分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用思路

解題教學(xué)屬于初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)、鍛煉其學(xué)科技能的關(guān)鍵環(huán)節(jié).但傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)解題教學(xué)更多的是以教師講、學(xué)生聽為主，學(xué)生并未經(jīng)歷數(shù)學(xué)思想與方法的思考、應(yīng)用過程，導(dǎo)致解題教學(xué)始終無法達(dá)到理想狀態(tài).分類討論思想屬于數(shù)學(xué)思想方法中較為重要的組成部分，其本身思路即利用分解等方式，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為多個(gè)基礎(chǔ)問題，并驅(qū)動(dòng)學(xué)生在基礎(chǔ)問題的解決中，逐步攻克問題難關(guān)，實(shí)現(xiàn)對(duì)原問題的解答.此方式能夠帶領(lǐng)學(xué)生親身經(jīng)歷問題的演變和解析過程，從根本上提高其解題能力.為此，將分類討論思想引入到初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中具有一定的實(shí)踐意義.

1分類討論思想的內(nèi)涵及應(yīng)用意義

1. 1 內(nèi)涵

數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法之間存在緊密聯(lián)系，常見的數(shù)學(xué)思想包含化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等，分類討論思想也屬于典型的數(shù)學(xué)思想的一種.數(shù)學(xué)思想有助于促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)方法，并準(zhǔn)確完成數(shù)學(xué)問題的解答[1].因此，諸多學(xué)者加大對(duì)分類討論思想的研究力度，并在研究中相繼提出“分類討論思想中的‘分類’，特別指向‘劃分’，即學(xué)生需要合理劃分?jǐn)?shù)學(xué)對(duì)象的差異性與共性，并在遭遇無法統(tǒng)一的問題時(shí)，將問題合理轉(zhuǎn)化為多種情況，再以分別解決的形式逐步獲得完整地解決方案”“分類討論即學(xué)生在面對(duì)特定的數(shù)學(xué)問題時(shí)，將原問題分解為多個(gè)小問題，再按照小問題的具體情形逐一解決，由此獲得數(shù)學(xué)思維”等見解.綜合不同學(xué)者的觀點(diǎn)不難發(fā)現(xiàn)，分類討論思想既屬于一種數(shù)學(xué)思想，也是有效解答問題的方法.本研究綜合不同學(xué)者觀點(diǎn)，將分類討論思想概括為：根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的特征屬性，按照相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)分解復(fù)雜的原問題，再經(jīng)歷“逐個(gè)擊破”的解題過程，由此達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的解題目的.

1. 2 意義

從初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的視角來看，分類討論思想的應(yīng)用意義主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：首先，增強(qiáng)學(xué)生解題能力.初中數(shù)學(xué)問題帶有多變性、復(fù)雜性等多種特點(diǎn)，分類討論思想能夠驅(qū)動(dòng)學(xué)生結(jié)合問題特點(diǎn)作出合理分類，在條分縷析、逐類解決中實(shí)現(xiàn)解題能力與素養(yǎng)的同步提升.其次，發(fā)展學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與邏輯性.分類討論思想的應(yīng)用注重突出問題之間的差異和內(nèi)在聯(lián)系，在應(yīng)用分類討論思想的過程中，學(xué)生需要從嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕嵌绕饰鲈瓎栴}定理，把握不同問題條件的差異與聯(lián)系，再?gòu)倪壿嬐评硪暯嵌嘣獙徱晢栴}并完成解答，此過程也實(shí)現(xiàn)了對(duì)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思維與邏輯思維的培養(yǎng).最后，增強(qiáng)知識(shí)應(yīng)用與理解[2].初中數(shù)學(xué)包含多種問題展現(xiàn)形式，如代數(shù)運(yùn)算、概率統(tǒng)計(jì)和平面幾何等，分類討論思想能夠幫助學(xué)生更好地應(yīng)對(duì)不同的問題情況，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式乃至定理的掌握，為達(dá)成融會(huì)貫通的學(xué)習(xí)目標(biāo)以及促進(jìn)學(xué)生合理遷移與應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能奠定基礎(chǔ).

2分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用策略

2.1在問題探索中，激發(fā)分類討論思想

結(jié)合初中生數(shù)學(xué)認(rèn)知情況分析可知，他們正處于直觀化向抽象化思維的過渡階段，因此，面對(duì)復(fù)雜的問題容易產(chǎn)生思維阻礙[3].面對(duì)此階段的初中生，一味地將分類討論思想引人到解題教學(xué)中遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還需要通過滲透進(jìn)行指導(dǎo)，即在問題探索中激發(fā)學(xué)生分類討論的思想意識(shí).具體而言，教師在數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)中，可提取一些生活元素，結(jié)合生活化問題降低學(xué)生對(duì)解題的抵觸情緒和抗拒心理.同時(shí)，引入分類討論思想，組織學(xué)生結(jié)合該思想完成問題探索，了解分類討論思想的價(jià)值和意義，以此產(chǎn)生分類討論思想意識(shí)，為后續(xù)初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的高效、高質(zhì)量開展奠定基礎(chǔ).

