寫給物理世界的情書

如果沒有數(shù)學(xué)，人類還在黑暗世界里摸索，匍匐前行而不能真正站立起來。

——題記

在都柏林圣三一學(xué)院的草坪上，某片三葉草正在晨露中舒展葉片。葉脈分叉的角度符合斐波那契數(shù)列，表面積隨光照變化的曲線暗含微分奧秘，而它昨夜生長的0.2毫米，正是積分在生命中的具象表達(dá)。這株卑微的植物，恰是數(shù)學(xué)寫給世界的微型情書。

第一章：萬物皆有歌 變量與函數(shù)的呢喃

清晨六點的杭州龍翔橋菜場，王阿姨的電子秤正在上演數(shù)學(xué)戲?。寒?dāng)番茄堆疊的高度增加1厘米（自變量x），顯示屏上的金額（因變量y）就跳動2.35元。轉(zhuǎn)角處海鮮攤的氧氣泵，出氣量隨價格波動曲線調(diào)整一這些流動的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，數(shù)學(xué)家稱之為函數(shù)。

在舟山漁場，諺語里藏著函數(shù)智慧：“七分潮水三分網(wǎng)，月圓下網(wǎng)魚滿艙。\"漁民們將月相（ X₁"）、潮汐（ X₂"）漁網(wǎng)密度（ X₃"）構(gòu)建成捕獲量（Y）的函數(shù)，這種經(jīng)驗公式比笛卡爾早誕生了十個世紀(jì)。

青銅器上的函數(shù)密碼

公元前1600年的商朝青銅觚，其鑄造溫度（x）與錫鉛比例 （y） ）的函數(shù)關(guān)系，被銘刻在安陽殷墟的甲骨文中。當(dāng)工匠將爐溫控制在950±20^°C 時，青銅器表面就會浮現(xiàn)神秘的雷紋一這可能是人類最早自覺運用的分段函數(shù)。

無獨有偶，在尼羅河畔的底比斯卡納克神廟，建筑師用繩子長度（L）與日影長度 （S） 的正弦函數(shù)關(guān)系確定立柱角度。當(dāng) _L=12 腕尺時， S=1/2L 的冬日正午，便是祭祀的最佳時刻。

因果迷霧中的函數(shù)羅盤

1854年的倫敦寬街，約翰·斯諾醫(yī)生面對霍亂疫情陷入函數(shù)迷局（1854年倫敦霍亂事件）：究竟是貧民窟密度（ X₁ ）地下水污染（ X₂ ），還是職業(yè)特征（ X₃ ）主導(dǎo)了疫情傳播（Y）？他在地圖上用黑點標(biāo)記死亡案例，意外發(fā)現(xiàn)了病源水泵一—這個流行病學(xué)史上的經(jīng)典時刻，正是多元函數(shù)分析的前哨戰(zhàn)。

今天的云南哈尼梯田，農(nóng)民王德才在筆記本上記錄著：降雨量（ X₁ ）、水稻品種（ X₂ ）施肥時機（ X₃ ）共同影響產(chǎn)量 。當(dāng)他用手機APP查看三維函數(shù)曲面圖時，古老的農(nóng)業(yè)智慧正在與大數(shù)據(jù)發(fā)生量子糾纏。

第二章：等號連接的世界 方程的創(chuàng)世紀(jì)

在良渚古城遺址出土的陶罐上，先民用等距螺旋紋實現(xiàn)了最早的方程可視化：每個旋轉(zhuǎn)角度增加 15^° ，半徑擴大 倍，這暗含極坐標(biāo)方程 r=aθ 。而在美索不達(dá)米亞的泥板YBC7289泥板（現(xiàn)存耶魯大學(xué)）刻著 1.41421296，誤差僅0.00002096。這是人類求解方程 X²=2 的首次勝利。

方程進(jìn)化史

線性方程：古埃及《萊因德紙草書》第24題：“一堆的2/3及其1/2，總和是10”，實解 7xI 。

二次方程：公元9世紀(jì)，花拉子米在《代數(shù)學(xué)》中圖解 x²+10x=39 ：將方程轉(zhuǎn)化為邊長為（x+5） 的正方形，其面積為 39+25=64 。

