形狀記憶合金結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法

中圖分類號： TH122 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Topology optimization design method of shape memory alloy structure

CHEN Shitong， DING Xiaohong， XIONG Min （SchoolofMechanical Engineering， UniversityofShanghai for Scienceand TechnologyShanghai 2ooo93，China）

Abstract： Based on the superelastic properties exhibited by shape memory alloy， a cosine type constitutive model and a solid isotropic material penalty model were combined to describe the characteristics of shape memory alloy. A material interpolation function was established and a variable density topology optimization method was used to achieve structural topology optimization design considering the nonlinearity of shape memory alloy. The proposed method was applied to design the typical two-dimensional and three-dimensional structures. Static analysis and martensitic transformation evolution analysis were used to analysis the structure obtained by the proposed optimization method.

The results show that the structure optimized by the proposed method has beter mechanical properties compared to the traditional one. In static analysis， the maximum internal stress decreases by 19.57% and the maximum displacement decreases by 31.03% . In the analysis of martensitic transformation evolution， the maximum volume fraction of martensite at the end of loading decreases by 20.27% . The proposed optimization design method results in the even overal stress distribution within the structure， less prone to local stress concentration， and less deformation caused by martensitic transformation.

Keywords： shape memory aloy; topology optimization; structure design; material nonlinearity; Martensitic transformation evolution

形狀記憶合金作為一種新型的智能材料，在航空航天、生物醫(yī)療等領(lǐng)域都取得了廣泛的應(yīng)用。與不銹鋼、鑄鐵等傳統(tǒng)的線彈性金屬材料相比，形狀記憶合金的顯著特性是在外部溫度和力學(xué)刺激下發(fā)生奧氏體相和馬氏體相的無擴(kuò)散固態(tài)相變。這種相變往往伴隨著高達(dá) 6%～8% 的可恢復(fù)彈性形變以及材料屬性的變化，這類非線性材料特性通常被稱為形狀記憶效應(yīng)或超彈性[1]。鑒于這一獨(dú)特的材料性質(zhì)，形狀記憶合金被廣泛應(yīng)用于多個領(lǐng)域。王奇等[2將形狀記憶合金絲組合布置在機(jī)翼后緣上下關(guān)節(jié)鉸鏈處，通過加熱觸發(fā)形狀記憶效應(yīng)，帶動鉸鏈關(guān)節(jié)部分實現(xiàn)機(jī)翼后緣結(jié)構(gòu)的偏轉(zhuǎn)，設(shè)計了機(jī)翼后緣的智能可控變形結(jié)構(gòu)。戴剋戎等[3使用鎳鈦基形狀記憶合金制作了骨折環(huán)抱器，這種環(huán)抱器利用形狀記憶效應(yīng)，使環(huán)抱臂變形并抱緊骨斷端兩側(cè)，實現(xiàn)了對斷骨的固定。Boroschek等[4利用形狀記憶合金受力學(xué)刺激發(fā)生超彈性變形時會消耗大量能量的滯回特性，制作了形狀記憶合金阻尼器，將形狀記憶合金絲嵌人到剛性框架結(jié)構(gòu)中，并引入振動臺進(jìn)行測試。結(jié)果表明，相比原始框架結(jié)構(gòu)，帶阻尼結(jié)構(gòu)的峰值相對位移減少了 30%～60% ，峰值加速度減少了近 58% 。

