基于粒子群算法優(yōu)化的灰色預(yù)測(cè)模型路基沉降預(yù)測(cè)分析

中圖分類號(hào)：U213.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2095-2945（2025）21-0030-05

Abstract：Thispaperfocusesonthepredictionofsubgradesetlementofhigh-speedrailway.Inviewofthekeyimpactof subgradesetlementonthestabilityandsmoothnessoftheline，thegreypredictionmodelisselectedaftercomparingvarious predictionmethods.TheprincipleofGM（1，1）modelandtheoptimizationprocessofparticleswarmoptimization（PSO）areitroduced in detail. The 69～339 day settlement observation data of two sections K417+523 and K417+573 in the first work area of ZH sectionofJinan WestRailwayStationofBeijingShanghai highspeedrailwayaretakenasexamples tocarryoutthecaseanalysis. TheresultsshowthatthepredictionefectofPSO-GM（1，1）modelisbeterthanthatofGM（1，1）modelandtheaveragefiting erorsathetwosectionsare3.8%and3.9%respectivelyTheresidualerortestandclassratiodeviationtestshowthatithas higheraccuracyandbeterstability.Thisresearchprovidesanewideaforgreypredictionmodeltodealwithcumulativeors， and proves that PSO-GM（1，1）model has high reliabilityandapplication value in predicting subgrade settlement.

Keywords：high-speedrailway;subgradesettlement; GM（1，1）model;settlementprediction;particleswarmalgorithm

高速鐵路以其迅捷的運(yùn)行速度，對(duì)線路的穩(wěn)定性和平順性提出了極高的要求。路基沉降作為影響線路穩(wěn)定性和平順性的關(guān)鍵因素之一，不容忽視。通過(guò)準(zhǔn)確的沉降預(yù)測(cè)，能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)并解決路基不均勻沉降的問(wèn)題，確保路基的穩(wěn)定性和平整度，從而降低因路基沉降導(dǎo)致的路面損壞及維修成本。

目前，路基沉降變形的預(yù)測(cè)方法主要有曲線擬合法、三點(diǎn)法、星野法及灰色理論等。曲線擬合法通過(guò)使用與實(shí)際沉降曲線相似的曲線進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，當(dāng)相關(guān)系數(shù)達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)后，該方法通過(guò)對(duì)時(shí)間序列的推斷來(lái)預(yù)測(cè)沉降幅度。三點(diǎn)法依托于土力學(xué)的理論，確立地基土體的固結(jié)沉降量與時(shí)間關(guān)系，并結(jié)合該關(guān)系以擬合沉降觀測(cè)曲線，進(jìn)一步通過(guò)得到的曲線預(yù)測(cè)沉降量。然而，由于在理論計(jì)算中的假定條件及確定計(jì)算指標(biāo)的試驗(yàn)技術(shù)存在局限性，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)在某種程度上比理論計(jì)算更為關(guān)鍵1?；疑A(yù)測(cè)理論應(yīng)用數(shù)學(xué)方法來(lái)研究信息不完全的系統(tǒng)，適用于數(shù)據(jù)量小、信息匱乏的不確定性問(wèn)題。相較于傳統(tǒng)預(yù)測(cè)手段，灰色模型需要較少的樣本數(shù)據(jù)，并能夠提供較高的準(zhǔn)確性。

自1981年我國(guó)教授鄧聚龍創(chuàng)立灰色系統(tǒng)理論以來(lái)，該理論在處理“小樣本”“貧信息\"的問(wèn)題上展現(xiàn)出獨(dú)特優(yōu)勢(shì)?；疑到y(tǒng)理論認(rèn)為所有隨機(jī)變量在特定范圍和時(shí)間段內(nèi)變化，通過(guò)數(shù)據(jù)生成的方式削弱隨機(jī)因素的影響，尋找內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，建立灰色模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。即使在復(fù)雜的客觀系統(tǒng)中，灰色系統(tǒng)也能使其變?yōu)殛P(guān)聯(lián)和有序，有效預(yù)測(cè)系統(tǒng)的長(zhǎng)期變化規(guī)律。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)路基沉降監(jiān)測(cè)與預(yù)測(cè)展開了廣泛研究。周呂等提出了自適應(yīng)灰色模型與殘差修正灰色模型在高鐵隧道中的應(yīng)用，結(jié)果顯示這2種模型均提高了原模型的預(yù)測(cè)精度和相關(guān)性。李小剛等4將GM（1，1）模型與雙曲線法、三點(diǎn)法的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)GM（1，1）模型在軟土地基沉降預(yù)測(cè)中精度更高。張滿想等采用GM（1，1）和Verhulst2種灰色系統(tǒng)模型對(duì)沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析，結(jié)果顯示在最佳維度下，GM（1，1）模型可用于路基沉降4個(gè)月內(nèi)的預(yù)測(cè)。