三次方程：16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞與費羅的方程決斗，催生出虛數(shù)i這個“不可能的情人”。

微分方程：1687年牛頓用 t² ）描述蘋果下落，從此人類能用方程預(yù)言哈雷彗星歸期。

方程煉金術(shù)

2014年埃博拉疫情暴發(fā)時，數(shù)學(xué)家建立SEIR模型：

dS/dt=-βSI/N

dE/dt=βSI/N-σE

dI/dt=σE-γI

dR/dt=γI

通過調(diào)節(jié)接觸率 β 與隔離率 γ ，人類首次用方程構(gòu)筑防線。在剛果金的醫(yī)療帳篷里，這些微分方程化作疫苗注射器中的無形鎧甲。

第三章：幾何的羅曼史 坐標(biāo)系的告白

古代印加人的奇普繩結(jié)，用三維坐標(biāo)記錄羊駝數(shù)量：橫向表品種，縱向表年齡，繩結(jié)顏色表性別。而在蘇州留園，還遺留著明代工匠用“一池三山”的平面坐標(biāo)系，將太湖石（ _x，y ）與亭臺（ z ）構(gòu)成山水函數(shù) 。

1637年，病榻上的笛卡爾看著天花板爬行的蒼蠅，突然驚覺：若用相鄰墻角的垂直距離作為基準(zhǔn)（xy軸），蒼蠅每個瞬間的位置都可以用數(shù)字描述！這個靈感催生的坐標(biāo)系，讓幾何與代數(shù)開啟了長達(dá)三個世紀(jì)的蜜月。

線性之美的黃昏。18世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾用直線方程預(yù)測臺球軌跡。當(dāng)他試圖用 描述風(fēng)吹麥浪時，發(fā)現(xiàn)原來世界不存在極其簡單的線性關(guān)系，線性關(guān)系不過是粗淺的描述；現(xiàn)實世界充滿背叛線性的“不忠者”：

單擺運動的正弦曲線；

老鷹俯沖的拋物線；

葡萄酒在杯壁的懸鏈線…

這些非線性關(guān)系，最終在20世紀(jì)混沌理論中得到救贖：洛倫茲發(fā)現(xiàn)，蝴蝶翅膀振動 與颶風(fēng)形成 （y） 的關(guān)系，是三維相空間中的奇異吸引子。

高維愛情故事。1854年，黎曼在就職演講中描繪四維空間：“正如盲人理解色彩，我們可通過數(shù)學(xué)玲聽高維世界的歌聲。\"如今，北京正負(fù)電子對撞機里，粒子軌跡在六維相空間中形成拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)；上海地鐵調(diào)度中心的時空坐標(biāo)系里，每班列車都是四維流形上的參數(shù)曲線。

第四章：剎那與永恒 微積分的時光魔法

公元前3世紀(jì)，敘拉古城的海灘上，阿基來德用窮竭法計算拋物線面積：他將弓形分割成無限多個三角形，這些銀色的數(shù)學(xué)碎片最終拼出 4/3Δ 的永恒答案。這方法如同用無數(shù)瞬間的切片腌制時光，預(yù)告了積分學(xué)的誕生。

牛頓與萊布尼茨的微積分之戰(zhàn)。1666年牛頓用“流數(shù)術(shù)\"描述蘋果速度：若位移 ，則瞬時速度 （即ds/dt）。與此同時，萊布尼茨在漢諾威發(fā)明微分符號dy/dx，將切線斜率轉(zhuǎn)化為兩個無窮小的比值。這場微積分發(fā)明權(quán)的爭奪，最終讓人類獲得兩套解讀宇宙的語法。

無窮思想進(jìn)人數(shù)學(xué)，是劃時代的數(shù)學(xué)思想革命。標(biāo)志著現(xiàn)代科學(xué)將一路高歌猛進(jìn)。

