在數(shù)學史中啟迪數(shù)學思想
——《圓的面積》教學設計（一）

文|方 芳

【教學內(nèi)容】

蘇教版五年級下冊第96、97 頁。

【教學過程】

一、確定圓面積的范圍，初步感知極限思想

師：今天我們一起來研究“圓的面積”，先來完成一份《學習單》，通過數(shù)和算，你能發(fā)現(xiàn)圓的面積與它的半徑有什么關(guān)系嗎？

生：圓的面積大約是正方形面積的3 倍多。

生：圓的面積大約是r2的3倍多一些。

師：那如果半徑是20 呢？如果這個圓再大呢？如果這個圓無限大呢？

生：圓的面積大約在r2的3倍與4 倍之間。

小結(jié)：看來這種方法并不能準確得到圓的面積，只能得到圓面積的范圍。

【設計意圖：在探究圓面積的過程中，首先引領(lǐng)學生感受圓面積的大小范圍，巧妙地將“圓的面積大約是它半徑平方的幾倍”轉(zhuǎn)化成“圓的面積大約是正方形面積的幾倍”，讓探究更具有可操作性和可視性。借助半徑為4、5、8的三個圓以及繼續(xù)想象半徑為20 的圓，通過數(shù)方格的方法，初步感知圓的面積和r2之間是“3倍多一些”的關(guān)系，但這還不是很準確，因此教學中為了讓學生更加清晰地感受到半徑變大后圓的面積與r2的關(guān)系，隨后提出猜想，如果這個圓無限大呢？學生經(jīng)過思考后提出S=πr2的猜想。這樣的教學過程能夠讓學生初步接觸極限思想，感覺到無限大的圓就是一種極限情況，初步感知和體驗極限思想的魅力?！?/p>

二、推導圓的面積公式，相機滲透極限思想

1.實踐運用劉徽割圓術(shù)，探究圓與正多邊形的關(guān)系。

師：同學們，今天的研究將圍繞歷史上三位著名的數(shù)學家展開。我們先來聽第一則“劉徽與圓面積公式”的故事。公元263年，我國數(shù)學家劉徽在為《九章算術(shù)》作注時，稱：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！蹦銈兟犨^嗎？

操作一：正向操作，將正方形的紙剪成一個圓形。

師：你能將正方形的紙剪成一個最大的圓形嗎？可以怎樣剪？

師：有的同學是對折剪一個半圓，有的同學對折兩次再剪，想一想，怎樣剪才能讓展開的圖形更接近圓呢？

生：對折無數(shù)次。

師：的確，對折的次數(shù)越多，剪直線段，就越接近圓。如果能將紙片對折無數(shù)次，再用剪刀沿直線段剪開，就會得到一個近似的圓。

幾何畫板演示正多邊形逼近圓的過程：

師：通過剪圓的過程我們感受到“方中有圓”，這對求圓的面積有啟發(fā)嗎？

生：可以把圓的面積看成一個正多邊形的面積。

操作二：反向操作，將圓形的紙剪成正多邊形。

師：現(xiàn)在反過來，你能把一張圓形紙片剪成正多邊形嗎？

（學生操作）

師：通過操作我們可以發(fā)現(xiàn)，圓對折的次數(shù)越多，正多邊形和圓面積的差值越小，如果無限次對折，那么面積就相等了。

師：現(xiàn)在你們能再說說數(shù)學家劉徽所說的話是什么意思嗎？

生：“割之彌細，所失彌少”就是隨著圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷增加，正多邊形的面積與圓的面積就越來越接近，當邊數(shù)多到不能再加的時候，圓內(nèi)接正多邊形就與圓一樣了。

