探究高中物理雙導(dǎo)體棒在磁場中運動的綜合問題

1引言

導(dǎo)體棒在磁場中的運動問題，由于其中涉及了電學(xué)和力學(xué)兩大領(lǐng)域中的多個物理知識點，解題過程不僅復(fù)雜煩瑣，且綜合性極強.

2 等長雙導(dǎo)體棒模型

例1如圖1所示，間隔為 L 且足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌固定在同一水平面上，虛線MN右側(cè)區(qū)域存在磁感應(yīng)強度為 B 、方向豎直向下的勻強磁場.質(zhì)量均為 Ψ_m 、長度均為 L 、電阻均為 R 的導(dǎo)體棒a，b ，垂直導(dǎo)軌放置且保持與導(dǎo)軌接觸良好.開始時導(dǎo)體棒 b 靜止于與MN相距 x_?0 處，導(dǎo)體棒 a 以水平速度 v₀ 從MN處進入磁場.不計導(dǎo)軌電阻，忽略因電流變化產(chǎn)生的電磁輻射，且運動過程中導(dǎo)體棒 α_a ，b 沒有發(fā)生碰撞.試求：

（1）導(dǎo)體棒 b 中產(chǎn)生的焦耳熱；

（2）導(dǎo)體棒 b 中通過的電荷量；

（3）導(dǎo)體棒 Φ_a，b 間的最小距離.

解析（1）導(dǎo)體棒 a 進入磁場后，導(dǎo)體棒 a_λ，b 及導(dǎo)軌組成的回路磁通量發(fā)生變化，產(chǎn)生感應(yīng)電流.在安培力的作用下，導(dǎo)體棒 a 做減速運動、導(dǎo)體棒 b 做加速運動，直至二者的速度相等.在這一過程中，該系統(tǒng)的動量守恒，以 的方向為正方向，有 mv₀= 2mu，再結(jié)合能量守恒定律，會有

Q. 導(dǎo)體棒 b 中產(chǎn)生的內(nèi)能是 經(jīng)過整理后可得 知

（2）以導(dǎo)體棒 b 為研究對象，根據(jù)動量定理，可得FΔt=mv ，而 F=BIL，q=IΔt ，聯(lián)立上述三式可解得

（3）假設(shè)經(jīng)過時間 Δt ，導(dǎo)體棒 a_λ，b 的速度相等，此過程中安培力的平均值為 F ·

設(shè)導(dǎo)體棒 a_λ，b 間的最小距離為 x ，以導(dǎo)體棒 b 為研究對象，根據(jù)動量定理，可得 FΔt=mv ，而 F= ΔΦ=BL（x-x） ，聯(lián)立上式后可解得x=x。

點評在解決等長雙導(dǎo)體棒在磁場中運動的綜合問題時，首先應(yīng)根據(jù)題目中給出的已知條件明確各個物理量，然后選擇合適的物理原理和定律，對導(dǎo)體棒在磁場中的運動過程進行分析，進而建立數(shù)學(xué)模型，以此來求解出未知的物理量.

3不等長雙導(dǎo)體棒模型

例2如圖2所示，左側(cè)四分之一圓弧軌道半徑是 R ，現(xiàn)將其固定在光滑地面上，與右側(cè)未固定水平平行直導(dǎo)軌不連接， PQ 間距是 L ，右側(cè)有豎直向上的勻強磁場，磁場范圍足夠大，磁感應(yīng)強度大小是B ，右側(cè)導(dǎo)軌不等寬，彎折部分 MN 的電阻是 ，質(zhì)量是 Ψ_m ，長度是 ，導(dǎo)軌其他部分電阻和質(zhì)量不計，不計一切摩擦.導(dǎo)體棒 a 的質(zhì)量是 m ，電阻是 r ，長度是 L ，從軌道與圓心等高點由靜止釋放，導(dǎo)體棒 b 的質(zhì)量是 ψ_m ，電阻是 ，長度是 ，初速度是零，導(dǎo)體棒a 到達 MN 之前速度已經(jīng)達到穩(wěn)定狀態(tài)， PQ 與 MN 之間距離是 L_o ，重力加速度為 g .試求：

（1）導(dǎo)體棒 a 滑至 PQ 位置時， a 對軌道的壓力；（2）從導(dǎo)體棒 a 滑過 PQ 開始計時，定性畫出導(dǎo)體棒 Φ_a，b 的 v-t 圖像；（3）導(dǎo)體棒 a 與 MN 之間的最小距離；（4）整個過程導(dǎo)體棒 b 產(chǎn)生的焦耳熱.

