例析與三角形相結(jié)合的二次函數(shù)問題

1 三角形存在性問題

在二次函數(shù)與三角形相結(jié)合的存在性問題中，?？疾榈妊切魏椭苯侨切未嬖谛詥栴}.具體來(lái)說(shuō)，需要在給定二次函數(shù)的圖象上或坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)與已知點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形或直角三角形.解決這類問題一般要分三種情況討論，通過聯(lián)立直線和拋物線解析式并利用勾股定理建立方程求解.

例1如圖1，已知拋物線 y=ax²+bx-3 與坐標(biāo)軸交于點(diǎn) A(-1，0)，B(3，0) ，與 軸交于點(diǎn) C

（1）連接 AC ，在 x 軸上是否存在點(diǎn) P （不與點(diǎn)A，B 重合)，使得 ΔPAC 是等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求點(diǎn) P 的坐標(biāo).

（2）在拋物線上是否存在點(diǎn) P ，使得 ΔACP 是直角三角形且 AC 為直角邊？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求點(diǎn) P 的坐標(biāo).

所以拋物線的解析式為 y=x²-2x-3. 設(shè)點(diǎn)P(x，0)

因?yàn)辄c(diǎn) A(-1，0)，C(0，-3) .

所以

當(dāng) ΔPAC 為等腰三角形時(shí)，分為三種情況：

① 當(dāng) PA=AC 時(shí)，有 ，解得 或 ，

所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 或 (-1- ：

② 當(dāng) PA=PC 時(shí)，有 ，解得 x=4 ，所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（4，0).

③ 當(dāng) PC=AC 時(shí)，有 ，

解得 x=±1 ，所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (1，0) 或 (-1 00)（與點(diǎn) A 重合，舍去).

（2）易知AC的解析式為 y=-3x-3. 分為以 下兩種情況討論.

① 當(dāng) ∠CAP=90^° 時(shí)，直線 AP 的解析式為 y=

聯(lián)立直線 AP 的方程和拋物線方程，

得

解得 （不符合題意，舍去），

所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為

解析 (1)將點(diǎn) A(-1，0)，B(3，0) 代入拋物線解析式 y=ax²+bx-3 ，得 解得 ， ，

② 當(dāng) ∠ACP=90^° 時(shí)，直線 CP 的解析式為 y=

聯(lián)立直線 CP 的方程和拋物線方程，得 （20解得 （不符合題意，舍去)，所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 綜上所述，拋物線上存在點(diǎn) P ，使得 ΔACP 是直角三角形且 AC 為直角邊，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為

2 三角形面積問題

二次函數(shù)背景下的三角形面積問題是常見的一類題型.這類問題的難點(diǎn)在于如何結(jié)合函數(shù)解析式求出三角形的相關(guān)邊長(zhǎng)或高，解決時(shí)需要綜合運(yùn)用函數(shù)知識(shí)與幾何方法，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和綜合能力要求較高.常見的解決方法有割補(bǔ)法和鉛垂法，將所求三角形轉(zhuǎn)化為更易求面積的三角形.

例2如圖2，拋物線經(jīng)過 A(1，0)，B(4，0) ，C(0，-4) 三點(diǎn).點(diǎn) D 是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線BC上方.連接 _DC，DB ，求 ΔBCD 面積的最大值.

解析設(shè)拋物線的解析式為 y=ax²+bx+c ，因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過 A(1，0)，B(4，0)，C(0，-4) 三點(diǎn)，

.所以 ，解得，

所以拋物線解析式為 y=-x²+5x-4

設(shè)過點(diǎn) B(4，0)，C(0，-4) 的直線的解析式為

y=kx+m ， ，

則 解得，

所以直線BC的解析式為 y=x-4

過點(diǎn) D 作 x 軸的垂線，垂足為 E ，與 BC 交于點(diǎn)

F ，如圖3所示.

設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (m，-m²+5m-4) C (0

<4) ，

則 F(m，m-4) .所以

所以，當(dāng) m=2 時(shí)， S_ΔBCD 取最大值，最大值為8.

3結(jié)語(yǔ)

通過對(duì)上述二次函數(shù)與三角形相結(jié)合問題的深入探討，可以看到，無(wú)論是三角形存在性問題，還是面積問題，都需要學(xué)生熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、解析式的求法以及幾何圖形的相關(guān)定理，并能靈活運(yùn)用它們進(jìn)行綜合分析與運(yùn)算.在教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生逐步梳理此類問題的解題思路，幫助學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)體系和解題框架，不斷提升學(xué)生解決問題的能力和信心.

參考文獻(xiàn)：

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[2]袁明俊.如何求解二次函數(shù)中的三角形面積問題[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版），2024(9)：30-32.

[3]田雯.利用分類討論思想研究二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題[J].讀寫算，2022(11)：154—156.