“找規(guī)律解決問題”拓展課的問題提出教學(xué)

“探索規(guī)律”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)滲透函數(shù)思想的重要載體。對此，筆者設(shè)計了數(shù)學(xué)拓展課“找規(guī)律解決問題”，安排在小學(xué)一年級下冊第六單元之后進(jìn)行教學(xué)。本課依托“手鏈掉珠\"的真實情境創(chuàng)設(shè)了三個教學(xué)任務(wù)，要求學(xué)生通過觀察、操作、猜測等活動，發(fā)現(xiàn)圖形的簡單規(guī)律；根據(jù)規(guī)律推理結(jié)果，感受“規(guī)律\"就是一個“模式”，培養(yǎng)模型意識；再以實際的情境來打破這個“模式”，突破模式思維。為了體現(xiàn)教學(xué)的開放性，筆者采用問題提出的方式組織教學(xué)，使不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生可以提出不同思維層次的問題，在個性化的問題分析與解決中，實現(xiàn)思維的發(fā)展。

教學(xué)任務(wù)一：創(chuàng)設(shè)問題情境，建立掉珠模型

真實情境是數(shù)學(xué)課程不可或缺的部分。沒有真實情境，就難以培養(yǎng)學(xué)生真正的數(shù)學(xué)眼光，使其有機會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。2]為此，教師利用低段學(xué)生喜聞樂見的卡通人物“佩奇”，創(chuàng)設(shè)“手鏈掉珠”情境，請學(xué)生根據(jù)情境提出數(shù)學(xué)問題。接著圍繞學(xué)生提出的問題展開教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生探索規(guī)律，建立模型。

（一）創(chuàng)設(shè)掉珠情境，提出真實問題

教師用課件出示佩奇圖片，并詢問學(xué)生：“小朋友們，今天老師給大家?guī)砹艘晃恍』锇?，你們看是誰呀？\"（學(xué)生齊答：佩奇）接著出示一串手鏈（如圖1），同時播放佩奇的話：“我按規(guī)律為大家穿了一串手鏈，但不小心掉了2顆珠子?！弊詈蟪鍪咎崾菊Z：對于佩奇遇到的麻煩事，你有什么想問的嗎？

教師先讓學(xué)生同桌互相提問，然后請學(xué)生口述自己的問題。學(xué)生提出的問題如下。

① 一共有幾顆珠子？

② 掉了幾顆白珠、幾顆黑珠？

③ 這串珠子的排列有什么規(guī)律？

④ 還剩幾顆珠子？

⑤ 這2顆珠子是從哪個位置掉的？

在這一環(huán)節(jié)，教師借助學(xué)生喜愛的卡通人物“佩奇”創(chuàng)設(shè)掉珠情境，并用多媒體的手段加以呈現(xiàn)，既充滿童趣又貼近生活。面對這樣的情境，學(xué)生更容易提出問題。比如“這2顆珠子是從哪個位置掉的\"這個問題，是學(xué)生以數(shù)學(xué)眼光觀察、用生活經(jīng)驗分析后提出的實際問題。它可以引導(dǎo)學(xué)生回到掉珠前的初始情境進(jìn)行觀察、猜想，合情推理出2顆珠子可能從左掉落、從右掉落或是一左一右掉落，從而為后續(xù)的探究做好鋪墊。

（二）動手操作實踐，解決所提問題

在學(xué)生提出問題后，教師圍繞這些問題來推進(jìn)教學(xué)進(jìn)程。審視學(xué)生提出的五個問題之間的關(guān)系，以及這些問題與教學(xué)自標(biāo)的適切度，可以發(fā)現(xiàn)：問題 ⑤ 是引導(dǎo)學(xué)生探究規(guī)律的前奏，具有實踐性、探究性和開放性等特點，能夠引發(fā)學(xué)生主動從不同角度對問題進(jìn)行觀察、猜想和驗證，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和開放性。因此，教師決定先引導(dǎo)學(xué)生解決問題 ⑤ ，再陸續(xù)解決其他問題。

