǎn)便通常取λ= 1)，v1(n)、v2(n)分別為兩個(gè)接收端接收到的背景噪聲，服從α穩(wěn)定分布。假定信號(hào)與噪聲、噪聲與噪聲是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

2.2 共變相關(guān)算法

互共變[x1(n),x2(n)]p?1和自共變[x1(n),x1(n)]p?1可以寫為

由于假定了信號(hào)s(n)和噪聲v1(n)、v2(n)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，依據(jù)共變的性質(zhì)，

式(10)和式(11)可以化簡(jiǎn)為

因此，x1(n)和x2(n)的互共變Rc12(m)，x1(n)的自共變Rc11(m)分別為

原始序列經(jīng)過自共變和互共變后，自共變序列可以看作是互共變序列經(jīng)過移位并加入一個(gè)干擾Ccδ(m)而得到的，共變序列保留了原始序列的相位信息，削弱了不相干噪聲干擾，提高信噪比，但在處理數(shù)據(jù)有限的情況下，干擾噪聲不會(huì)為零。經(jīng)共變處理的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行互相關(guān)時(shí)延估計(jì)的估計(jì)效果在相同信噪比和脈沖環(huán)境要好于直接進(jìn)行互相關(guān)法和共變法[9]。

2.3 LMPFTDE算法

LMPFTDE 算法[13]用一個(gè)系數(shù)為sinc 采樣函數(shù)的濾波器來擬合時(shí)間延遲，可以直接對(duì)時(shí)間延遲真值為非整數(shù)采樣間隔的情況進(jìn)行估計(jì)。在實(shí)際應(yīng)用中，信號(hào)和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性以及信噪比等都有可能隨時(shí)間變化，自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù)是輸入信噪比與時(shí)間延遲真值的二元函數(shù)?？紤]時(shí)間延遲和信噪比兩個(gè)因素來進(jìn)行濾波器權(quán)系數(shù)的修正，將濾波器分為兩級(jí)級(jí)聯(lián)，一級(jí)用于適應(yīng)信噪比的變化，另一級(jí)用于跟蹤時(shí)間延遲，則可以將時(shí)間延遲和信噪比的自適應(yīng)過程解耦，從而改善時(shí)間延遲估計(jì)的性能。輸出誤差e(n)在n時(shí)刻為

這是一個(gè)二維的非線性優(yōu)化問題，運(yùn)用松弛法，將其解耦轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一維的優(yōu)化問題，分別對(duì)增益和時(shí)間延時(shí)進(jìn)行迭代，以求得最優(yōu)解，在一定的時(shí)間延遲范圍內(nèi)，代價(jià)函數(shù)J為單峰函數(shù)，有唯一的最小值，故采用最速下降法，利用梯度技術(shù)，并以誤差信號(hào)的瞬時(shí)值代替統(tǒng)計(jì)平均。自適應(yīng)迭代公式為

雖然代價(jià)函數(shù)E{|e(n)|p}中包含sinc 函數(shù)，它是多峰的，但是可以通過限制初始值的取值范圍D ?1

2.4 改進(jìn)的非整數(shù)自適應(yīng)時(shí)延估計(jì)算法

本文首先對(duì)兩個(gè)接收信號(hào)x1(n)、x2(n)求互共變序列Rc21，接收信號(hào)x2(n)的自共變序列Rc11，削弱不相關(guān)噪聲，保留原始接收信號(hào)x1(n)、x2(n)之間的時(shí)延信息，提高信噪比，抑制脈沖噪聲，信號(hào)長(zhǎng)度增加一倍，可以進(jìn)行更多次迭代，更多的迭代值參考可以使時(shí)延估計(jì)值更接近真實(shí)值。接著將Rc21、Rc11當(dāng)作等效的時(shí)間序列作為L(zhǎng)MPFTDE 算法的輸入信號(hào)，LMPFTDE算法的代價(jià)函數(shù)為多峰函數(shù)，直接進(jìn)行迭代算法可能不收斂，迭代值在D?0.5與D+0.5之間(D為時(shí)延真值)，代價(jià)函數(shù)是單峰的，所以用相關(guān)法時(shí)延估計(jì)對(duì)Rc11、Rc21先進(jìn)行時(shí)延估計(jì)值整數(shù)位估計(jì)，將得到的估計(jì)值，作為L(zhǎng)MPFTDE算法時(shí)延值迭代的初值。最后進(jìn)行自適應(yīng)時(shí)延估計(jì)，求出更高分辨率的時(shí)延估計(jì)值。改進(jìn)的非整數(shù)自適應(yīng)時(shí)延估計(jì)算法的原理框圖如圖1所示。