黑洞邊緣的重構(gòu)符號。2019年視界望遠(yuǎn)鏡拍攝的M87黑洞照片，本質(zhì)上是愛因斯坦場方程的解：

通過數(shù)值相對論進(jìn)行時空積分，數(shù)學(xué)家將5000萬億字節(jié)的射電信號，重構(gòu)成那個改變世界的橙色光環(huán)。

第五章：數(shù)學(xué)情書折疊的維度

拓?fù)鋵W(xué)的咖啡杯定理。在普林斯頓高等研究院的下午茶時間，數(shù)學(xué)家們常舉著咖啡杯說：“這個曲面與甜甜圈拓?fù)涞葍r?！币驗閮烧叨加星抑挥幸粋€洞（虧格為1）。這種思想正在解碼DNA超螺旋結(jié)構(gòu)：當(dāng)拓?fù)洚悩?gòu)酶切開DNA雙鏈時，就是在改變分子的“數(shù)學(xué)虧格”。數(shù)學(xué)進(jìn)入生物學(xué)，將引發(fā)深刻的科學(xué)革命。

概率論的命運骰子。1654年，帕斯卡與費馬通信討論擲骰子問題，概率論由此誕生。三百年后，圖靈用馬爾可夫鏈破解恩尼格瑪密碼，每個字母的出現(xiàn)概率都成為扭轉(zhuǎn)戰(zhàn)局的關(guān)鍵。如今，你的手機天氣預(yù)報中，4 60% 降雨概率\"實為5000個微分方程解的蒙特卡洛模擬。超級計算機因此而誕生。

數(shù)論的星空密碼。公元前300年，《幾何原本》記載了無窮多質(zhì)數(shù)的證明。1978年，RSA加密算法讓質(zhì)數(shù)成為數(shù)字時代的守門人。而在射電望遠(yuǎn)鏡接收的宇宙微波背景輻射中，某些溫度漲落頻率竟與黎曼函數(shù)的零點分布暗合一數(shù)學(xué)情書或許早已寫進(jìn)大爆炸的初始條件。

第六章：星塵間的數(shù)學(xué)回信

當(dāng)貴州天眼捕獲16萬光年外的脈沖信號，當(dāng)阿爾法折疊系統(tǒng)（AlphaFold）破解跨越2億年蛋白質(zhì)演化之謎，當(dāng)量子計算機在疊加態(tài)中搜尋最優(yōu)解——這既是人類對數(shù)學(xué)情書的回信，也是新的函數(shù)方程正在生成。

蘇州繡娘用針腳演繹傅里葉變換，將絲綢光澤轉(zhuǎn)化為瀕率譜；敦煌壁畫里的飛天飄帶，暗合空氣動力學(xué)的納維-斯托克斯方程；甚至那個小學(xué)生用圓規(guī)畫出的顫抖的圓，都在復(fù)平面上寫著 ）正多邊形逼近圓的故事。

從結(jié)繩記事的第一個算術(shù)結(jié)，到量子計算機的拓?fù)淞孔颖忍兀祟愑萌f年的光陰回復(fù)數(shù)學(xué)的情書。而宇宙始終在等待一一在超新星爆發(fā)的激波里，在深海熱泉口的RNA折疊中，在鳥類遷徙的導(dǎo)航算法間一一新的數(shù)學(xué)情詩正在永恒誕生。

后記：你身邊的數(shù)學(xué)情書

請打開手機天氣預(yù)報，那跳動的溫度曲線正是微分方程的解；凝望奶茶表面的同心圓漣漪，那是波動方程的二維投影；就連超市打折的“第二件半價”，都是分段函數(shù)的現(xiàn)實演繹。數(shù)學(xué)從不曾遠(yuǎn)離，它只是把情書藏在了生活褶皺中，等待你以好奇心的指尖輕輕展開。古希臘人認(rèn)為“萬物皆數(shù)”，我們今天理解為萬物皆可數(shù)字化；而數(shù)學(xué)史與科學(xué)史的愛情，證明了：萬物皆可為函數(shù)。

（作者系本刊特約撰稿人）

責(zé)編：小葉