劉海明等@提出了一種基于粒子群與Markov優(yōu)化的PMIGM（1，1）預(yù)測(cè)模型，并將其應(yīng)用于云南保施高速公路高填方路基，結(jié)果顯示該模型顯著提高了預(yù)測(cè)精度。張獻(xiàn)州等利用改進(jìn)的灰色預(yù)測(cè)傅里葉-馬爾科夫殘差式組合預(yù)測(cè)模型，對(duì)路基沉降變形數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)研究，得出結(jié)論：利用傅里葉級(jí)數(shù)和馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對(duì)一次殘差進(jìn)行二次組合預(yù)測(cè)，能更好地?cái)M合數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)，提高預(yù)測(cè)精度。

陳洋等針對(duì)前期觀測(cè)數(shù)據(jù)誤差較大的問(wèn)題，提出將IGGIII抗差方法加入到灰色GM（1，1）模型中，經(jīng)高鐵路基實(shí)測(cè)沉降數(shù)據(jù)檢驗(yàn)，該新方法能夠較好地預(yù)測(cè)路基沉降。朱沙采用灰色Verhulst模型對(duì)路基沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)，實(shí)例表明該方法對(duì)路基的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)具有較好的適用性。沙愛敏等[基于非等間距GM（1，1）模型，對(duì)軟土路基和高填方路基進(jìn)行沉降預(yù)測(cè)研究，結(jié)果顯示該模型的預(yù)測(cè)相對(duì)誤差較小，預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值吻合度較高。

王浩建立了基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的路基沉降預(yù)測(cè)模型，將路基含水率、壓實(shí)度、沉降時(shí)間和填土高度設(shè)置為訓(xùn)練樣本，預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度可達(dá) 90% 以上。盧飛強(qiáng)等[12]基于時(shí)間序列分析法預(yù)測(cè)路基沉降，該方法避免了使用較多參數(shù)，建模簡(jiǎn)單且預(yù)測(cè)精度高。

王登浩[13采用擴(kuò)展雙曲線法對(duì)武廣高鐵路基進(jìn)行了沉降預(yù)測(cè)研究，結(jié)果顯示最大斷面的沉降值約為5.8mm ，橋涵和隧道的沉降量也較小。郝瑩瑩[4將三點(diǎn)指數(shù)曲線修正法應(yīng)用于采空區(qū)上方的路基沉降預(yù)測(cè)，結(jié)果表明該方法與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的相關(guān)性較高，模擬效果良好。

現(xiàn)階段模型大多是通過(guò)結(jié)合多種算法對(duì)原模型進(jìn)行改進(jìn)，提高模型的預(yù)測(cè)精度及穩(wěn)定性，但對(duì)實(shí)際工程中出現(xiàn)的數(shù)據(jù)不符合線性規(guī)律情況下的模型適用性的研究較為缺乏。本文以京滬高鐵濟(jì)南西客站ZH標(biāo)段一工區(qū)為研究對(duì)象，選取2個(gè)斷面，利用粒子群算法改進(jìn)GM（1，1）對(duì)2處斷面的沉降監(jiān)測(cè)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)并與實(shí)測(cè)值比對(duì)，通過(guò)分析各模型的相對(duì)誤差、平均誤差及級(jí)比偏差分析預(yù)測(cè)模型的可靠性及適用性。

1灰色預(yù)測(cè)模型

1.1 GM（1，1）模型

在預(yù)測(cè)模型的選擇上本文使用最常用的GM（1，1）模型，全稱為一階單變量灰色微分方程。該模型是基于灰色系統(tǒng)理論構(gòu)建的，用于處理小樣本、貧信息的時(shí)間序列數(shù)據(jù)。它通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行累加生成（AGO，Accumulating Generation Operation）操作，讓原本雜亂無(wú)章或者隨機(jī)波動(dòng)的數(shù)據(jù)序列轉(zhuǎn)換為具有較強(qiáng)規(guī)律性的序列。這樣做的目的是弱化數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，挖掘數(shù)據(jù)潛在的規(guī)律。