例如在\"方程的運(yùn)算”相關(guān)知識(shí)點(diǎn)教學(xué)結(jié)束后，教師可創(chuàng)設(shè)問題情境，從以下幾個(gè)方向開展解題指導(dǎo)：首先，提供相關(guān)問題.如：“某學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)入一批學(xué)習(xí)用品.采購(gòu)員為減少采購(gòu)成本，在購(gòu)物軟件中選取兩家具有優(yōu)惠政策的店鋪.其中， A 購(gòu)物店優(yōu)惠政策為‘100元以內(nèi)物品按照正常價(jià)格購(gòu)入，超出100元部分予以9折優(yōu)惠； B 購(gòu)物店則是50元以內(nèi)物品不打折，超出50元物品予以9.5折優(yōu)惠.請(qǐng)問兩家購(gòu)物店哪個(gè)的優(yōu)惠政策更為合理？”其次，為學(xué)生提供自主探索空間，并嘗試以問題導(dǎo)學(xué)的思想驅(qū)動(dòng)學(xué)生經(jīng)歷分類討論過程.如\"該問題的題意是什么？”\"假設(shè)采購(gòu)員在此次消費(fèi)中用了 x 元，如何以函數(shù)的形式展現(xiàn)兩家購(gòu)物店的花費(fèi)金額？”“怎樣以表格的形式展現(xiàn)上述問題條件？”“如何判斷哪個(gè)購(gòu)物店優(yōu)惠力度更大？消費(fèi)金額更少？”等.上述問題的提出驅(qū)動(dòng)學(xué)生逐步進(jìn)入分類討論狀態(tài)，也讓學(xué)生基于采購(gòu)費(fèi)用的不同視角，將討論類型逐步劃分為 ^?099??509?x>100⁹ ，由此逐步形成分類討論意識(shí).此過程在無形之中傳遞分類討論思想概念，也讓學(xué)生建立起分類討論的解題意識(shí)，為增強(qiáng)初中生數(shù)學(xué)解題能力奠定基礎(chǔ).

2.2在問題交流中，掌握分類討論思想

事實(shí)上，以往初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，許多教師也嘗試應(yīng)用分類討論思想，但講解過程更多注重分類，并未給予學(xué)生過多的自主討論問題類型的機(jī)會(huì)，導(dǎo)致解題教學(xué)停留于表面，學(xué)生對(duì)分類討論思想的掌握不夠深刻4.為增強(qiáng)分類討論思想的應(yīng)用價(jià)值，教師應(yīng)更多地設(shè)置問題交流環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生在問題分類的基礎(chǔ)上討論相關(guān)解題思想與方法，并表達(dá)自我觀點(diǎn)，使其在思維碰撞的過程中掌握分類討論思想，實(shí)現(xiàn)解題水平的有效提升.

例如“三角形存在性問題”屬于初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重難點(diǎn)內(nèi)容之一，針對(duì)此部分內(nèi)容，教師可嘗試布置如下問題：“直角梯形ABCD中， .AB=8，AD=3，∠B=90^°，BC=4 ，點(diǎn) P 屬于 AB 邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).此情況下，若三角形 PBC 與 PAD 是相似三角形，求解滿足條件的點(diǎn) P 的個(gè)數(shù)共有多少個(gè)？”結(jié)合問題內(nèi)容分析不難發(fā)現(xiàn)，其帶有分類討論思想特點(diǎn).為鍛煉初中生自主學(xué)習(xí)意識(shí)，使其把握分類討論思想的應(yīng)用特點(diǎn)，教師應(yīng)給予學(xué)生足夠的自主思考和合作交流空間，并鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行成果展示.經(jīng)過討論，學(xué)生相繼提出“可嘗試以畫圖的方式將點(diǎn) P 可能存在的位置標(biāo)出，結(jié)合代數(shù)計(jì)算完成解答.通過對(duì)三角形PBC與三角形 PAD 相似的兩種情況進(jìn)行分析計(jì)算，發(fā)現(xiàn)除了 P 點(diǎn)靠近 A 和 B 的點(diǎn)的情況外，還存在一個(gè)中間位置也能使兩三角形相似.因此，滿足條件的 P 點(diǎn)位置的共有三個(gè)\"\"可應(yīng)用對(duì)應(yīng)邊比值相等思想，完成對(duì) AP 長(zhǎng)度的計(jì)算，由此精準(zhǔn)確定 P 點(diǎn)個(gè)數(shù)”“應(yīng)先確定相似三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再結(jié)合對(duì)應(yīng)邊比值相等的思想計(jì)算，由此先確立 AP 有幾個(gè)值，從中得出 P 點(diǎn)有幾個(gè)”此過程中，學(xué)生經(jīng)歷解題思維的碰撞，也逐漸清晰分類討論思想的應(yīng)用方向，更在無形之中提升了解題認(rèn)知，為強(qiáng)化自身的.解題能力提供助力.