解析（1）導(dǎo)體棒 a 從初始位置到最低點，根據(jù)動量定理，可得知 mu2，可解得u= .在最低點運用牛頓第二定律，則有 F_N-mg= R，可解得FN=3mg.最后再結(jié)合牛頓第三定律，可得知導(dǎo)體棒 a 對軌道的壓力大小是 3mg ，方向豎直向下.

（2）假設(shè)導(dǎo)體棒 a_λ，b 的速度分別是 v_a，v_b ，當(dāng)導(dǎo)體棒 α_a 進入磁場區(qū)域，右側(cè)導(dǎo)軌所受到的安培力方向向右，所以左右導(dǎo)軌會分離.

MN段所在導(dǎo)軌所受到的安培力與導(dǎo)體棒 b 所受到的安培力相同，根據(jù)題意可知，這二者質(zhì)量相同，所以它們的加速度、速度均相同.

右側(cè)導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒 b 相對靜止一起運動，切割磁感線總長度亦是 L ，整個回路中的電動勢是 E= BLv_a-BLv_b ，穩(wěn)定狀態(tài)時 E=0 ，所以 v_a=v_b ，則導(dǎo)體棒 α_a 到達穩(wěn)定狀態(tài)前，做減速運動，導(dǎo)體棒 b 做加速運動， E 減小， I 減小.

由 F_Z=BIL 可知，安培力減小，所以加速度減小，導(dǎo)體棒 α_a 做加速度減小的減速運動，導(dǎo)體棒 b 做加速度減小的加速運動.

以導(dǎo)體棒 a_λ，b 以及右側(cè)導(dǎo)軌作為一個整體，該系統(tǒng)所受的合外力為零，根據(jù)動量守恒定律可知，mu=3mu共，可解得共=

綜上所述，導(dǎo)體棒 a_λ，b 的 v-t 圖像如圖3所示，

（3）選取水平向右為正方向，對導(dǎo)體棒 a 應(yīng)用動量定理，可得知一B 化簡后可得 ，可解得 Δx= ，則導(dǎo)體棒 α_a 與 MN 之間的最小距離是

（4）以導(dǎo)體棒 Φ_a，b 以及右側(cè)導(dǎo)軌作為一個整體，從導(dǎo)體棒 a 進入磁場區(qū)域到達到穩(wěn)定狀態(tài)的過程中，根據(jù)能量守恒定律，可得知 3mv_?²+Q ，可解得 mgR，則導(dǎo)體棒b產(chǎn)生的焦耳熱是

點評在解決不等長雙導(dǎo)體棒在磁場中運動的綜合問題時，需要特別注意的是，兩根導(dǎo)體棒長度不等，是否會對后續(xù)的計算產(chǎn)生影響.解決此類問題的過程如下：明確已知條件；靈活應(yīng)用物理原理與定律；分析導(dǎo)體棒在磁場中的運動過程；建立數(shù)學(xué)模型，并聯(lián)系方程式對未知量進行求算.

4結(jié)語

通過對兩道典例的深入探討，不難看出，動量守恒定律、動量定理和能量守恒定律在解決此類問題時所起到的重要作用.在解決雙導(dǎo)體棒在磁場中運動的綜合問題的過程中，除了提升學(xué)生的問題分析能力，還極大地鍛煉了學(xué)生對相關(guān)知識內(nèi)容的綜合實踐能力，同時培養(yǎng)了學(xué)生在解決實際問題時的創(chuàng)新思維能力與邏輯思維能力.