圖1 改進(jìn)的非整數(shù)自適應(yīng)時(shí)延估計(jì)算法Fig.1 Improved fractional adaptive time delay estimation algorithm

3 計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)

下面通過計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)，將本文改進(jìn)的非整數(shù)自適應(yīng)時(shí)延估計(jì)算法與LMPFTDE 算法的估計(jì)性能進(jìn)行比較。根據(jù)信號(hào)和噪聲模型構(gòu)造兩路接收信號(hào)，其中帶限平坦譜的源S(n) 由高斯白噪聲通過帶寬為0.2 的6 階巴特沃茲低通濾波器產(chǎn)生，脈沖性噪聲由服從α穩(wěn)定分布的信號(hào)來模擬，混合信噪比MSNR= 10 lg(σ2S/γv)[13]設(shè)定，其中σ2S表示源信號(hào)的方差；γv表示噪聲的分散系數(shù)，取信號(hào)的長(zhǎng)度n=10000，延遲信號(hào)s(n ?D)由的61階FIR濾波器產(chǎn)生，設(shè)時(shí)延真值D=3.2TS，迭代初值為3TS。共變序列的長(zhǎng)度為20000 點(diǎn)，以下結(jié)果均為50 次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的平均。

實(shí)驗(yàn)1 在相同α值和MSNR 條件下，p= 1.1，α=1.5，MSNR=0 dB，LMPFTDE算法和改進(jìn)算法迭代步長(zhǎng)μg、μD均為0.09。觀察LMPFTDE 算法和改進(jìn)算法收斂曲線，如圖2、圖3所示。

LMPFTDE 算法和改進(jìn)后的時(shí)延估計(jì)算法，輸入信號(hào)的長(zhǎng)度表示算法能夠進(jìn)行迭代的次數(shù)。LMPFTDE 算法的輸入信號(hào)長(zhǎng)度為10000，能進(jìn)行的最多迭代次數(shù)為10000；改進(jìn)算法輸入信號(hào)為20000，能進(jìn)行的最多迭代次數(shù)為20000。

從圖2、圖3和表1可得出，兩種算法在收斂到10000 點(diǎn)時(shí)，LMPFTDE 算法能夠收斂到接近真值，改進(jìn)算法能夠收斂到真值附近，且此后在真值附近波動(dòng)。用收斂過程迭代時(shí)延值的中位數(shù)作為時(shí)延估計(jì)值，改進(jìn)算法迭代值的中位數(shù)更接近時(shí)延真值，改進(jìn)算法的均方根誤差小于LMPFTDE算法。

圖2 LMPFTDE 算法收斂曲線Fig.2 Convergence curve of LMPFTDE algorithm

圖3 改進(jìn)算法收斂曲線Fig.3 Convergence curve of the improved algorithm

表1 LMPFTDE 算法和改進(jìn)算法的估計(jì)性能比較Table1 Performance comparison on LMPFTDE algorithm and the improved algorithm

實(shí)驗(yàn)2 相同α值、不同MSNR 條件下，比較LMPFTDE 算法和改進(jìn)算法的估計(jì)精度。取α= 1.5，MSNR 以5 dB 的間隔從?15 dB 變化到15 dB，兩種算法估計(jì)值的均方根誤差如圖4、圖5所示。

實(shí)驗(yàn)條件：p= 1.1，時(shí)延收斂因子與信噪比迭代步長(zhǎng)為相等的參數(shù)，其參數(shù)以0.02 的間隔從0.01變化到0.35 的18組參數(shù)，每組參數(shù)得到的結(jié)果用一條折線表示。

圖4與圖5分別是以18 組參數(shù)的LMPFTDE算法和改進(jìn)算法仿真的均方根誤差結(jié)果，粗實(shí)線表示某一參數(shù)下算法估計(jì)較好的結(jié)果。單條折線中，改進(jìn)算法在?5 dB 到8 dB 的最低均方誤差均低于LMPFTDE 算法的最低均方誤差，改進(jìn)算法的時(shí)延收斂因子與信噪比迭代步長(zhǎng)為0.19。在不同信噪比下，改進(jìn)算法的最低均方根誤差均要低于LMPFTDE 算法，但其不在一條折線上。表明參數(shù)的選擇對(duì)算法性能有很大影響，在不同環(huán)境下選用合適的參數(shù)，能夠獲得更好的估計(jì)效果。

