初中數(shù)學(xué)中讓學(xué)生“打開思路”的解題方法研究

1 問(wèn)題提出

當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在解題方法單一、學(xué)生思維固化、實(shí)踐應(yīng)用脫節(jié)等問(wèn)題.教師在授課過(guò)程中多按照既定方式方法引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，多以教材標(biāo)準(zhǔn)解法為準(zhǔn)，一題多解、多題一解的引導(dǎo)難在課堂中進(jìn)行，許多學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，缺乏多角度思考與靈活變通的能力，導(dǎo)致解題效率低下；同時(shí)，學(xué)生依賴標(biāo)準(zhǔn)解法，缺乏對(duì)問(wèn)題本身的挖掘，面對(duì)變式題或綜合題時(shí)難以靈活識(shí)別題型并遷移相關(guān)知識(shí)點(diǎn).

以人教版九年級(jí)教材為例，“二次函數(shù)”“相似三角形”\"圓的性質(zhì)”等章節(jié)涉及大量綜合性問(wèn)題，但教材中的例題與習(xí)題多以標(biāo)準(zhǔn)解法為主，缺乏對(duì)發(fā)散思維的引導(dǎo)，學(xué)生不能“打開思路”.本文以“打開思路”為目標(biāo)，結(jié)合具體教學(xué)案例，從方法指導(dǎo)、策略歸納、實(shí)踐應(yīng)用及技術(shù)融合等方面，探索初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的優(yōu)化路徑.

2 問(wèn)題解決

2.1 立足教材內(nèi)容，構(gòu)建思維框架

在\"二次函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題”模塊中，教材通過(guò)“拋物線最值問(wèn)題”引導(dǎo)學(xué)生建立函數(shù)模型，但實(shí)際教學(xué)中可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步拓展.

例1圖1是一拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時(shí)，水面寬4米，若水面下降1米，水面寬度增加多少？

解析如圖2所示，構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，將水面所在的直線設(shè)為 x 軸，同時(shí)把經(jīng)過(guò)拱頂且與水面垂直的直線當(dāng)作 軸.此時(shí)拱頂坐標(biāo)為（0，2），水面與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）和（一2，0）.

設(shè)拋物線解析式為 y=ax²+2 ，將（2，0）代人解析式可得： A

所以拋物線解析式為

當(dāng)水面下降1米時(shí)，此時(shí) y=-1 ，代入拋物線解析式，解得 ，此時(shí)水面寬度為 米.原來(lái)水面寬度為4米，所以水面寬度增加了 4米.

拓展1多條件變化下的水面寬度問(wèn)題

例2水位多次變化：若水面先下降1米，再上升 h 米（ ，求此時(shí)水面寬度.

解析當(dāng)水面下降1米時(shí)，如上述計(jì)算， y= -1 時(shí)，水面寬度為 米.當(dāng)水面在下降1米的基礎(chǔ)上再上升 h 米時(shí)，此時(shí) y=-1+h ，得 x= ，此時(shí)水面寬度為 米.

點(diǎn)評(píng)通過(guò)分析 h 的變化對(duì)水面寬度的影響，讓學(xué)生理解拋物線函數(shù)值與自變量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，強(qiáng)化對(duì)函數(shù)概念的理解.

拓展2 實(shí)際應(yīng)用拓展.

例3橋梁通航問(wèn)題：在該拱橋下修建通航通道，規(guī)定船只在水面以上的高度不能超過(guò) h 米（ （0lt; hlt;2） ，求能通過(guò)的最大船寬.

解析當(dāng) y=2-h 時(shí)，解得 ，所以能通過(guò)的最大船寬為 米.

點(diǎn)評(píng)通過(guò)拓展活動(dòng)，讓學(xué)生能夠切實(shí)感受到數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際工程里的具體運(yùn)用，進(jìn)而有效提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)攻克實(shí)際問(wèn)題的主觀能動(dòng)性.

2.2多角度分析問(wèn)題，突破思維定式

2.2. 1 一題多解

例4如圖3所示，在 ΔABC 中， AB=AC ，BE，CF 分別是 AC ，AB邊上的高，求證： BE=CF

解法1

利用三角形面積公式.在 ΔABC 中，以AB為底， CF 為高時(shí)， ；以 AC 為底，BE 為高時(shí)， 又因?yàn)?AB=AC ，所以 AB×CF=AC×BE ，由此可得 BE=CF ：

解法2

證明三角形全等.因?yàn)?AB=AC ，所以 ∠ABC =∠ACB .由于 BE，CF 分別是 AC，AB 邊上的高，所以 ∠BFC=∠CEB=90^°， .根據(jù)角角邊定理，可判定 ΔBFC?ΔCEB .全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，所以BE=CF .