其基本原理如下：

設(shè)最初的非負(fù)數(shù)據(jù)列為 x^（0） ，對(duì)其進(jìn)行一次累加可得到序列

其中

令 z^（1） 為數(shù)列 的緊鄰均值生成數(shù)列。稱方程 x^（0） （204號(hào) （k）+az^（1）（k）=b 為 GM（1，1） 模型的基本形式（ k= 2，3，…，n） ，式中 b 表示灰作用量， a 表示發(fā)展系數(shù)。

引入矩陣形式

則， GM（1，1） 模型 可表示為Y=Bu

利用最小二乘法可得到 ^a，b 的估計(jì)值為

因?yàn)?/p>

利用定積分，可得

則被稱為灰色微分方程?；疑A(yù)測(cè)模型的本質(zhì)是有條件的指數(shù)擬合，若對(duì)白化方程取初值 ，根據(jù)一階非其次線性微分方程通解公式。

以上是 GM（1，1） 預(yù)測(cè)模型的基本擬合過(guò)程，其基本形式是： 。這里的 Δ_a 是發(fā)展系數(shù)，它反映了系統(tǒng)的發(fā)展態(tài)勢(shì)。如果 agt;0 ，表示系統(tǒng)是增長(zhǎng)型的；如果 alt;0 ，則表示系統(tǒng)是衰減型的。 b 是灰色作用量，它包含了系統(tǒng)的外部作用和內(nèi)部作用等多種因素。

1.2粒子群算法優(yōu)化的 GM（1，1） 模型

為了進(jìn)一步提高 GM（1，1） 模型的預(yù)測(cè)能力，引入了粒子群算法（PSO）來(lái)優(yōu)化模型中的參數(shù) Ψ_a 和 b 。具體過(guò)程如下。

對(duì)于每個(gè)粒子，基于當(dāng)前的和參數(shù)，使用GM（1，1）模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。然后計(jì)算模型的預(yù)測(cè)誤差，通常使用均方誤差（MSE）作為適應(yīng)度函數(shù)，其計(jì)算公式為

式中： y_i 為真實(shí)值; 為模型預(yù)測(cè)值; n 為數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。適應(yīng)度函數(shù)是粒子群算法優(yōu)化的核心評(píng)價(jià)指標(biāo)，它衡量了每個(gè)粒子所代表的參數(shù)組合的優(yōu)劣程度。均方誤差越小，說(shuō)明模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)值越接近，該粒子所對(duì)應(yīng)的參數(shù)組合就越優(yōu)。

粒子更新：根據(jù)PSO更新公式，更新粒子的位置和速度。速度更新公式為

ν_i^（t+1）=w×ν_i^（t）+c₁×r₁×（p_i^（t）-x_i^（t））+c₂×r₂×（g^（t）-x_i^（t））_o∣

灰色預(yù)測(cè)模型 GM（1，1） 通過(guò)一系列嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牟襟E構(gòu)建和預(yù)測(cè)，而PSO優(yōu)化過(guò)程則為其提供了一種有效的參數(shù)優(yōu)化方法，兩者結(jié)合能夠更好地應(yīng)對(duì)實(shí)際問(wèn)題中的預(yù)測(cè)需求。

2 實(shí)例分析

選取京滬高鐵濟(jì)南西客站ZH標(biāo)段一工區(qū)的施工期沉降實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。該工區(qū) K417+523 和K417+573 兩斷面，利用其實(shí)測(cè)的 69～339d 的沉降觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，數(shù)據(jù)觀測(cè)的時(shí)間間隔為 30d 。通過(guò)使用Matlab編寫的計(jì)算程序進(jìn)行建模和計(jì)算，將兩斷面的沉降實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)x輸入到模型中，進(jìn)而得到了沉降與時(shí)間的曲線，結(jié)果如圖1所示。

將兩斷面的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)代入PSO優(yōu)化后的GM（1，1）模型，依照該模型既定步驟展開操作。首先，對(duì)所獲數(shù)據(jù)執(zhí)行一次累加生成處理，旨在削弱數(shù)據(jù)本身的隨機(jī)特性。接著，構(gòu)建相應(yīng)矩陣，以此求解發(fā)展系數(shù)與灰作用量，更新粒子的位置搜索更好的解，反復(fù)迭代進(jìn)而推導(dǎo)出預(yù)測(cè)模型的表達(dá)式。數(shù)據(jù)處理結(jié)果見表1和表2。

