數(shù)學(xué)思想助力解平行四邊形

平行四邊形是初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，在解決平行四邊形的問題時(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想常?？梢匝杆僬业浇忸}的途徑.下面舉例說明，

一、轉(zhuǎn)化思想

例1在平面直角坐標(biāo)系中，我們把一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值稱為該點(diǎn)的\"特征值”.如圖1，矩形ABCD位于第一象限，其四條邊分別與坐標(biāo)軸平行，則該矩形四個(gè)頂點(diǎn)中“特征值\"最小的是（ ）.

A.點(diǎn)A B.點(diǎn) B" C.點(diǎn) C "D.點(diǎn) D

解析：設(shè) A（a，b），AB=m，AD=n. ·：四邊形ABCD為矩形， ∴BC=AD=n，CD= 而 b+，：該矩形四個(gè)頂點(diǎn)中\(zhòng)"特征值\"最小的是點(diǎn)B，故選B.

點(diǎn)評(píng)：解決本題關(guān)鍵是要進(jìn)行三個(gè)轉(zhuǎn)化：一是矩形ABCD的位置與坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，二是矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)與“特征值\"的轉(zhuǎn)化，三是矩形ABCD頂點(diǎn)\"特征值\"的大小比較與分式值的大小比較的轉(zhuǎn)化.

二、方程思想

例2如圖2，在邊長為4的正方形 ABCD 中，點(diǎn) E 是 BC 上一點(diǎn)，點(diǎn) F 是 CD 延長線上一點(diǎn)，連接 AE，AF，AM 平分 ∠EAF ，交 CD 于點(diǎn) M. 若 BE=DF=1 ，則 DM 的長度為（ ）.

A.2 （20

解析：：四邊形ABCD是正方形， ∴∠ABE=∠ADC=∠ADF=∠C=90^° AB=AD= ， ∴AE=AF ∵AM平分 ∠EAF ， ∴EM=FM 設(shè) DM=x ，則EM=FM=DF+DM=x+1 在 RtΔCEM 中，由勾股定理得 EM²=CE²+CM²，∴（x+ 1）²=3²+（4-x）² ，解得 故選D.

點(diǎn)評(píng)：利用勾股定理構(gòu)造方程是解題的關(guān)鍵.

三、數(shù)形結(jié)合思想

例3如圖3，在口ABCD中， AC，BD 相交于點(diǎn) O，AC=2 ， 過點(diǎn) A 作 AE⊥BC 于點(diǎn) E ，記 BE 長為 x，BC 長為 y 當(dāng) x，y 的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是（ ）.

A. x+y （20 B.x-y （204號(hào) C. xy （204號(hào) D.x²+y²

解析：過點(diǎn) D 作 DF⊥BC ，交 BC 的延長線于點(diǎn) 90^° ．·四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD，AB/CD，∴∠ABE=∠DCF，∴ΔABE≡ （204號(hào)ΔDCF（AAS），∴DF=AE，CF=BE=x. 由勾股定理可得 AE²=AC²-CE²=AC²-（BC- 3E）²=4-（y-x）²，DF²=BD²-BF²=BD²-（BC+CF）²=12-（y+x）²，：4-（y-x）²=1 12-（y+x）² ，化簡(jiǎn)得 xy=2 ，當(dāng) _x，y 的值發(fā)生變化時(shí)，代數(shù)式的值不變的是 xy ，故選C.

點(diǎn)評(píng)：要說明幾何線段和、差、積、平方和的代數(shù)式的值不變，只要通過代數(shù)推理求出這個(gè)代數(shù)式的值，并說明它為常數(shù)即可．

四、模型思想

例4如圖4，在 ?ABCD 中， AB=4，AD=5 ∠ABC=30^° ，點(diǎn) M 為直線 BC 上一動(dòng)點(diǎn)，求 MA+MD 的最小值.

解析：作 A 關(guān)于直線 BC 的對(duì)稱點(diǎn) A^′ ，連接 A^′D 交 BC 于 M^′ ，則 AH=A^′H，AH⊥BC，AM^′=A^′M^′ ，：當(dāng) M，M^′ 重合時(shí)， MA+MD 最小，最小值為 A^′D ∵ AB=4 ， ∠ABC=30^° ，：在口ABCD中， AH= （22

點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是由求 MA+MD 的最小值，聯(lián)想并構(gòu)造出“將軍飲馬”的基本模型.

五、歸納思想

例5如圖5，用大小相等的小正方形按照一定規(guī)律拼正方形.第一幅圖有1個(gè)正方形，第二幅圖有5個(gè)正方形，第三幅圖有14個(gè)正方形…按照此規(guī)律，第六幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為（ ）.

A.90 B.91 C.92 D. 93

解析：由所給圖形可知，第一幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為 1=1² ;第二幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為 5=1²+2² ;第三幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為 14=1²+2²+3² ;第四幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為 30=1²+2²+3²+4²… 所以第 n 幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為 1²+2²+3²+…+n². 當(dāng) n= 6時(shí)， 1²+2²+3²+…+6²=91 ，即第六幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為91.故選B.

點(diǎn)評(píng)：能根據(jù)所給圖形歸納出正方形個(gè)數(shù)變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

六、分類思想

例6如圖6，在口ABCD中， ∠B=60^° ， AB=6cm ，BC=12cm 點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)，以 1cm/s 的速度沿 運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) c 出發(fā)，以 3cm/s 的速度沿 往復(fù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)端點(diǎn) D 時(shí)，點(diǎn) Q 隨之停止運(yùn)動(dòng).求在此運(yùn)動(dòng)過程中，線段 PQ=CD 出現(xiàn)的次數(shù).

解析：由已知可得， P 從 A 到 D 需 12s，Q 從 C 到 B （或從 B 到 C 需4s，設(shè) P，Q 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 ts

（1）當(dāng) 0?t?4 時(shí)， ∵PD//CQ，PQ=CD ，∴有兩種情況： ①PQ 與 CD 不平行，如圖7，過 Q 作 QH⊥AD 于點(diǎn)H ，過 C 作 CG⊥AD 于點(diǎn) G. 由題知， AP=tcm，CQ=3tcm= GH.易證 RtΔPQH?RtΔDCG ，： ∠QPH=∠D=∠B= （2060^° 業(yè) ∵PQ=CD=AB=6cm，∴PH=DG=3cm.∵. AP+ PH+GH+DG=AD=BC=12，∴t+3+3t+3=12 ，解得 t=1.5.② 當(dāng) PQ//CD 時(shí)，四邊形CQPD是平行四邊形，如圖8，此時(shí) PD=CQ=3tcm，∴t+3t=12 ，解得 t= 3，??t 為1.5s或3s時(shí)， PQ=CD 業(yè)

（2）當(dāng) 46cm ，這種情況在 4 ∴3（t-4）=t ，解得 t=6，?..t 為6s時(shí)， PQ=CD

（3）當(dāng) 8

綜上所述， PQ=CD 出現(xiàn)的次數(shù)是4.

點(diǎn)評(píng)：解題關(guān)鍵是結(jié)合題意分類畫出圖形.

（作者單位：省泰州市姜堰區(qū)淤溪初級(jí)中學(xué)）