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計指通過改變結(jié)構(gòu)的幾何尺寸、形狀或排列以及材料分布等方式，改善結(jié)構(gòu)在載荷工況下的負(fù)載表現(xiàn)，從而提升結(jié)構(gòu)性能的一種設(shè)計方法[5]。常見的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法有尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化、拓?fù)鋬?yōu)化等。結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計通過結(jié)合實際工況，可以顯著改善結(jié)構(gòu)在工作狀態(tài)下的承載效能，進(jìn)一步提升零件及材料在實際應(yīng)用狀態(tài)下的性能。目前，該類優(yōu)化設(shè)計方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于航空航天、生物醫(yī)療、機(jī)械制造領(lǐng)域。Al-Tamimi等基于變密度法，對長骨骨板在3種不同受力情況下的固定結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。王小華等基于模態(tài)分析結(jié)果對離心式壓縮機(jī)底座進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，在保證強(qiáng)度、剛度要求的前提下使底座減重 30% ，取得了良好的輕量化設(shè)計效果。肖密等[提出一種基于各向異性材料插值的點陣散熱結(jié)構(gòu)跨尺度拓?fù)鋬?yōu)化方法，通過考慮最小化平均溫度、最小化溫差、最小化最高溫度3類典型熱學(xué)性能指標(biāo)，開展跨尺度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，結(jié)果表明，優(yōu)化結(jié)構(gòu)具有良好的熱學(xué)性能。但由于形狀記憶合金的復(fù)雜非線性特性，目前，針對這種材料的拓?fù)鋬?yōu)化方法研究仍處于初級階段。

在考慮形狀記憶合金超彈性材料特性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中，需要選取合適的本構(gòu)模型來描述材料特性。相關(guān)學(xué)者對形狀記憶合金的材料特性進(jìn)行了大量研究，結(jié)合材料實驗及數(shù)學(xué)理論計算等多種方法，建立了多種描述其在不同工況下的宏觀、細(xì)觀以及介觀本構(gòu)模型。Thamburaja等[]基于晶體塑性滑移理論建立了單晶模型，分析了形狀記憶合金相變過程中馬氏體重定向現(xiàn)象。張揚(yáng)[]通過實驗觀察，發(fā)現(xiàn)鎳鈦合金在馬氏體相變時具有層狀微結(jié)構(gòu)，并基于此現(xiàn)象構(gòu)建了馬氏體相變的鎳鈦合金單晶體和多晶體的細(xì)觀力學(xué)本構(gòu)模型。Auricchio 等[1]基于廣義塑性原理，引人Drucker-Prager加載函數(shù)，得到馬氏體體積分?jǐn)?shù)變化規(guī)律及增量型應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，進(jìn)而建立了馬氏體體積分?jǐn)?shù)與外力、溫度之間的本構(gòu)關(guān)系，用于計算超彈性和單程記憶效應(yīng)。Kan等[12]綜合考慮形狀記憶合金相變過程中的馬氏體取向過程和殘余應(yīng)變的累積，以及兩相中的塑性變形過程和相變誘發(fā)的塑性變形現(xiàn)象，構(gòu)建了一個較為全面的熱力學(xué)耦合本構(gòu)模型，并使用該模型模擬了形狀記憶合金彈簧在循環(huán)固態(tài)制冷過程中的彈熱性能演化特征。在眾多本構(gòu)模型中，宏觀唯象模型因其計算過程簡單、參數(shù)較少、與實際應(yīng)用環(huán)境下的載荷工況結(jié)合較緊密的特點，在實際工程設(shè)計中取得了較多的應(yīng)用[13]。

本文基于描述鎳鈦基形狀記憶合金非線性材料特性的余弦型本構(gòu)模型，結(jié)合變密度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法，通過改進(jìn)優(yōu)化迭代過程中的材料插值模型，實現(xiàn)考慮形狀記憶合金材料非線性的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，并將其應(yīng)用于典型的二維和三維結(jié)構(gòu)設(shè)計中。

1 設(shè)計方法

1.1 形狀記憶合金本構(gòu)模型

為了研究外部力學(xué)刺激和溫度變化對形狀記憶合金材料特性的影響，王振清等[14]通過示差掃描熱量（differential scanningcalorimetry，DSC）實驗得到了形狀記憶合金馬氏體體積分?jǐn)?shù)與相變自由能之間的微分關(guān)系，并通過對Tanaka[15增量型本構(gòu)方程的推導(dǎo)，得到了以余弦函數(shù)描述的全量型本構(gòu)方程。在馬氏體正相變過程中，馬氏體體積分?jǐn)?shù) ξ 與環(huán)境溫度 T_? 材料應(yīng)力 σ 之間的函數(shù)關(guān)系為