點(diǎn)評(píng)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生掌握多樣解題方法、拓寬思路對(duì)提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng)至關(guān)

重要.

2.2.2 逆向思維

例如在\"方程與不等式”教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)如下問(wèn)題：已知方程 x²-5x+6=0 的解為 x=2 和 x=3 ，請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)實(shí)際問(wèn)題背景，使得該方程的解具有實(shí)際意義.

學(xué)生可以構(gòu)造這樣的問(wèn)題：一個(gè)矩形花園，它的長(zhǎng)比寬多1米，面積為6平方米，求花園的長(zhǎng)和寬.設(shè)花園的寬為 x 米，則長(zhǎng)為 （x+1） 米，根據(jù)矩形面積公式可列出方程 x（x+1）=6 ，整理得 x²+x- 6=0 ，因式分解為 （x-2）（x+3）=0 ，解得 x=2 或x=-3 （舍去），所以花園的寬為2米，長(zhǎng)為3米.

點(diǎn)評(píng)通過(guò)這樣的逆向思維訓(xùn)練，學(xué)生從傳統(tǒng)的\"解題者”轉(zhuǎn)變?yōu)椤懊}者”，他們需要深入理解方程的本質(zhì)及方程的解與實(shí)際問(wèn)題之間的聯(lián)系.這種訓(xùn)練方式打破了學(xué)生常規(guī)的解題思維模式，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維和對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力.

2.3變式訓(xùn)練與錯(cuò)誤歸因，強(qiáng)化思維深度

2.3.1 階梯式變式

例如在“相似三角形”教學(xué)中，采用階梯式變式訓(xùn)練可以逐步提升學(xué)生的思維能力.教師可以設(shè)計(jì)分層問(wèn)題.

基礎(chǔ)題 已知 ΔABCΔDEF ， AB=4 ，DE=6 ，求相似比.

學(xué)生根據(jù)相似比的定義，直接得出相似比為 這道題主要考查學(xué)生對(duì)相似比基本概念的掌握.

提高題若 ΔABC 的面積為12，求 ΔDEF 的面積.在掌握相似比的基礎(chǔ)上，學(xué)生需要運(yùn)用相似三角形面積比等于相似比的平方這一性質(zhì)來(lái)解題.已知相似比為 ，則面積比為 .設(shè) ΔDEF 的面積為 s ，可得 ，解得 S=27 這道題進(jìn)一步考查學(xué)生對(duì)相似三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用能力.

拓展題若 _{D，E，F(xiàn)} 分別為 AB，AC，BC 的中點(diǎn)，探究 ΔDEF 與 ΔABC 的關(guān)系.此時(shí)，學(xué)生需要運(yùn)用三角形中位線定理，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.因?yàn)?_{D，E，F(xiàn)} 分別為三邊中點(diǎn)，所以 DE//BC，EF//AB，DF//AC ，且

，所以 ΔDEF ∞ΔABC ，相似比為 .同時(shí)，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，可得 ΔDEF 與 ΔABC 的面積比為 .這道題綜合考查了學(xué)生對(duì)相似三角形判定、性質(zhì)及三角形中位線定理的掌握，提升了學(xué)生的綜合思維能力.

通過(guò)這樣的階梯式變式訓(xùn)練，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，逐步引導(dǎo)學(xué)生深入理解相似三角形的相關(guān)知識(shí)，能強(qiáng)化學(xué)生的思維深度.

2.3.2 錯(cuò)誤分析

在教學(xué)過(guò)程中，收集學(xué)生的典型錯(cuò)誤并進(jìn)行針對(duì)性分析是提升學(xué)生思維能力的重要環(huán)節(jié).例如，在相似三角形學(xué)習(xí)中，學(xué)生常?；煜嗨票扰c面積比，出現(xiàn)類似錯(cuò)誤：誤認(rèn)為相似比為 2：3 ，則面積比也為2：3 ·

針對(duì)這一錯(cuò)誤，教師可以設(shè)計(jì)糾錯(cuò)練習(xí).首先，通過(guò)圖形分割的方法進(jìn)行講解.以兩個(gè)相似三角形為例，假設(shè)相似比為 2：3 ，將大三角形和小三角形分別分割成若干個(gè)小的全等三角形.可以發(fā)現(xiàn)，大三角形中小三角形的數(shù)量與小三角形中小三角形的數(shù)量之比為 g：4 ，即面積比為 4，而不是3：2.