2.3在錯(cuò)題解析中，鞏固分類討論思想

雖然分類討論思想有助于促進(jìn)學(xué)生更好地完成解題，但在面對(duì)涉及分類討論思想的數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生犯錯(cuò)率更高.導(dǎo)致此情況出現(xiàn)的原因在于，此類題目答案帶有一定開放性，這也在無形之中增加各種解題錯(cuò)誤出現(xiàn)的概率[5.這就需要教師設(shè)置錯(cuò)題解析環(huán)節(jié)，帶領(lǐng)學(xué)生回顧錯(cuò)題衍生過程，收集典型錯(cuò)誤資源再以分類討論的形式剖析解題步驟，由此輔助學(xué)生更好地掌握分類討論思想的應(yīng)用技巧，鞏固學(xué)生解題能力.

例如以常見錯(cuò)題為例，“已知線段 AB 長(zhǎng)為12cm ，在直線AB中包含 C 點(diǎn)，其中， BC=4cm，M 屬于 AC 的中點(diǎn)，求解線段 AM 的長(zhǎng)是多少？”.針對(duì)此類問題，學(xué)生常出現(xiàn)遺漏關(guān)鍵點(diǎn)的情況，更多的將解題方向聚焦于“點(diǎn) c 在線段AB”方面，但就實(shí)際而言，點(diǎn) c 雖然在直線 AB 上，也可能在點(diǎn) B 的右側(cè).基于此，教師可嘗試將數(shù)形結(jié)合思想引入到分類討論環(huán)節(jié)，組織學(xué)生以畫圖的形式生成與題目相關(guān)的圖像，由此更精準(zhǔn)地驗(yàn)證解題方法.事實(shí)上，在初中生解題過程中類似的題目較多，教師還需要根據(jù)不同錯(cuò)題特點(diǎn)，展開多元化的指導(dǎo)，以此鞏固學(xué)生的分類討論思想.如常見錯(cuò)題還包含：“為獲得某班級(jí)初三學(xué)生一分鐘內(nèi)跳繩數(shù)據(jù)，體育教師在班級(jí)中隨機(jī)選擇男女生分別為2名和3名，再?gòu)?名學(xué)生中隨機(jī)選擇2名完成跳繩.求解‘恰好選擇1男1女完成跳繩的概率是多少？”該問題較容易導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)忽略問題條件的情況.為此，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生先完成“性別”分類，再基于第一種分類方法探究第二種分類情況.此解題教學(xué)方法主要圍繞學(xué)生常見的錯(cuò)題區(qū)域，鞏固學(xué)生對(duì)分類討論思想的認(rèn)知，也在無形之中強(qiáng)化學(xué)生對(duì)該方法應(yīng)用的靈活性，

2.4在問題練習(xí)中，形成應(yīng)用數(shù)學(xué)思想的習(xí)慣

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中不難發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生通過教師講解，看似已經(jīng)掌握了數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用方法，但在面對(duì)類型相同的題型時(shí)，又重新陷入解題困境.導(dǎo)致此情況出現(xiàn)的原因在于，學(xué)生缺乏復(fù)雜習(xí)題訓(xùn)練，并且傳統(tǒng)習(xí)題練習(xí)更多注重\"量”而忽略\"質(zhì)”6.基于此，教師應(yīng)提供更多帶有分類討論思想的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生在不同題型中養(yǎng)成數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用習(xí)慣.

例如在\"數(shù)與代數(shù)”知識(shí)點(diǎn)教學(xué)結(jié)束后，教師可結(jié)合一些中考題庫(kù)，提取帶有綜合性特點(diǎn)的問題.如“已知定義運(yùn)算 ，求解關(guān)于 X 的不等式解集”結(jié)合該問題不難發(fā)現(xiàn)，它以分段函數(shù)的形式呈現(xiàn)，根據(jù) A 和 B 之間不同的大小關(guān)系有不同的運(yùn)算結(jié)果.基于此，教師可組織學(xué)生采用分類討論的方法，圍繞 A 和 B 的大小關(guān)系完成習(xí)題解答.即當(dāng) A?B 時(shí)， 的運(yùn)算結(jié)果為“ A ”；當(dāng) A< B 時(shí)， A#B 的運(yùn)算結(jié)果為“ B ”.基于上述運(yùn)算原則，經(jīng)過分類討論思想的應(yīng)用，將原有的不等式逐步轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次不等式組，在降低解題難度的同時(shí)攻破學(xué)習(xí)重難點(diǎn).此問題練習(xí)環(huán)節(jié)，注重學(xué)生分類討論思想的應(yīng)用，也鍛煉其解題思維和技巧，促進(jìn)初中生數(shù)學(xué)解題能力的穩(wěn)步提高.

3結(jié)語(yǔ)

總而言之，分類討論思想有助于增強(qiáng)初中生解題能力，加強(qiáng)分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，更有助于增強(qiáng)解題教學(xué)質(zhì)量和效果.為此，初中數(shù)學(xué)教師需要充分把握分類討論思想的內(nèi)涵和實(shí)踐意義.同時(shí)，在問題探索、問題交流、錯(cuò)題解析和問題練習(xí)中，逐步培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思想、解題實(shí)踐能力、數(shù)學(xué)思想應(yīng)用習(xí)慣等，以此助推初中生數(shù)學(xué)解題能力的穩(wěn)步提高.

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