在馬氏體逆相變過程中， ξ 與 之間的函數(shù)關(guān)系為

式中： ξ_AM0 為初始馬氏體體積分?jǐn)?shù)； T_ms，T_mp，T_mf 分別為馬氏體相變的起始溫度、峰值溫度和結(jié)束溫度； T_as 、 T_ap 、 T_af 分別為奧氏體相變的起始溫度、峰值溫度和結(jié)束溫度； C_m 1 C_a 為形狀記憶合金材料的特性常數(shù)； m₁ 、 m₂ 、 a₁ 、 a₂ 為與材料相變溫度有關(guān)的常數(shù)。

在一定溫度下，結(jié)合材料加載和卸載時單元內(nèi)部應(yīng)力大小，采用式（1）和式（2）即可獲得材料當(dāng)前狀態(tài)下的馬氏體體積分?jǐn)?shù)，進(jìn)而可求得材料在當(dāng)前狀態(tài)下的彈性模量：

E=[（1-ξ）E_a^-1+ξE_m^-1]^-1

式中： E 為材料當(dāng)前彈性模量； E_a 為材料奧氏體相的彈性模量； E_m 為材料馬氏體相的彈性模量。

1.2 材料插值模型

固體各向同性材料懲罰（solid isotropicmaterialwithpenalization，SIMP）模型是一種被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型[1d]。該模型基于有限元理論，將連續(xù)體結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為大量離散單元的集合，設(shè)定每個單元內(nèi)部的材料密度為常數(shù)，通過指數(shù)函數(shù)構(gòu)建單元的材料密度與彈性模量之間的插值關(guān)系。SIMP模型主要與變密度優(yōu)化設(shè)計方法結(jié)合使用來實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。該方法把離散單元的材料密度 x_i 作為設(shè)計變量，通過SIMP模型計算得到 x_i ，并以此來判斷單元材料的有無：當(dāng) x_i=1 時，表示該處單元為實體單元；當(dāng)x_i=0 時，表示該處單元無材料。之后，通過優(yōu)化迭代算法完成對結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計[17]。

假設(shè)環(huán)境溫度 T 保持在奧氏體轉(zhuǎn)變結(jié)束溫度T_af 以上，材料各轉(zhuǎn)變起始與結(jié)束溫度不參與插值，則基于SIMP模型的插值函數(shù)可以表示為

式中： e_ai?σ_asi 、 σ_afi 分別為實體單元奧氏體的彈性模量、轉(zhuǎn)變起始應(yīng)力和轉(zhuǎn)變結(jié)束應(yīng)力；emi、σmsi＼`σ_mfi 分別為實體單元馬氏體的彈性模量、轉(zhuǎn)變起始應(yīng)力和轉(zhuǎn)變結(jié)束應(yīng)力； E_min 、 σ_min 為2個值極小但不為0的參量，可以防止有限元分析計算過程中出現(xiàn)材料彈性模量為0時所導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)剛度矩陣奇異； P 為懲罰因子，引入 P 的目的是為了使x_i 的最終取值更接近0或1，以便得到清晰的優(yōu)化結(jié)構(gòu)。

1.3 拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法

1.3.1優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)學(xué)模型為

min c

式中： c 為優(yōu)化結(jié)構(gòu)的柔度，是優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)； 分別為結(jié)構(gòu)整體的位移矩陣和剛度矩陣； u_i 人 k_i 分別為單元的位移矩陣和剛度矩陣；V₀ 表示結(jié)構(gòu)初始體積； f_v 表示優(yōu)化結(jié)構(gòu)的體積分?jǐn)?shù)約束， 0vlt;1 ； F 為結(jié)構(gòu)整體受到的外載荷力矩陣。該優(yōu)化設(shè)計流程以結(jié)構(gòu)的最小柔度作為優(yōu)化設(shè)計目標(biāo)。

1.3.2靈敏度分析

在每個優(yōu)化迭代步對結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析，計算結(jié)構(gòu)柔度 Ψ_c ，再通過求導(dǎo)得到靈敏度。在單個單元上，目標(biāo)函數(shù) Ψ_c 對于設(shè)計變量 x_i 的靈敏度可以表示為