【設計意圖：學生經(jīng)歷兩次操作，探究圓和正多邊形的關(guān)系，利用正多邊形來不斷逼近圓的面積。兩次操作從圓的外部和內(nèi)部分別逼近圓，也涉及到阿基米德的“雙側(cè)逼近法”。通過幾何畫板的直觀演示和對劉徽割圓術(shù)的進一步理解，讓學生了解到數(shù)學家也是利用求圓內(nèi)接正多邊形的面積來求圓的面積，圓被分割得越細，正多邊形的面積就越接近圓的面積，在極限狀態(tài)下，正多邊形的面積就等于圓的面積。正是有了兩次實際操作的經(jīng)歷，學生對“割圓術(shù)”的理解不僅僅停留在字面意思，還能在親身親歷中應用割圓術(shù)的原理，對極限思想的運用有更深的體會?！?/p>

2.經(jīng)歷開普勒分割變形法，轉(zhuǎn)化圖形推導面積公式。

師：剛才數(shù)學家劉徽的故事告訴我們求圓面積的過程是把圓轉(zhuǎn)化成正多邊形來研究的，那怎樣計算圓的面積呢？我們來看第二個數(shù)學家的故事。17 世紀，德國著名天文學家、數(shù)學家開普勒在一次喝酒時發(fā)現(xiàn)酒桶各異，于是開始思考葡萄酒桶體積的算法，要解決這個問題，就要先求出圓的面積公式。經(jīng)過思考，他想出了一種方法，叫做“分割變形法”，即把圓轉(zhuǎn)化成已經(jīng)熟悉的圖形。你們想直接看他的方法還是自己先試一試？

（學生自主活動后匯報）

方法一：將圓轉(zhuǎn)化成平行四邊形。

生：我把圓平均分成8 份。

生：我平均分成了16 份。

生：我平均分成了32 份，更像長方形了。

師：當我們將圓平均分成8份，通過分割拼接可以得到這樣的圖形（圖a），當圓被平均分成16 份時，我們可以將其轉(zhuǎn)化成這樣的圖形（圖b），當圓被平均分成32 份時，就轉(zhuǎn)化成這樣（圖c）。仔細觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？（轉(zhuǎn)化后的圖形越來越接近于長方形，轉(zhuǎn)化前和轉(zhuǎn)化后的圖形的面積相等）

師：如果再繼續(xù)分下去，轉(zhuǎn)化后的圖形會怎樣變化？面積呢？

師：將這個圓平均分成無數(shù)份時，轉(zhuǎn)化后的圖形就成了（長方形）。此時轉(zhuǎn)化前的圖形和轉(zhuǎn)化后的圖形有什么聯(lián)系？（面積不變）求圓的面積就轉(zhuǎn)化成求這個長方形的面積。長方形的面積怎么算？

生：長方形的面積=長×寬，長=圓周長的一半，寬=圓的半徑，所以長方形面積＝πr×r＝πr2。

師：剛才通過轉(zhuǎn)化的方法將圓轉(zhuǎn)化成與它等積的我們熟悉的長方形來研究，推導出了圓的面積的計算方法。還有不同方法嗎？

方法二：將圓轉(zhuǎn)化成三角形。

生：正多邊形沿半徑分割出來的圖形可以看成一個一個等腰三角形，我們算出一個三角形的面積，再乘小三角形的個數(shù)。具體來說就是小等腰三角形的底＝圓的周長÷分成的份數(shù)n，它的高相當于圓的半徑，所以S＝2πr÷n×r÷2×n＝πr×r＝πr2。

生：也可以轉(zhuǎn)化成三角形或梯形，都需要想象分成無數(shù)份進行計算。

師：同學們特別厲害，自己想出了這么多轉(zhuǎn)化計算的方法，現(xiàn)在我們來看看開普勒的方法。（出示圖，圖略）剛才這位同學的推導過程就有數(shù)學家開普勒的分割變形法的影子，很多同學都能想到極限的情況下可以把曲線看成直線，化曲為直，你們真了不起！

