世界頂尖數(shù)學難題破解了嗎

在數(shù)學領域，存在無數(shù)尚待解決的難題或猜想，這些難題或猜想有些與實際應用密切相關，有些在目前尚無清晰的應用前景，但它們都毫無例外地引起了數(shù)學家們的關注和興趣。為了激勵數(shù)學家們?nèi)翰呷毫タ穗y關，一些科研機構和專業(yè)組織還對某些“焦點”難題進行了懸賞。盡管這并不能成為數(shù)學家攻堅克難的真正原動力，但不可否認的是，這種別開生面的激勵手段為解密懸而未決的數(shù)學問題增添了一絲趣味性。

費馬猜想

自從法國數(shù)學家費馬在1637年提出著名的費馬猜想以來，無數(shù)數(shù)學家試圖加以證明，但都鎩羽而歸。為鼓勵數(shù)學家盡早攻克這一難題，密切關注費馬猜想的法國科學院在1823年和 1850年兩次懸賞2000法郎征解，以期花落自家，但依舊無果。

1908年，德國哥廷根科學院接受了德國數(shù)學家沃爾夫斯凱爾捐贈的10萬馬克（當時價值200萬美元）遺產(chǎn)，并允諾將遵照這位來自德國塔姆斯塔特城的實業(yè)家的遺囑，把捐款獎給徹底解決費馬猜想的智者，限期是100年。巨額獎金頓時吸引來1000多篇“證明”文章，但它們被刊物發(fā)表后很快都被否定。以至于隨后形形色色的“證明”文章如雪片般飛向負責審查的德國《數(shù)學與物理文獻實錄》雜志時，雜志社只得知難而退——聲明停止這項幾乎等同于“失望折磨”的審查。

1994年10月14日，英國數(shù)學家安德魯·懷爾斯發(fā)表的論文最終解決了這個困惑了人們300多年的問題。經(jīng)過半年的審核，被數(shù)學界贊譽為“會下金蛋的母雞”的費馬猜想終于被證實，正式成為費馬大定理。安德魯·懷爾斯也憑借這一“20 世紀最偉大的數(shù)學成就”榮獲1995年度、1996年度的沃爾夫獎——數(shù)學界的諾貝爾獎。1997年6月，500名數(shù)學家齊聚哥廷根大學的大會議廳，共同見證將近90年之前的10萬馬克（此時只值5萬美元）被領走。

懷爾斯的證明論文長達100 多頁，涉及許多最新的數(shù)學知識，目前在世界范圍內(nèi)能看懂的人屈指可數(shù)。因此，有人認為這不可能是當年費馬所想到的證明方法，應該還有更簡單的證明方法未被發(fā)現(xiàn)。

熱擴散問題

1810年，法國科學院懸賞征求對熱擴散問題研究的論文。熱擴散問題屬于傳熱學和偏微分方程領域的經(jīng)典問題，其核心是描述溫度分布如何隨空間和時間變化，通常用熱傳導方程建模。它是理解許多自然現(xiàn)象和工程現(xiàn)象的基礎，因此，許多科學家都在此領域潛心研究。法國數(shù)學家傅里葉修改了他在1807 年所寫的一篇論文參與征稿。雖然這篇論文在競爭中獲勝，傅里葉也因此于 1811年獲得法國科學院頒發(fā)的獎金，但評委會仍從論文的嚴格性和普遍性上提出了批評意見，致使這篇論文未能正式發(fā)表。

傅里葉對于評委的意見頗不服氣，認為這是故意刁難，他決心把這篇論文的數(shù)學部分擴充為一部專著，以反擊那些自己并不認可的指責和輕視。經(jīng)過“一番寒窗苦”之后，傅里葉終于完成了這部名為《熱的解析理論》的書稿，并在1822年出版了該書稿。這部記載著傅里葉級數(shù)和傅里葉積分的著作，為解析熱傳導方程奠定了基礎，成為數(shù)學史、物理學史乃至科學史上的劃時代經(jīng)典之作。這也算是懸賞之外的意外收獲。

1858年，法國科學院再次對熱擴散問題進行懸賞征文。1861年，德國數(shù)學家黎曼把一篇用拉丁文寫成的論文呈交給法國科學院，但頗為自負的他沒有詳細列出必要的計算過程，從而痛失得獎機會，也導致這一獎項空缺。更讓人扼腕的是，遲遲沒有得到最終結果的法國科學院心灰意冷，于10年后的 1868 年撤銷了這個大獎，從而讓黎曼失去了彌補的機會。