根據(jù)方程 F=KU ，兩邊同時對 x_i 進(jìn)行求導(dǎo)，移項得：

將式（7）代入式（6）中，得到：

體積約束 V 關(guān)于 x_i 的靈敏度為

將單個單元計算得到的靈敏度加權(quán)疊加，進(jìn)行平均計算，得到目標(biāo)函數(shù)對 x_i 的靈敏度過濾公式：

式中， 為卷積算子，其計算公式為

式中： dist（i，j） 表示單元 i，j 中心的距離； N 為離

散單元數(shù)目； r_min 為過濾半徑，本文最小過濾半徑取單元長度的2倍。

1.3.3優(yōu)化設(shè)計流程

在拓?fù)鋬?yōu)化迭代過程中，考慮到形狀記憶合金的性質(zhì)會發(fā)生非線性變化，引入如式（4）所示的插值函數(shù)，對單元關(guān)鍵力學(xué)性能指標(biāo)進(jìn)行插值，并借助有限元分析方法得到單元內(nèi)部應(yīng)力。再以單元內(nèi)部應(yīng)力作為參量，借助余弦型本構(gòu)模型方程，對結(jié)構(gòu)內(nèi)部各單元彈性模量進(jìn)行同步迭代，拓?fù)鋬?yōu)化迭代流程如圖1所示，形狀記憶合金的材料參數(shù)如表1所示[18]。在不考慮形狀記憶合金材料非線性的傳統(tǒng)線彈性插值拓?fù)鋬?yōu)化方法中，假設(shè)彈性模量為 55000MPa ，泊松比為 v=0.3 。

2 優(yōu)化設(shè)計算例

為了驗證本文提出的優(yōu)化設(shè)計方法的有效性，以二維懸臂梁和三維支撐結(jié)構(gòu)為例，進(jìn)行結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，并與傳統(tǒng)的線彈性材料優(yōu)化設(shè)計方法進(jìn)行比較。

2.1 二維懸臂梁

優(yōu)化設(shè)計力學(xué)模型為左端固定、右端加載100N 豎直向下集中力 F 的懸臂梁結(jié)構(gòu)，將結(jié)構(gòu)離散為 80×40 個四邊形單元，體積分?jǐn)?shù) f_v=0.5 ，優(yōu)化過程經(jīng)280步迭代收斂。對2種方法所得的結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力分析，優(yōu)化結(jié)構(gòu)及應(yīng)力分布情況如圖2所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，本文方法得到的結(jié)構(gòu)低應(yīng)力區(qū)（深藍(lán)色區(qū)域）面積較少，低應(yīng)力區(qū)和高應(yīng)力區(qū)之間的應(yīng)力差值較小，應(yīng)力在結(jié)構(gòu)內(nèi)部分布得更均勻。

有關(guān)應(yīng)力云圖的關(guān)鍵指標(biāo)對比如表2所示。結(jié)果表明，本文方法相比傳統(tǒng)方法，所得結(jié)構(gòu)整體剛度有所下降，但是結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力較小、最小應(yīng)力較大，結(jié)構(gòu)內(nèi)部整體應(yīng)力數(shù)值較大。這是由于形狀記憶合金的材料特性導(dǎo)致拓?fù)鋬?yōu)化的迭代初期階段結(jié)構(gòu)內(nèi)部出現(xiàn)了大量呈現(xiàn)材料非線性的中間密度單元。這些中間密度單元大部分會因為剛度較低被優(yōu)化算法刪除，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體剛度偏低。在后續(xù)的迭代步中，為了滿足目標(biāo)函數(shù)及保證整體結(jié)構(gòu)的剛度，會在結(jié)構(gòu)右端生長出支撐桿以補(bǔ)強(qiáng)結(jié)構(gòu)剛度。如果忽略形狀記憶合金的材料非線性，以針對傳統(tǒng)線彈性材料的優(yōu)化方法來對形狀記憶合金結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，則在優(yōu)化過程中的非線性中間密度單元會被忽略，從而導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)構(gòu)剛度偏高，同時，在結(jié)構(gòu)剛度較大區(qū)域出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象。

