數(shù)字信號處理課程中濾波器線性相位特性教學(xué)實驗研究

中圖分類號：TN713；TP39；G434 文獻標識碼：A 文章編號：2096-4706（2025）12-0036-05

Experimental Study on Linear Phase Characteristics of Filter in Digital Signal Processing Course

LUO Chenggao， XU Ke， ZENG Yang， YI Jun （CollegeofElectronicScienceandTechnologyNationalUniversityofDefenseTchnology，Changsha4o3，hina）

Abstract：The linear phase characteristics of digital flters have important applications in electronic information systems， andare alsoanimportant knowledge pointinthe undergraduatecourseof“Digital SignalProcessing”.However，inteaching practice，teachersoftenexplain itonlythrough theoreticalanalysisanddrawing phase-frequencycharacteristicfunctions，which leads tostudents'lackof intuitive knowledgeandunderstandingoflinearphasecharacteristicsandtheirengineringaplication background.Inthis paper，ateaching experiment thatfexiblyadjuststhephasecharacteristicsoftheflterisdesignedbyusing thecircularconjugatesymmetrycharacteristicoftheDiscreteFourierTransform.Byintuitivelyfelingtheefectofaudiosignal beforeandafterfiltering，studentscandeepen theirunderstandingofrelevantknowledgepointssuchasfilterdesignintheoretical courses，nd improve theirunderstanding of the importanceoflinear phasecharacteristics in engineringapplications.

Keywords： digital filter; linear phase characteristic; circular conjugate symmetry characteristic; Discrete Fourier [ransform

0 引言

按照相頻響應(yīng)的特性來劃分，數(shù)字濾波器可以被明確地劃分為線性相位和非線性相位兩種類型[1]。這對于理解和應(yīng)用數(shù)字濾波器至關(guān)重要，尤其是在那些對波形信息要求極高的電子系統(tǒng)中，如高速通信數(shù)據(jù)傳輸系統(tǒng)和高精度圖像處理系統(tǒng)。這些系統(tǒng)不僅要求獲得令人滿意的幅頻特性，還特別強調(diào)系統(tǒng)必須具備線性相位特性。線性相位特性能夠確保信號在傳輸和處理過程中不發(fā)生相位失真，從而保持信號的完整性和準確性。因此，線性相位特性在工程實踐中扮演著舉足輕重的角色，具有極其重要的應(yīng)用價值。

然而，在教學(xué)實踐中，線性相位特性的講解往往面臨一定的挑戰(zhàn)。由于線性相位特性是一個相對抽象的概念，學(xué)生們往往難以通過傳統(tǒng)的理論教學(xué)方式形成深刻而直觀的理解。他們可能能夠記住相關(guān)的公式和定理，但卻難以真正掌握線性相位特性的理論本質(zhì)和實際應(yīng)用，容易陷入“只知其然，而不知其所以然”的困境[2-4]。

為了打破這一困境，本文提出了一種創(chuàng)新的教學(xué)方法。從音頻信號的頻域分析入手，巧妙地利用離散傅里葉變換（DiscreteFourierTransform，DFT）的“圓周共軛對稱特性”[s-o，設(shè)計了一種相位特性可以靈活調(diào)整的數(shù)字濾波器。在教學(xué)過程中，通過調(diào)整濾波器的相位特性因子，可以在時域中直觀地對比不同相位調(diào)制后的音頻信號時域波形圖以及實際聲音效果。這種直觀的教學(xué)方式使學(xué)生能夠通過聽覺和視覺的雙重體驗，親身感受到濾波器引入的不同相位特性所帶來的顯著變化，從而加深對理論課程中濾波器設(shè)計等相關(guān)知識點的理解，促進對工程應(yīng)用中線性相位特性重要性的認識[7-9]。此外，這種教學(xué)方法還能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，通過親身參與實驗和觀察，學(xué)生們能夠更加主動地探索和學(xué)習(xí)相關(guān)知識，有效提升課堂教學(xué)效果[10-12]。

1不同相位特性數(shù)字濾波器設(shè)計

教學(xué)實驗的具體流程如圖1所示。

其中， k=0 ，1，2，…， N-1 。

若設(shè)計的濾波器的幅頻響應(yīng)為1，則濾波器相頻響應(yīng)為：

其中， θ_k（ω） 為濾波器的相位函數(shù)?？梢酝ㄟ^設(shè)置不同的相位函數(shù)形式實現(xiàn)不同的濾波效果，為簡便起見，本文以“零相位”“線性相位”“二次相位”以及“隨機相位”為例進行研究，其他類型相位特性可以以此類推。