“數(shù)學水妖”

剛體旋轉(zhuǎn)問題是經(jīng)典力學中的核心問題之一，由大名鼎鼎的歐拉和拉格朗日于18世紀提出，主要研究剛體在重力作用下繞固定點轉(zhuǎn)動的運動規(guī)律。這兩位數(shù)學家分別在某些特殊情形下取得了一定的研究進展，但未能在更普遍的情形下獲得突破，其研究難度之大可想而知。因此，剛體旋轉(zhuǎn)問題被數(shù)學界戲稱為“數(shù)學水妖”。該問題在理論和應用領域具有重要價值，為了促進相關研究取得重大突破，法國科學院曾三次發(fā)出懸賞，允諾為那些在該問題的研究中獲得突破性進展的人頒發(fā)鮑廷獎金（鮑廷是一位將部分財產(chǎn)捐給法國科學院的律師）。

1888年，法國科學院再次懸賞征求研究剛體旋轉(zhuǎn)問題的論文，并將截止時間限定在當年的夏末。俄國女數(shù)學家索菲婭·柯瓦列夫斯卡婭在這一年的夏季向法國科學院提交了一篇名為《關于剛體在重力作用下繞定點的轉(zhuǎn)動》的論文。在15篇應征論文中，這位歷史上首位數(shù)學女博士的研究成果得到評委會的高度贊賞，以至法國科學院把獎金金額由原本的3000法郎提高到5000法郎。著名科學家巴斯德親自發(fā)函，通知柯瓦列夫斯卡婭獲獎。同年圣誕節(jié)前夕，柯瓦列夫斯卡婭如愿榮獲鮑廷獎。

1889年，柯瓦列夫斯卡婭的同一成果又獲得瑞典科學院的獎勵。按照要求，柯瓦列夫斯卡婭在論文后附言：“說自己知道的話，干自己應干的事，做自己想做的人?！边@段話膾炙人口，意義深遠。

少年得志

1882年，法國科學院懸賞解決一個數(shù)學問題：試證任何一個正整數(shù)都可以表示成五平方數(shù)的和。德國數(shù)學家閔可夫斯基加入解題者的行列。值得一提的是，當時的他還是一位在哥尼斯堡大學求學的18歲學生，因此，當獲獎結果揭曉時，人們大跌眼鏡，誰也想不到，這個毛頭小伙子竟和英國知名數(shù)學家亨利·史密斯共同分享大獎。這也導致了一個非常有趣的局面：在頒獎的時候，感覺頗丟面子的英國數(shù)學界提出抗議；不過，法國科學院對英國式論資排輩的“小家子氣”不屑一顧，頒獎依然采用“老少配”形式。

1885年，閔可夫斯基在哥尼斯堡大學獲得博士學位，并于1891年成為波恩大學的副教授。1894年，他回到哥尼斯堡大學任教并成為教授；1895年，閔可夫斯基轉(zhuǎn)到瑞士蘇黎世聯(lián)邦工業(yè)大學工作，成為青年時期的愛因斯坦的老師。1908年，閔可夫斯基提出四維時空的概念，為廣義相對論的建立提供了框架。

英國數(shù)學家西爾維斯特在數(shù)學界同樣少年得志。他在15歲時才進入設在利物浦的皇家學會學校學習，并在此期間圓滿解決了一位美國彩票承包商懸賞的排列問題，從而得到500美元的獎金，引起數(shù)學界人士的關注。1831年，西爾維斯特進入劍橋大學圣約翰學院學習，但因病輟學回家。之后，他通過頑強自學，在1837年的學院榮譽學位考試中名列第二。盡管西爾維斯特由于自己的猶太人身份和信仰未能獲得學位，但他于1841年成為美國弗吉尼亞大學的教授，并于1878 年創(chuàng)辦了美國第一本數(shù)學刊物《美國數(shù)學雜志》。1883年，西爾維斯特回到英國，在牛津大學教授幾何學。

這兩位少年得志的才俊皆由數(shù)學懸賞嶄露頭角，并在各自的研究領域功成名就。閔可夫斯基由于在數(shù)論、代數(shù)和數(shù)學物理方面的杰出貢獻，使得第12493號小行星以他的名字命名。西爾維斯特在代數(shù)學和矩陣理論方面的研究成果，使其獲得英國皇家學會于1880年授予的科學研究最高獎——科普勒獎。