【設計意圖：在學生推導圓面積的計算公式時，開普勒的分割變形法也已經(jīng)悄然發(fā)生，學生在不知不覺中親身經(jīng)歷了數(shù)學家的推導方法，體味到成功帶來的喜悅，也更加真切感受到數(shù)學的極限思想。數(shù)學家的方法就是學生感受數(shù)學思想的一個有力支點，讓學生借助數(shù)學家們的探究過程了解、體會數(shù)學中的極限思想和化曲為直的思想?！?/p>

3.材料閱讀重溫數(shù)學經(jīng)典，了解阿基米德同心圓法。

師：最后一起來看第三位數(shù)學家阿基米德與圓面積公式的故事。公元前3 世紀，古希臘數(shù)學家阿基米德在《圓的度量》中說：圓面積等于“一條直角邊長等于圓半徑，另一條直角邊長為圓周”的直角三角形面積。他是這樣發(fā)現(xiàn)圓面積計算公式的，如下圖，將圓從圓心開始直到邊緣分成一些細窄的同心圓環(huán)，并逐一展開疊成一個直角三角形，將圓無限細分時，圓面積與直角三角形面積就近似相等。

師：看完阿基米德的方法，你有什么收獲和感受？

生：我覺得不一定要拼成一個直角三角形，擺成等腰三角形也是一樣的道理。

生：阿基米德也要把圓進行無限分割，找到一個極限狀態(tài)。

生：數(shù)學家們很厲害，想出了很多不同推導圓面積計算公式的方法。

【設計意圖：數(shù)學史中，不同的數(shù)學家不斷創(chuàng)新，創(chuàng)造了很多方法探索圓面積的計算公式，在學生已經(jīng)了解不同的圓面積公式推導方法的基礎上，再次提出新的方法，讓學生領(lǐng)悟數(shù)學家們的創(chuàng)新精神，學習數(shù)學家們對知識孜孜不倦追求的態(tài)度，同時也對圓面積計算公式的認識進行升華，進一步體會極限思想?！?/p>

三、回顧探究活動過程，深刻領(lǐng)悟極限思想

師：同學們今天研究得特別好，學習了這么多圓面積推導的方法，個個都是小數(shù)學家。那這么多的方法中你最喜歡哪種方法？為什么？在學習中感受到哪些數(shù)學學習的方法和思想？

生：我喜歡轉(zhuǎn)化成長方形的方法，我覺得長方形的面積很好算，而且和圓的半徑很好關(guān)聯(lián)，計算方便，感受到了極限的思想方法。

生：我喜歡阿基米德的方法，很有創(chuàng)意，也要想象極限情況。

生：我覺得看成小三角形算再乘個數(shù)的方法簡單，算其中一部分再算整體，算一個小三角形時也是按照極限情況算的。

師：的確，這幾位數(shù)學家和同學們的方法都蘊含了一種重要的數(shù)學思想——極限思想。下面我們一起來看兩個問題，看看你能不能解決。

問題1：已知一個圓的周長是31.4 米，求這個圓的面積。

問題2：將一個圓沿半徑剪開，平均分成若干個完全相同的小扇形，割拼成近似的長方形，這個長方形和圓相比，說法正確的是：A.面積不變，周長增加；B.面積不變，周長減少；C.面積不變，周長不變。

師：課后，給你的爸爸媽媽介紹一下圓面積公式的推導過程，也去查一查還有哪些推導圓面積的方法，比如意大利數(shù)學家卡瓦列里的“棉線法”等等。

【設計意圖：課堂小結(jié)和練習環(huán)節(jié)讓學生回顧所有的推導過程，選出自己喜愛的方法，既是對計算方法的鞏固，又是對數(shù)學思想方法的再感悟。練習中仍然選擇經(jīng)典的歷史問題，學生翻譯并解決，感受世界和中華古代文明的博大精深，同時注意把面積和周長聯(lián)系在一起，讓學生利用周長的一半×半徑的方法解決。最后查閱其他方法的任務則是引導學生向數(shù)學家們學習，不要停下研究的腳步，延續(xù)學生對數(shù)學史的興趣和熱情，延續(xù)對數(shù)學極限思想的感悟?！?/p>