優(yōu)化迭代歷程如圖3所示：在迭代初期，目標(biāo)函數(shù)變化存在波動；在迭代后期，迭代過程趨于平穩(wěn)。

2.2 三維支撐結(jié)構(gòu)

將本文方法進(jìn)一步應(yīng)用于三維支撐結(jié)構(gòu)，設(shè)計模型如圖4所示。結(jié)構(gòu)上表面受到 20MPa 的均布面載荷，下部兩腳處底面完全固定，上部受載面及以下 1mm 厚度為非設(shè)計域，其余部分為設(shè)計域。使用Abaqus軟件中的UMAT材料子程序，實現(xiàn)對形狀記憶合金非線性材料特性本構(gòu)方程在有限元分析和拓?fù)鋬?yōu)化迭代過程中的彈性模量插值過程的函數(shù)描述；使用Abaqus軟件中的Tosca拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計模塊完成優(yōu)化設(shè)計迭代流程。設(shè)置體積分?jǐn)?shù) f_v=0.2 ，采用兩種方法得到的設(shè)計結(jié)果及迭代曲線如圖5所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，兩種優(yōu)化方法所得到的橋梁幾何構(gòu)型類似。本文方法獲得的結(jié)構(gòu)在橋梁拱形支撐的中心部位有較密集的分支支撐，受載面邊緣部位通過一對較粗的支撐桿與主體拱形支撐連接；而傳統(tǒng)線彈性材料優(yōu)化方法獲得的結(jié)構(gòu)支撐桿分布較為平均，受載面中心部位的支撐桿分布較為稀疏，且在受載面邊緣部位分出一對額外支撐桿，其延伸到底部約束面以加固支撐。比較2種優(yōu)化方法的優(yōu)化迭代歷程，可以發(fā)現(xiàn)，在本文方法的優(yōu)化迭代過程中，結(jié)構(gòu)的體積在迭代初期出現(xiàn)了快速上升、快速下降、短暫波動、平穩(wěn)上升的過程。這是由于結(jié)構(gòu)內(nèi)部在受載時，非線性中間密度單元剛度較低，導(dǎo)致局部結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定。隨著迭代流程的進(jìn)行，低剛度的非線性中間密度單元經(jīng)過優(yōu)化算法的過濾被消除，結(jié)構(gòu)的成型過程趨于穩(wěn)定。在傳統(tǒng)方法迭代過程中，由于材料為線彈性，迭代過程不存在剛度下降的非線性中間密度單元，因此，整體迭代流程較為平穩(wěn)，體積平穩(wěn)增加至約束范圍。導(dǎo)出片體模型，并將其導(dǎo)入Solidworks軟件，再使用曲面拼接、實體填充以及拉伸、切除等功能，對設(shè)計結(jié)果進(jìn)行工程化建模，結(jié)果如圖6所示。

2.3 優(yōu)化結(jié)果分析與對比

2.3.1靜力學(xué)性能分析

以圖6所示的三維結(jié)構(gòu)為例，比較2種優(yōu)化結(jié)構(gòu)在外部載荷下的力學(xué)響應(yīng)差異。使用Abaqus軟件，頂面施加 20MPa 均布載荷，底部兩腳完全固定，對分析模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分。在相同計算資源消耗下，六面體網(wǎng)格的有限元分析精度和準(zhǔn)確度均高于四面體網(wǎng)格。為了保證靜力分析的準(zhǔn)確度和后續(xù)相變演化過程仿真的計算效率，將優(yōu)化設(shè)計結(jié)果的工程化模型用 1mm×lmm×lmm 的六面體C3D8單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，如圖7所示。其中，本文方法、傳統(tǒng)方法所得結(jié)構(gòu)的離散六面體實體單元個數(shù)分別為7542個和7950個。2種結(jié)構(gòu)在 20MPa 外載下的應(yīng)力云圖如圖8所示，其中，本文方法所得結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布更加均勻，整個拱形支撐下表面的應(yīng)力在 250～300MPa ，整體平均應(yīng)力水平較高，未出現(xiàn)局部高應(yīng)力區(qū)；而傳統(tǒng)方法所得結(jié)構(gòu)的應(yīng)力集中分布在拱形支撐下半部分，拱形支撐和支撐桿連接處出現(xiàn)局部應(yīng)力集中，應(yīng)力達(dá)到 400MPa 以上，而拱形支撐上半部分應(yīng)力較低，低于 150MPa 。位移云圖如圖9所示，2種結(jié)構(gòu)的主要變形區(qū)域都位于受載面中心區(qū)域，本文方法所得結(jié)構(gòu)在受載面中段的平均位移較高，但未出現(xiàn)局部大位移區(qū)域；而傳統(tǒng)方法所得結(jié)構(gòu)雖然大部分區(qū)域位移數(shù)值較低，但是在受載面中心區(qū)域出現(xiàn)了 0.2mm 以上的局部大變形（云圖中的紅色部分）。提取各單元的應(yīng)力和位移數(shù)據(jù)進(jìn)行靜力學(xué)分析，結(jié)果如表3所示。