解鈴還需系鈴人

在17至18世紀的數(shù)學領域，“等周問題”一直是熱門研究課題。等周問題的核心要義是在給定周長的所有閉合平面曲線中，計算出哪種曲線圍成的面積最大。在圓為等周問題的解時，即在周長固定的幾何形狀中，圓形的面積最大；同樣，在面積相等的形狀中，圓形的周長最短。其研究過程是將幾何問題轉(zhuǎn)化為微積分問題，體現(xiàn)了17世紀的數(shù)學從古典幾何向分析學的過渡。在1697年5月號的《教師學報》上，瑞士數(shù)學家雅各布·伯努利提出了包含幾種情形的相當復雜的等周問題，以此向他的弟弟尼古拉·伯努利挑戰(zhàn)，并懸賞50個金幣。盡管同為數(shù)學家的尼古拉·伯努利給出了幾種解法，但都存在錯誤，所以沒能得到哥哥雅各布·伯努利提供的賞金和對自己的尊敬。1701年，雅各布·伯努利自己解決了這個問題，懸賞獎金自然也落入他自己的口袋。不過，雅各布的“自問自答”對數(shù)學中的變分法起到了重要作用，這或許是他自己也沒有預料到的。

無獨有偶，在羅安奈公爵的支持下，法國科學家帕斯卡也把自己研究擺線等的成果歸納為6個問題，以假名阿摩·德東維爾向全歐洲公開懸賞600法郎征解，期限為3個月。包括荷蘭科學家惠更斯、英國數(shù)學家華利斯在內(nèi)的數(shù)學名家也參與了這項應征。遺憾的是，絡繹不絕的應征者中竟然無一人給出圓滿的解題方案，最終還是帕斯卡自己公布了答案并用真名獲獎。這種頗有意趣的結局除了說明懸賞問題的難度之大外，更突顯了出題者過人的智慧和非凡的才華，以及數(shù)學界人人努力、暗暗較勁的可喜場景。

未盡的懸賞和探索

克萊是美國波士頓的實業(yè)家。為了進一步弘揚數(shù)學思想的優(yōu)美、力量和統(tǒng)一性，他于1998年在馬薩諸塞州的劍橋成立了克萊數(shù)學促進會（CMI），并斥巨資激勵全球的數(shù)學家攻克數(shù)學史上長期懸而未決的難題。2005年5月，在巴黎舉行的法國科學院年會上，克萊數(shù)學促進會公開懸賞7個數(shù)學方面的“千禧難題”：P與PN問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼猜想、楊-米爾斯理論、納維-斯托克斯方程組、伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想。每個難題的獎金都是100萬美元，且沒有時間限制。

可以肯定的是，在被寄予厚望的未來100年中，人們一定能夠看到上述難題被解決，甚至有部分難題已經(jīng)被解決。比如，在2006年8月22日獲得菲爾茲獎的格里戈里·佩雷爾曼，正是因為解決了龐加萊猜想而獲得這一獎項。令人瞠目的是，這位怪才數(shù)學家竟然缺席了頒獎儀式，理由是沒有路費。當國際數(shù)學聯(lián)盟同意承擔他的路費后，佩雷爾曼又換了個拒絕出席的理由：作為主辦方代表的西班牙國王不是數(shù)學家，所以沒資格頒獎。

同年，克萊數(shù)學促進會決定把100萬美元的獎金頒給佩雷爾曼，只要他把證明論文發(fā)表到權威期刊上，但佩雷爾曼對這一要求置之不理。克萊數(shù)學促進會隨后做出妥協(xié)，只要佩雷爾曼過來領獎就行，但佩雷爾曼仍不為所動，并且消失于公眾的視野中，他還拒絕了所有媒體的采訪。佩雷爾曼對待自己的研究成果的做法更是耐人尋味：這位數(shù)學家把自己的3篇論文手稿先后發(fā)布到一家專門刊登數(shù)學和物理論文的網(wǎng)站上，并用電子郵件通知了幾位數(shù)學家。

正因為潛心研究、癡迷其間、淡泊名利和特立獨行的數(shù)學家大有人在，人們有充分的理由相信，不管有沒有懸賞，數(shù)學的發(fā)展前景都是樂觀的，并且值得期待。

（劉誼人摘自《百科知識》2025年第11期）