其次，教師還可以通過(guò)公式推導(dǎo)加深學(xué)生的理解.根據(jù)相似三角形面積公式 為底邊長(zhǎng)， h 為這條底邊對(duì)應(yīng)的高），設(shè)兩個(gè)相似三角形的相似比為 k ，對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度分別為 a₁，a₂ 高分別為h₁，h₂ ，因?yàn)橄嗨迫切螌?duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)高也成比例，且比例都為 k ，即 .那么兩個(gè)相似三角形的面積比為

2.4聯(lián)系實(shí)際應(yīng)用，激發(fā)創(chuàng)新思維

例如在\"統(tǒng)計(jì)與概率”單元中，教師可以設(shè)計(jì)如下探究活動(dòng)：

任務(wù) 調(diào)查班級(jí)同學(xué)的每日運(yùn)動(dòng)時(shí)間，繪制頻數(shù)分布直方圖，并分析運(yùn)動(dòng)時(shí)間與數(shù)學(xué)成績(jī)的相關(guān)性.要求學(xué)生自主設(shè)計(jì)調(diào)查方案，包括確定調(diào)查對(duì)象、選擇調(diào)查方法（如問(wèn)卷調(diào)查、實(shí)地訪談等）、設(shè)計(jì)調(diào)查問(wèn)題等.

在分析運(yùn)動(dòng)時(shí)間與數(shù)學(xué)成績(jī)的相關(guān)性時(shí)，學(xué)生可以運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法，如計(jì)算相關(guān)系數(shù)、繪制散點(diǎn)圖等.例如，學(xué)生可以將運(yùn)動(dòng)時(shí)間作為橫坐標(biāo)，數(shù)學(xué)成績(jī)作為縱坐標(biāo)，繪制散點(diǎn)圖.如果散點(diǎn)圖呈現(xiàn)出某種趨勢(shì)，如隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間的增加，數(shù)學(xué)成績(jī)有上升的趨勢(shì)，那么可以初步判斷運(yùn)動(dòng)時(shí)間與數(shù)學(xué)成績(jī)之間存在正相關(guān)關(guān)系；反之，如果散點(diǎn)圖沒有明顯趨勢(shì)，則可能說(shuō)明兩者之間相關(guān)性較弱或無(wú)相關(guān)性.

最后，學(xué)生根據(jù)分析結(jié)果提出合理化建議，如鼓勵(lì)同學(xué)們適當(dāng)增加運(yùn)動(dòng)時(shí)間，以提高學(xué)習(xí)效率和數(shù)學(xué)成績(jī)等.

通過(guò)這樣的實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生不僅在數(shù)據(jù)處理能力上得到有效鍛煉，同時(shí)還掌握了運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題的方法.這種體驗(yàn)?zāi)軜O大地激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與探究熱情，助力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維與實(shí)踐能力.

3結(jié)語(yǔ)

通過(guò)“打開思路”的解題方法實(shí)踐，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步從被動(dòng)接受轉(zhuǎn)向主動(dòng)探索，解題過(guò)程更具創(chuàng)造性與靈活性.然而，教學(xué)實(shí)踐也反映出一些需要改進(jìn)的方面.首先，部分學(xué)生對(duì)多角度解題方法的適應(yīng)存在差異，尤其是在逆向思維和綜合性問(wèn)題解決方面，需要更多的個(gè)性化指導(dǎo).其次，課堂時(shí)間有限，如何在保證基礎(chǔ)知識(shí)掌握的同時(shí)，有效融入拓展訓(xùn)練，仍需進(jìn)一步優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì).未來(lái)教學(xué)中，應(yīng)進(jìn)一步整合信息技術(shù)資源，同時(shí)加強(qiáng)與其他學(xué)科教師的合作，設(shè)計(jì)更多貼近生活的數(shù)學(xué)應(yīng)用案例，使學(xué)生在真實(shí)情境中深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，持續(xù)激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣與探索精神.

參考文獻(xiàn)：

[1]李繼濤.“再創(chuàng)造”思想下的高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)[J]中學(xué)課程輔導(dǎo)，2025（9）：33-35.

[2]馬富平.探究混合式教學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)，2025（9）：87-89.