1.解決問題 ⑤

師：佩奇非常著急。你們能不能幫她找一找，珠子到底是從哪個位置掉的呢？

生1：可能是從右邊掉了2顆珠子。

（教師在黑板上掛出珠子，請學(xué)生上臺指出掉珠子的位置，并畫上2個圈表示所掉的珠子）

生2：也可能是從左邊掉了2顆珠子。

生3：還可能是左右兩邊各掉了1顆珠子。

2.解決問題 ②③

教師提問：“剛剛我們已經(jīng)幫佩奇找到了掉珠子的位置，你能接著幫她弄清楚這些位置上的珠子分別是什么顏色的嗎？”隨后出示活動要求：圈一圈，找規(guī)律。在學(xué)習(xí)單的手鏈圖上用鉛筆畫出佩奇掉的2顆珠子，并將結(jié)果記錄下來。

學(xué)生完成學(xué)習(xí)單后，教師投影學(xué)生作品，并請學(xué)生上臺解讀自己的方法。

師：老師把某位同學(xué)的作品（如圖2）投影在了大屏上，你能看明白他是怎么找珠子的嗎？

生1：第一串是把2顆白的和1顆黑的圈在一起，以“白、白、黑”為一組。

（教師根據(jù)學(xué)生的回答，演示以“白、白、黑”為一組重復(fù)排列，并板貼）

師：按照這樣的規(guī)律，右邊掉的2顆珠子是什么顏色的？

生2：白色和黑色。

（教師請學(xué)生在第一串后面補上白色和黑色珠子）

師：那第二串呢？

生3：從右邊看是“白、黑、白\"3顆為一組重復(fù)排列，所以掉的是白珠和黑珠。

（教師演示，同時板貼，并請學(xué)生在第二串前面補上白色和黑色珠子）

師：最后一串誰看懂了？

生4：前面掉的是黑色珠子，后面掉的是白色珠子，以“黑、白、白”為一組重復(fù)排列。

（教師演示，同時板貼，并請學(xué)生在第三串的前后分別補上黑色和白色珠子）

在帶領(lǐng)學(xué)生解讀了三種可能的情形之后，教師提問：“剛才我們是怎么幫助佩奇解決她遇到的麻煩事的？\"引導(dǎo)學(xué)生歸納出解決問題的步驟：先“找位置\"（確定珠子掉的位置），然后“補珠子\"（畫上圓圈表示掉的珠子），再\"圈規(guī)律”（通過圈一圈尋找珠子的排列規(guī)律），最后“定顏色”（根據(jù)排列規(guī)律確定掉的珠子的顏色）。

3.設(shè)疑引問，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

質(zhì)疑是思維的起點，也是重要的思維活動。教學(xué)中，教師要創(chuàng)設(shè)機會，讓學(xué)生敢于提出自己的著法，并鼓勵學(xué)生積極思考、大膽質(zhì)疑，發(fā)展學(xué)生的問題意識，從而培養(yǎng)他們的獨立思考能力和創(chuàng)新精神。

師：仔細(xì)觀察三串珠子的排列規(guī)律和它們掉落的珠子，你有什么想問的？

生1：為什么三串珠子的排列規(guī)律不一樣，掉落的珠子卻都是1顆白珠和1顆黑珠？

生2：這還是同一串珠子嗎？

生3：明明是同一串珠子，為什么有三種排列規(guī)律？

師：這的確很奇怪！我們把這三串珠子穿起來，看看有什么發(fā)現(xiàn)。（課件動態(tài)演示將三串珠子穿起來的過程，如圖3所示）

生4：我知道了，穿起來還是同一串。

生5：我發(fā)現(xiàn)，雖然穿起來后三串珠子的排列規(guī)律是一樣的，但打結(jié)的地方不一樣。

生6：打結(jié)的地方就是珠子掉下來的地方。

生7：三串珠子打開的時候排列規(guī)律不一樣，穿起來又變成一樣的了。

師：你們真會觀察和思考！如果老師把這個“結(jié)”去掉，三串手鏈就完全一樣了（課件演示三串手鏈合而為一）。當(dāng)我們將三串珠子像手鏈一樣圍成一個封閉的環(huán)形，就可以從任何1顆珠子開始找規(guī)律。雖然三串珠子的排列規(guī)律不同，但因為它們掉落的白珠、黑珠的數(shù)量是一樣的，所以要解決“掉的是哪2顆”的問題，只需找到其中的一種排列規(guī)律就可以了。