考慮到DFT的“圓周共軛對稱特性”，對實數(shù)原始音頻信號做 N 點快速傅里葉變換（FastFourierTransform，F(xiàn)FT）經(jīng)濾波處理，如果要通過 N 點逆快速傅里葉變換（InverseFastFourierTransform，IFFT）恢復(fù)實數(shù)音頻信號，則濾波器相位函數(shù)應(yīng)滿足：

θ_k（ω）=-θ_N-k（ω）

當 k?N/2AA-1 時，相位函數(shù)序列的前半段為：

其中， τ 為濾波器的群延時，此處設(shè)為常數(shù)1。ω=0：Δf：f_s/2 為線性頻率序列， f_s 為音頻信號采樣率，Δf=f_s/N 為頻域采樣間隔，rand（1， N/2 長度為 N/2 ，取值在[1，2]之間的隨機數(shù)序列。

當 k?N/2 時，相位函數(shù)序列的后半段 θ_k?N/2（ω）

可根據(jù)式（3）與式（4）聯(lián)合導(dǎo)出。

利用上述濾波器對原始音頻信號進行濾波并做IFFT恢復(fù)音頻信號。

利用MATLAB中的plot函數(shù)繪制原始音頻信號x（n） 和濾波恢復(fù)后的音頻信號 x^′（n） 的時域波形圖，并利用sound函數(shù)播放音頻信號聲音，對比“濾波器引入的不同相位特性調(diào)制帶來的效果。

在教學(xué)實踐中，要注意從學(xué)生的角度思考并引出相關(guān)知識點。例如，要引導(dǎo)學(xué)生思考“為什么要研究不同相位特性對信號濾波過程的影響”。這是因為在實際工程應(yīng)用中，很多電子系統(tǒng)需要具有線性相位特性，以保證在信號恢復(fù)過程中盡可能減小失真。對于這個問題，還可在課堂上進一步拓展，如在通信系統(tǒng)中，由于需要盡可能“最大化”且“不失真”地獲取信源信息，就要求在通信信息處理過程中保證相位的線性度，以降低誤碼率。在電視、網(wǎng)絡(luò)和數(shù)字通信系統(tǒng)中，若輸出信號想恢復(fù)輸入信號攜帶的原始信息，必須滿足無相位失真條件[13-14]。

2不同相位特性影響的教學(xué)實驗

下面以“命運交響曲.mp3”音頻文件為例（原始音頻文件可登錄網(wǎng)址下載：https：//pan.baiducom/s/1RE9nR5-Vxm9Gfzueik31VA？pwd=j4am），利用MATLAB軟件開展對比實驗（MATLAB教學(xué)演示代碼“LinearPheseCharacteristics.m”可登錄網(wǎng)站：https：//pan.baidu.com/s/1HyjEM4y5an-Eavfgi7EPlg？pwd 1=r5rq ）下載。為縮短仿真實驗時長，案例中僅截取原始音頻信號前5秒數(shù)據(jù)進行采樣處理，并不影響仿真教學(xué)演示方法的有效性。采樣率為 f_s=44.1kHz ，補零41644后總數(shù)據(jù)長度為N=262 144 ，根據(jù)式（3）與式（4）的推導(dǎo)計算，利用plot函數(shù)分別繪制四種不同相位特性的曲線圖，繪制相位特性曲線的MATLAB代碼如表1所示。

表1繪制相位特性曲線的MATLAB代碼

（續(xù)表）

相位特性曲線如圖2所示，線性相位的相位隨著時間線性變化，二次相位的相位曲線為二次曲線，隨機相位的相位曲線隨時間隨機震蕩，曲線圖中部的“跳變”反映了式（3）給出的“圓周共軛對稱特性”。

根據(jù)圖1所示的實驗流程，將原始音頻信號采樣補零后做FFT變換到頻域，利用設(shè)計的濾波器進行濾波，再經(jīng)過IFFT變換到時域。利用MATLAB的plot函數(shù)分別繪制原始音頻信號和濾波恢復(fù)音頻信號的時域波形圖，繪制的時域波形如圖3所示。

圖2不同相位特性曲線圖

圖3不同相位特性濾波器濾波恢復(fù)后音頻信號的時域波形圖

由圖3可知，當濾波器的相位函數(shù)為零相位時，濾波恢復(fù)后的音頻信號時域波形圖與原始音頻信號保持一致。當濾波器的相位函數(shù)為線性相位時，時域波形圖雖然整體向左有一定平移，但波形依然與原始音頻信號保持一致，具有較高的保真度。這說明線性相位特性能夠確保信號在傳輸和處理過程中不發(fā)生相位失真，從而保持信號的完整性和準確性。而對于二次相位和隨機相位，濾波恢復(fù)后的音頻信號時域波形圖發(fā)生顯著變化，這表明濾波過程引入的非線性相位造成了音頻信號的失真。