實(shí)驗(yàn)3 相同MSNR、不同α值條件下，比較LMPFTDE 算法和改進(jìn)算法的估計(jì)精度。取MSNR=0 dB，α以0.2的間隔從1.2變化到2，兩種算法估計(jì)值的均方根誤差如圖6、圖7所示。

實(shí)驗(yàn)條件：p= 1.1，時(shí)延收斂因子與信噪比迭代步長(zhǎng)為相等的參數(shù)，其參數(shù)以0.02 的間隔從0.01變化到0.35的18組參數(shù)。

圖6與圖7分別是以18 組參數(shù)的LMPFTDE算法和改進(jìn)算法仿真的均方根誤差結(jié)果，粗實(shí)線表示某一參數(shù)下算法估計(jì)的較好的結(jié)果。α在1.6 到2區(qū)間，LMPFTDE算法估計(jì)的最低均方根誤差小于改進(jìn)算法的最低均方根誤差，且LMPFTDE算法最低均方誤差在一條折線上，其時(shí)延收斂因子與信噪比迭代步長(zhǎng)為0.19。在整個(gè)區(qū)間上，改進(jìn)算法的較低均方根誤差在同一條折線上，曲線平穩(wěn)，其時(shí)延收斂因子與信噪比迭代步長(zhǎng)為0.29；在α= 1.2 到1.6中，LMPFTDE 算法估計(jì)誤差較改進(jìn)算法較大。表明可以選取對(duì)應(yīng)參數(shù)，使其在不同脈沖強(qiáng)度下均有較好的估計(jì)性能。

圖4 LMPFTDE 算法的估計(jì)精度(α=1.5)Fig.4 Estimation accuracy of LMPFTDE algorithm(α=1.5)

圖5 改進(jìn)算法的估計(jì)精度(α=1.5)Fig.5 Estimation accuracy of the improved algorithm (α=1.5)

圖6 LMPFTDE 算法的估計(jì)精度(MSNR=0 dB)Fig.6 Estimation accuracy of LMPFTDE algorithm(MSNR=0 dB)

圖7 改進(jìn)算法的估計(jì)精度(MSNR=0 dB)Fig.7 Estimation accuracy of the improved algorithm (MSNR=0 dB)

4 結(jié)論

共變相關(guān)算法適用于處理低信噪比信號(hào)，對(duì)含脈沖噪聲有好的抑制作用，能夠?qū)r(shí)延值的整數(shù)位進(jìn)行準(zhǔn)確的估計(jì)；用共變對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行處理并作為L(zhǎng)MPFTDE算法的輸入信號(hào)，輸入信號(hào)長(zhǎng)度增加一倍，可以進(jìn)行更多次迭代，使時(shí)延估計(jì)值更接近真實(shí)值，消除不相關(guān)噪聲，提高信噪比，保留原始序列的相位信息；將共變相關(guān)算法得到的時(shí)延估計(jì)值作為L(zhǎng)MPFTDE算法迭代初值，最后求得非整數(shù)時(shí)延估計(jì)值。非整數(shù)自適應(yīng)時(shí)延估計(jì)算法原理上也是一種互相關(guān)算法，對(duì)寬帶信號(hào)的處理性能要好于窄帶。

實(shí)驗(yàn)1 對(duì)比了兩種算法的收斂過程及估計(jì)結(jié)果，分析改進(jìn)算法的優(yōu)勢(shì)。實(shí)驗(yàn)2 模擬不同信噪比，對(duì)兩種算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明改進(jìn)算法估計(jì)精度好于LMPFTDE算法，并給出改進(jìn)算法的參數(shù)。實(shí)驗(yàn)3模擬不同脈沖環(huán)境噪聲，對(duì)比LMPFTDE算法與改進(jìn)算法估計(jì)的均方根誤差，得到改進(jìn)算法在整個(gè)區(qū)間都有好的估計(jì)效果的一組參數(shù)。

LMPFTDE 算法將迭代的初始值限定在一定范圍，在這一個(gè)范圍內(nèi)，時(shí)延估計(jì)值是單峰函數(shù)，可以通過變步長(zhǎng)方法使自適應(yīng)收斂過程的穩(wěn)態(tài)波動(dòng)更小和具有較快的收斂速度，并且不需要考慮收斂到局部最優(yōu)解。