在這個教學(xué)環(huán)節(jié)，教師以學(xué)生提出的三個問題“這2顆珠子是從哪個位置掉的？\"“這串珠子的排列有什么規(guī)律？\"“掉了幾顆白珠、幾顆黑珠？\"為支架，讓學(xué)生通過動手操作還原掉珠的真實情境，引發(fā)學(xué)生的第一次思維沖突。學(xué)生由此產(chǎn)生了“這還是同一串珠子嗎？\"“明明是同一串珠子，為什么有三種排列規(guī)律？”這樣的疑問。通過把這三串珠子穿起來還原成同一串手鏈，學(xué)生認(rèn)識到穿珠子的起點不一樣，珠子的排列規(guī)律就不一樣，但掉珠的結(jié)果是一樣的。在此過程中，幫助學(xué)生建立解決掉珠問題的模型，即\"找位置一補珠子一圈規(guī)律一定顏色”，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識。

教學(xué)任務(wù)二：再創(chuàng)掉珠情境，打破模式思維

模式有利于表征規(guī)律、運用規(guī)律，但也會使學(xué)生產(chǎn)生思維定式，限制學(xué)生思維的發(fā)散。因此，教師延續(xù)前面的主題，創(chuàng)設(shè)“佩奇的手鏈可不可能掉了3顆珠子\"的情境，再次引發(fā)學(xué)生的思維沖突。

教師用課件演示“佩奇媽媽撿到3顆珠子\"的情境，并出示問題：如果掉了3顆珠子，原來的那串手鏈會是什么樣的？讓學(xué)生嘗試自主解決。

教師收集并分享學(xué)生成果，同時引導(dǎo)學(xué)生圍繞這些成果展開分析討論。（教師大屏投放四幅學(xué)生作品，如圖4～圖7）

師：看了上面這些作品，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)，第一種是左邊掉3顆珠子（如圖4）；第二種是右邊掉3顆珠子（如圖5）；第三種是左邊掉1顆珠子，右邊掉2顆珠子（如圖6）;第四種是左邊掉2顆珠子，右邊掉1顆珠子（如圖7）。

生2：我發(fā)現(xiàn)排列規(guī)律和結(jié)果都不一樣了。上面的兩種是掉2顆白珠、1顆黑珠，下面的兩種是掉1顆白珠、2顆黑珠。

生3：我發(fā)現(xiàn)排列規(guī)律還是剛才那三種：白、白、黑，黑、白、白，以及白、黑、白。

生4：我發(fā)現(xiàn)最后都有1顆多出來了。

師：你們真會觀察，發(fā)現(xiàn)了這么多的秘密！上面四位同學(xué)都是先確定位置，再圈一圈找出規(guī)律。雖然排列規(guī)律還是與剛才的三種相同，但都多出了1顆珠子，且結(jié)果也與剛才的不一樣，有2白1黑和1白2黑兩種。我們把這幾串珠子也穿起來，看看能不能穿成有規(guī)律的手鏈。

教師用課件動態(tài)演示將四串珠子穿起來的過程，得到圖8、圖9兩種結(jié)果，引發(fā)學(xué)生的思考。

這個教學(xué)環(huán)節(jié)通過設(shè)置“佩奇媽媽撿到3顆珠子\"的情境來引出問題，一方面使真實的情境得到延續(xù)，另一方面讓學(xué)生對解決掉珠問題的模型（程序）進(jìn)行模仿鞏固。最后，通過演示將四串珠子穿成手鏈的過程驗證結(jié)果，造成學(xué)生第二次思維沖突，促進(jìn)學(xué)生從不同角度來思考問題，從而打破原來的定式，把學(xué)生的思維提升到另一個維度。

教學(xué)任務(wù)三：感受周期循環(huán)，滲透無限概念

數(shù)學(xué)規(guī)律是指數(shù)學(xué)中存在的重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象和模式。借助數(shù)學(xué)規(guī)律，就可以根據(jù)已知有限項序列生成無限項序列。為了讓一年級學(xué)生在初次接觸規(guī)律時就能初步感受到“周期\"“無限\"等概念，滲透函數(shù)思想，教師設(shè)計了“找星星\"的教學(xué)拓展情境。