在此基礎(chǔ)上，可進一步利用MATLAB的sound函數(shù)播放音頻信號，并通過聽覺直觀感受不同相位特性濾波器濾波恢復(fù)后的音頻信號以及原始音頻信號之間的差異，播放音頻的MATLAB代碼如表2所示。

表2播放音頻的MATLAB代碼

還可以利用audiowrite函數(shù)將不同音頻信號存

儲下來，插入教師的PPT課件中，用于上課過程中現(xiàn)場播放演示（存儲的音頻信號文件可登錄網(wǎng)站：https：//pan.baidu.com/s/1bCEgH6ljIXzNmYr5gHVTOw？pwd=5dy2）下載。存儲音頻的MATLAB代碼與存儲的音頻信號文件分別如表3和圖4所示。

表3存儲音頻的MATLAB代碼

（續(xù)表）

圖4存儲至本地的不同音頻信號文件

3注意事項

注意事項具體內(nèi)容：

1）在設(shè)計濾波器時，需考慮到DFT的“圓周共軛對稱特性”，所設(shè)計的濾波器相位函數(shù)應(yīng)滿足式（3），以保證IFFT變換后能夠恢復(fù)實數(shù)音頻信號。

2）在演示實驗中，為保證MATLAB程序執(zhí)行的效率，便于動態(tài)調(diào)整濾波器參數(shù)并實時演示實驗效果，讀取的音頻信號數(shù)據(jù)點數(shù)不宜過多。因此，可適當縮短原始音瀕信號的截取時長，或適當降低采樣率。本文中截取了前5秒的數(shù)據(jù)為例進行演示說明。

3）在使用sound函數(shù)播放音頻信號時，為避免多段音頻前后交疊播放影響實驗效果，可利用pause函數(shù)靈活設(shè)置播放延時，如表2所示。

4）本文設(shè)計的演示實驗屬于開放性實驗，除了文中提供的“命運交響曲.mp3”音頻外，還可以鼓勵學(xué)生自選音頻或自行錄制音頻作為原始音頻信號開展實驗，觀察實驗現(xiàn)象，增強趣味性，進一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

5）本文雖然以音頻信號為例進行演示，但還可以鼓勵學(xué)生嘗試以圖像信息等為例，按照相似的思路開展進一步的分析研究，以強化學(xué)生獨立思考和動手編程能力。

6）此外，還可以鼓勵學(xué)有余力的同學(xué)自行在原始音頻信號中加入噪聲，并根據(jù)課堂所學(xué)的濾波器知識設(shè)計濾波器濾除噪聲。然后，采用本文所提方法繪制濾波前后的音頻信號時域波形圖，并播放聲音，以直觀體驗濾波效果。

4結(jié)論

數(shù)字濾波器的相頻響應(yīng)特性是“數(shù)字信號處理”課程中一個非常重要的知識點。本文以音頻信號處理為例，深入探討了如何利用離散傅里葉變換 （DFT）的“圓周共軛對稱特性”來設(shè)計一種具有靈活相位調(diào)整能力的數(shù)字濾波器。該濾波器首先在頻域?qū)υ家纛l信號進行濾波，然后再將信號從頻域轉(zhuǎn)換回時域。這種濾波器的一大亮點在于，通過巧妙地設(shè)定不同的相位函數(shù)形式，可以實現(xiàn)多樣化的濾波效果。為了讓學(xué)生更直觀地感受到不同相位特性所帶來的差異，文中采用了雙重感官體驗的方式：一方面，通過視覺圖像展示濾波前后信號波形的變化；另一方面，直接播放處理前后的音頻，讓學(xué)生用耳朵去聆聽差異。這種視覺與聽覺相結(jié)合的教學(xué)方法，極大地增強了學(xué)生對濾波器線性相位特性的理解和認識，使他們能夠更加深入地掌握這一重要知識點，為后續(xù)的學(xué)習(xí)和實踐打下堅實的基礎(chǔ)。

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作者簡介：羅成高（1987一），男，土家族，湖北咸豐人，副教授，碩士生導(dǎo)師，博士，研究方向：雷達信號處理；許可（1982一），男，漢族，四川樂山人，副教授，碩士生導(dǎo)師，博士，研究方向：數(shù)字信號處理；通信作者：曾旸（1989一），男，漢族，湖南長沙人，副教授，博士，研究方向：數(shù)字信號處理；易俊（1992一），男，漢族，湖南衡陽人，助理研究員，博士，研究方向：太赫茲雷達。