通過靜力學(xué)分析可知，相比傳統(tǒng)方法，本文方法所得結(jié)構(gòu)在受載時的最大應(yīng)力下降 19.57% 最大位移下降 31.03% ，平均應(yīng)力和平均位移則有小幅上升。這表明考慮形狀記憶合金的非線性后，優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)在應(yīng)對載荷的整體剛度上有所下降，但是結(jié)構(gòu)內(nèi)部應(yīng)力集中和局部大變形的情況有所減少，結(jié)構(gòu)整體應(yīng)力分布更加均勻。

2.3.2形狀記憶合金相變演化模式分析

為了進(jìn)一步研究2種優(yōu)化方法對形狀記憶合金的力學(xué)響應(yīng)，基于Python語言的Abaqus軟件二次開發(fā)子程序，對形狀記憶合金結(jié)構(gòu)在漸變外載荷下的相變過程進(jìn)行仿真，對比2種優(yōu)化結(jié)構(gòu)在 0～ 20MPa 頂部均布載荷下結(jié)構(gòu)內(nèi)部的馬氏體相變情況

采用漸進(jìn)迭代法，共100個迭代步，每個迭代步都在上一迭代步的基礎(chǔ)上對結(jié)構(gòu)受載區(qū)域額外增加 0.2MPa 的載荷。每次加載結(jié)束后，通過靜力分析讀取每個單元的應(yīng)力值，再利用前文所述余弦型本構(gòu)模型對每個單元當(dāng)前迭代步下的馬氏體體積分?jǐn)?shù) ξ 進(jìn)行計算。具體分析流程如圖10所示。

將2種優(yōu)化方法所得結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，將其導(dǎo)人Abaqus軟件中，并按照預(yù)先設(shè)置好的載荷施加方式添加載荷及約束條件，然后開始運(yùn)行子程序。運(yùn)行完畢后，得到2種結(jié)構(gòu)馬氏體體積分?jǐn)?shù)演化情況，如圖11和圖12所示。2種結(jié)構(gòu)的平均馬氏體體積分?jǐn)?shù)隨載荷增加的變化如圖13所示。在 20MPa 載荷下，2種結(jié)構(gòu)的平均馬氏體體積分?jǐn)?shù)如表4所示。

觀察馬氏體體積分?jǐn)?shù)的演化情況可以發(fā)現(xiàn)：本文方法所得結(jié)構(gòu)在載荷逐漸增大的過程中，馬氏體體積分?jǐn)?shù)增長速度顯著變慢；在同迭代步載荷下，馬氏體體積分?jǐn)?shù)相對較小。這表明在相同載荷下，本文方法所得結(jié)構(gòu)內(nèi)部達(dá)到馬氏體相變臨界應(yīng)力的單元數(shù)量較少，發(fā)生馬氏體相變的單元數(shù)量也較少。在最大載荷（ 20MPa， 時，該結(jié)構(gòu)平均馬氏體體積分?jǐn)?shù)比傳統(tǒng)方法所得結(jié)構(gòu)下降20.27% 。且在加載迭代的全過程內(nèi)，本文方法所得結(jié)構(gòu)內(nèi)部馬氏體體積分?jǐn)?shù)增長曲線較為平穩(wěn)，表明內(nèi)部應(yīng)力變化較為均勻；而傳統(tǒng)方法所得結(jié)構(gòu)在馬氏體體積分?jǐn)?shù)增長過程中會出現(xiàn)階躍現(xiàn)象，這表明在該載荷下該結(jié)構(gòu)內(nèi)部部分區(qū)域出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象。這些部位附近的應(yīng)力水平較高，馬氏體相變快速發(fā)生。

