遇見兩中點(diǎn) 構(gòu)造中位線

三角形中位線在解答幾何題中有著重要應(yīng)用，當(dāng)題中未明確給出中位線時，若能根據(jù)題目特點(diǎn)，巧妙添加輔助線構(gòu)造中位線，往往能快速找到解題思路，下面舉例介紹.

例如圖1，四邊形 ABCD 中， E，F(xiàn) 分別是 BC，CD 的中點(diǎn)，連接 AC，EF ，已知 ∠BAC=90^° .AB=AC=AD=5，CD=6 ，求 EF 的長.

分析：已知 E，F(xiàn) 是中點(diǎn)，則可聯(lián)想到三角形中位線，由此得到輔助線作法，即連接 BD ，構(gòu)造 ΔBDC ，則 EF 為 ΔBDC 的中位線.根據(jù)三角形中位線定理，有 ，則只需求出 BD 即可.

解：連接 BD ，過 D 作 DH⊥AB ，交 BA 延長線于 H ，作 DG⊥AC 于 G ，如圖2. ?∠BAC=90^°，∴∠CAH=90^° ，：四邊形AGDH是矩形， ∴DH=AG 設(shè) AG=x ，則 CG=5-x ·

. ?DG²=AD²-AG²=5²-x²，DG²=DC²-GC²=6²-（5-x）²，

∴5²-x²=6²-（5-x）² ，解得

圖2： E，F(xiàn) 分別是 BC，CD 的中點(diǎn)，

圖2

點(diǎn)評：構(gòu)造中位線，借助三角形中位線定理將 EF 的長轉(zhuǎn)化為 BD 的長是解題關(guān)鍵，

分層作業(yè)

難度系數(shù)： 解題時間：20分鐘

1.如圖3，等邊三角形 ABC 的邊長為 _{4，D，E} 分別為 AB AC的中點(diǎn)，延長 BC 至點(diǎn) F ，使 ，連接 CD 和 EF ：

（1）求證： DE=CF

（2）求 EF 的長；

（3）求四邊形DEFC的面積.

2.如圖4，在 ΔABC 中，點(diǎn) D，E 分別是 AB，AC 的中點(diǎn)，點(diǎn) F 是 DE 上一點(diǎn)， ∠AFC= 90^°，BC=10，AC=6. 求 DF 的長.

3.如圖5，在 ΔABC 中，點(diǎn) M 是邊 BC 的中點(diǎn)， AD 平分 ∠BAC，BD⊥AD，BD 的延長線交 AC 于點(diǎn) E，AB=12，AC=20

（1）求證： BD=DE ；（2）求 DM 的長.

圖5

難度系數(shù)： 解題時間：10分鐘

4.如圖6，在四邊形ABCD中， AB=CD，E，F(xiàn) 分別是 BC，AD 的中點(diǎn)，連接 EF 并延長，分別與 BA，CD 的延長線交于點(diǎn) M，N ，則 ∠BME=∠CNE （不需證明）.

小明的思路是：在圖6中，連接 BD ，取 BD 的中點(diǎn) H ，連接 HE，HF ，根據(jù)三角形中位線定理和平行線性質(zhì)，可證得 ∠BME=∠CNE

問題：如圖7，在 ΔABC 中， ACgt;AB，D 點(diǎn)在 AC 上， AB=CD，E，F(xiàn) 分別是 BC，AD 的中點(diǎn)，連接 EF 并延長，與 BA 的延長線交于點(diǎn) G ，若 ∠EFC=60^° ，連接 _GD ，判斷 ΔAGD 的形狀并證明.

（答案見第33頁）

（作者單位：沈陽市渾南區(qū)第一初級中學(xué)）