教師先用課件播放佩奇的語音：“小朋友們，我又回來了！這次我?guī)砹艘粋€神秘的箱子，想把里面的星星送給表現(xiàn)最好的小朋友。大家快來找星星吧！\"接著出示要求（如圖10）。

找規(guī)律，畫出箱子里的星星。

生5：第一種前面的排列規(guī)律都是“白、白、黑”，最后一圈卻是“白、白、黑、白”，多了1顆白珠（如圖8）。

生6：不符合規(guī)律了。

生7：第二種的排列規(guī)律是“黑、白、白”，但最后多了1顆黑珠，所以也不符合規(guī)律了（如圖9）。

師：所以

生8：佩奇的手鏈不可能掉3顆珠子。

生9：佩奇的手鏈掉了2顆珠子，還有1顆不是從她的手鏈上掉的。

教師呈現(xiàn)圖11和圖12兩幅學(xué)生作品，這也是多數(shù)學(xué)生的答案。教師分別請學(xué)生說一說從這兩幅作品中找到的星星排列規(guī)律，以及箱子里的星星是否符合這樣的排列規(guī)律。學(xué)生用前面歸納的“找位置一補珠子一圈規(guī)律一定顏色\"模型，根據(jù)不同的起點找到不同的排列規(guī)律，補上了箱子里的星星，最終得到不同數(shù)量的星星。

教師接著呈現(xiàn)第三幅學(xué)生作品（如圖13），圍繞該作品展開交流。

師：這位同學(xué)的答案很特別！他找到了什么規(guī)律？你能看明白嗎？

生1：他找到的規(guī)律是白、黑、黑、白、黑、黑、 白、黑、黑……

師：他找到的星星符不符合規(guī)律？

生2：符合，雖然只有2顆。

師：讓我們按規(guī)律一起讀一讀。

生（齊）：白、黑、黑、白、黑、黑、白、黑、黑…

師：那佩奇的箱子里到底有多少顆星星呢？實際上，佩奇的箱子比我們想象中的還要大、還要深，里面藏著許許多多的星星。（課件呈現(xiàn)圖14）

生（齊）：哇！

師：如果這個箱子再變大一些，里面星星的數(shù)量會發(fā)生什么變化？

生3：會變得越來越多。

師：是的，里面的星星可能會有很多很多。只要箱子夠大，星星可以按規(guī)律一直循環(huán)下去。

任務(wù)一和任務(wù)二呈現(xiàn)的是一條封閉的環(huán)形手鏈，且掉落的珠子數(shù)量是已知的，所以規(guī)律的序列是有限的，珠子的數(shù)量也是有限的。但在任務(wù)三中，學(xué)生可以得出多個不同的答案，從而感受到箱子里規(guī)律的序列（循環(huán)）可以是一個，也可以是多個。在此基礎(chǔ)上，教師再借助圖14的周期循環(huán)，實現(xiàn)從有限項序列向無限項序列的拓展延伸，讓學(xué)生感受“無限”這個概念，從而幫助學(xué)生形成模型思想，為今后學(xué)習(xí)用函數(shù)表達(dá)規(guī)律做好鋪墊。

以上教學(xué)實踐用卡通人物佩奇串聯(lián)情境，以學(xué)生提出的問題為支架，讓學(xué)生通過完成三個任務(wù)，經(jīng)歷三次思維沖突：第一次是同一串手鏈可以有不同的排列規(guī)律；第二次是按規(guī)律補上珠子穿起來后卻不成規(guī)律；第三次是星星數(shù)量可以不同，甚至無限多。在此過程中，培養(yǎng)學(xué)生問題意識，發(fā)展學(xué)生思維水平，提升學(xué)生核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]賈隨軍，姚一玲.問題提出的回顧與展望：美國特拉華大學(xué)終身教授蔡金法訪談錄[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2021（10）：8-13.

[2]孫曉天，張丹.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）課例式解讀：小學(xué)數(shù)學(xué)M.北京：教育科學(xué)出版社，2022：12.

（浙江省杭州市蕭山區(qū)新街第三小學(xué)）