從相變發(fā)生分布情況來看，本文方法所得結(jié)構(gòu)發(fā)生相變的單元先集中出現(xiàn)在支撐結(jié)構(gòu)上表面加載平面中間部位，應(yīng)力傳遞遵循自上而下的規(guī)律。到第100個迭代步，即載荷為 20MPa 時，該結(jié)構(gòu)發(fā)生馬氏體相變的單元均勻分布在橋梁拱形支撐區(qū)域，且發(fā)生相變的單元馬氏體體積分?jǐn)?shù)為0.5～0.8 。傳統(tǒng)方法所得結(jié)構(gòu)發(fā)生相變的單元集中出現(xiàn)在橋梁拱形支撐腳部區(qū)域，應(yīng)力傳遞自下而上，且單元相變演化速度較快。這表明在載荷較大時，該結(jié)構(gòu)拱形支撐腳部位開始出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，局部區(qū)域快速發(fā)生相變，并由于形狀記憶合金的超彈性特性伴隨著較大的相變變形，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定。

3結(jié)論

提出了一種基于SIMP模型和形狀記憶合金余弦型本構(gòu)模型的非線性材料插值拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法。首先，通過余弦模型對形狀記憶合金材料非線性特性進(jìn)行描述，對馬氏體和奧氏體彈性模量以及4個轉(zhuǎn)變應(yīng)力進(jìn)行插值，建立密度設(shè)計變量與材料屬性之間的對應(yīng)關(guān)系。之后，通過二維和三維結(jié)構(gòu)優(yōu)化算例，與忽略材料非線性條件下獲得的優(yōu)化結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力力學(xué)分析對比以及基于形狀記憶合金超彈性的相變演化過程對比。研究表明：考慮了形狀記憶合金非線性優(yōu)化方法所得結(jié)構(gòu)對應(yīng)力誘發(fā)的馬氏體相變有更優(yōu)的抵抗性能。由于馬氏體彈性模量低于奧氏體，相變過程對于結(jié)構(gòu)而言是一種“軟化過程”。將形狀記憶合金的材料非線性納入剛度最大化為目標(biāo)函數(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化流程后，優(yōu)化算法會通過改進(jìn)結(jié)構(gòu)內(nèi)部應(yīng)力分布的方式抵消“軟化過程”的影響，以提高結(jié)構(gòu)剛度，滿足目標(biāo)函數(shù)?！皟?yōu)化應(yīng)力分布”體現(xiàn)在分析結(jié)果上，即減少了會觸發(fā)相變的高應(yīng)力區(qū)域，弱化應(yīng)力集中情況，將高應(yīng)力區(qū)域的應(yīng)力分流到低應(yīng)力區(qū)域，形成大量應(yīng)力水平持平或低于馬氏體相變臨界點的中間應(yīng)力區(qū)域，這種優(yōu)化結(jié)構(gòu)整體剛度低于線彈性方法優(yōu)化結(jié)構(gòu)，但是減少了局部高應(yīng)力區(qū)和應(yīng)力集中現(xiàn)象，避免了應(yīng)力誘發(fā)馬氏體相變帶來的局部大變形，使結(jié)構(gòu)更加穩(wěn)定，不易發(fā)生相變。這種優(yōu)化設(shè)計方法可以應(yīng)用在用形狀記憶合金作為阻尼器的元件上，提升其阻尼性能，如建筑物阻尼器和減震彈簧等，也可以用于形狀記憶合金材料的承載部件上，例如心腦血管支架，以增加其在血流沖擊和血管搏動循環(huán)載荷下的使用壽命。

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（編輯：董偉）