通過(guò)對(duì)這2張圖的分析，可以看出在這2個(gè)斷面的累積沉降量預(yù)測(cè)中，PSO-GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)效果優(yōu)于GM（1，1）模型，能夠更準(zhǔn)確地?cái)M合實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，尤其是在觀測(cè)后期，其優(yōu)勢(shì)更為突出。這表明粒子群算法（PSO）對(duì)灰色預(yù)測(cè)GM（1，1）模型的優(yōu)化在一定程度上提高了模型的預(yù)測(cè)精度和可靠性。

3模型的性能檢驗(yàn)

3.1 殘差檢驗(yàn)

在對(duì)PSO-GM（1，1）預(yù)測(cè)模型進(jìn)行性能評(píng)價(jià)的過(guò)程中，對(duì)模型進(jìn)行殘差檢驗(yàn)和級(jí)比偏差檢驗(yàn)。一方面殘差檢驗(yàn)的核心在于計(jì)算實(shí)際觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值之間的差異，即殘差，以此評(píng)估模型的預(yù)測(cè)精確度。通過(guò)對(duì)殘差的大小、分布特征及其變化趨勢(shì)的深入研究，可以直觀地把握模型在不同數(shù)據(jù)點(diǎn)上的預(yù)測(cè)誤差，進(jìn)而判斷模型是否有效地?cái)M合了實(shí)際數(shù)據(jù)。另一方面，級(jí)比偏差檢驗(yàn)則基于灰色系統(tǒng)理論中的級(jí)比觀念，通過(guò)計(jì)算級(jí)比偏差值來(lái)評(píng)估模型對(duì)原始數(shù)據(jù)序列內(nèi)在規(guī)律的掌握程度。這一檢驗(yàn)手段有助于深入分析模型的可靠性和穩(wěn)定性。

對(duì)表1、表2中的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理計(jì)算，可以得PSO-GM（1，1）預(yù)測(cè)模型在2個(gè)斷面擬合預(yù)測(cè)過(guò)程中的平均相對(duì)殘差，見表3。

通過(guò)分析表3可以發(fā)現(xiàn)，PSO-GM（1，1）模型在整體擬合預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性上具有優(yōu)勢(shì)，能更好地逼近真實(shí)值，減少預(yù)測(cè)誤差。

3.2 級(jí)比偏差檢驗(yàn)

對(duì)模型的擬合結(jié)果進(jìn)行級(jí)比偏差檢驗(yàn)，該檢驗(yàn)是根據(jù)下式對(duì)模型的擬合情況進(jìn)行評(píng)估。

式中： λ（k） 為序列級(jí)比; 為發(fā)展系數(shù)。如果 ρ^（k）lt;0.2 則可以認(rèn)為達(dá)到一般要求；如果 ρ^（k）lt;0.1 ，則認(rèn)為達(dá)到較高的要求。兩斷面的級(jí)比偏差檢驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

模型的級(jí)比偏差呈現(xiàn)波動(dòng)狀態(tài)。PSO-GM（1，1）模型在大部分時(shí)段的級(jí)比偏差相對(duì)較低且較為平穩(wěn)，波動(dòng)幅度較小，說(shuō)明該模型在 K417+523 斷面的預(yù)測(cè)穩(wěn)定性較好。 GM（1，1） 模型波動(dòng)幅度相對(duì)較大，且在某些時(shí)段高于 PSO-GM（1，1）模型，表明 PSO-GM（1，1） 模型在預(yù)測(cè)精度和穩(wěn)定性方面較優(yōu)。

4結(jié)論

本文以京滬高鐵濟(jì)南西客站ZH工段的施工期沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為例，通過(guò)對(duì)比分析3種模型的預(yù)測(cè)值、平均誤差、相對(duì)誤差，得出以下結(jié)論：

1）通過(guò)粒子群算法優(yōu)化 GM（1，1） 預(yù)測(cè)模型，使擬合精度進(jìn)一步提高。為灰色預(yù)測(cè)模型處理迭代計(jì)算產(chǎn)生的累積誤差提供了一種新的思路。

²）PS0-GM（1，1） 模型對(duì)2個(gè)斷面擬合的平均相對(duì)殘差分別為 3.8% 和 3.9% ，精度高于其他模型且同時(shí)兼具可靠性。

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