全等三角形幾何模型分類例析

全等三角形的幾何模型具有典型性和代表性，本文展示了常見的三種全等三角形幾何模型，并通過具體例子進(jìn)行分析.掌握這些模型有助于學(xué)生快速識別幾何圖形中的全等關(guān)系，從而有效解決相關(guān)問題.

1“8字”模型

“8字”模型特點(diǎn)是交叉線形成對頂角或?qū)ΨQ結(jié)構(gòu)，判定的方法有ASA或SAS.例如，梯形對角線交叉形成的三角形，若上下底平行且腰相等，則部分三角形全等.

例1如圖1，點(diǎn) E 在 ΔABC 的外部，點(diǎn) D 在邊 BC 上， DE 交 AC 于點(diǎn) F ，若 ∠1=∠2，AE=AC 0BC=DE .求證： AB=AD

證明 因為 ∠1+∠AFE+∠E=180^° 所以 ∠E=180^°-∠1-∠AFE 因為 ∠2+∠CFD+∠C=180^° 所以 ∠C=180^°-∠2-∠CFD

因為 ∠1=∠2，∠AFE=∠CFD ，

所以 ∠E=∠C

在 ΔABC 與 ΔADE 中， （2號

所以 ΔABC?ΔADE ，

所以 AB=AD

點(diǎn)評本題屬于\"8字”模型，主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到 ∠E=∠C .再根據(jù) AC=AE，BC=DE ，判定 ΔABC? ΔADE ，即可得到 AB=AD

2 手拉手模型

手拉手模型是指兩個頂角相等且有公共頂點(diǎn)的等腰三角形，分別連接兩個等腰三角形的底角頂點(diǎn)，形成的兩個三角形全等.這種模型的典型特點(diǎn)是：兩個等腰三角形頂角相等且有公共頂點(diǎn)，通過連接底角頂點(diǎn)構(gòu)造全等三角形.

例2如圖2，已知： CA=CB CD=CE ，∠ACB=∠DCE ，求證： ∠BGF=∠ACB

證明 因為 ∠ACB=∠DCE

所以 ∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD 0

即 ∠ACD=∠BCE ，

在 ΔACD 和 ΔBCE 中，

所以 ΔACD?ΔBCE （SAS），

所以 ∠CAD=∠CBE

因為 ∠BGF=180^°-∠BFG-∠FBG ∠ACB=180^°-∠AFC-∠FAC

又 ∠BFG=∠AFC .

所以 ∠BGF=∠ACB

點(diǎn)評本題屬于手拉手模型，主要考查全等三角形的判定及性質(zhì).由 ∠ACB=∠DCE ，推導(dǎo)出∠ACD=∠BCE ，即可證明 ΔACD?ΔBCE ，得∠CAD=∠CBE ，即可由 ∠BGF=180^°-∠BFG- ∠FBG，∠ACB=180^°-∠AFC-∠FAC ，又∠BFG=∠AFC ，證明 ∠BGF=∠ACB ：

3一線三等角模型

一線三等角模型是指在一條直線上有三個相等的角，由這三個角構(gòu)成的兩個三角形通常全等或相似.這種模型的特點(diǎn)是：一條直線上有三個相等的角，可利用等角和其他條件構(gòu)造全等關(guān)系.

例3如圖3，在 ΔABC 中， AB=AC=2， ∠B =∠C=40^° ，點(diǎn) D 在線段 BC 上運(yùn)動，但 D 不會與 B .C 兩點(diǎn)重合，連接 AD ，作 ∠ADE=40^° DE 交 AC 于 E ：

（1）當(dāng) ∠BDA=115^° 時，求 ∠EDC 和 ∠DEC ·（2）當(dāng) DC 等于多少時， ΔABD?ΔDCE ？請說明理由.

解析（1）因為 ∠ADE=40^° ∠BDA=115^° 所以 ∠EDC=180^°-∠ADB-∠ADE=180^°- 115^°-40^°=25^° 所以 ∠AED=∠EDC+∠C=40^°+25^°=65^° 所以 ∠DEC=180^°-∠AED=115^°

（2）當(dāng) DC=2 時， ΔABD?ΔDCE ，理由如下：因為 ∠C=40^° .所以 ∠DEC+∠EDC=140^° 又因為 ∠ADE=40^° ，所以 ∠ADB+∠EDC=140^° 0所以 ∠ADB=∠DEC 在 ΔABD 和 ΔDCE 中， （204號所以 ΔABD?ΔDCE

點(diǎn)評本題屬于一線三等角模型，主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，涉及的知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng).第（2）問中，當(dāng) DC=2 時，利用 ∠DEC+ ∠EDC=140^° ， ∠ADB+∠EDC=140^° ，求出∠ADB=∠DEC ，再利用 AB=DC=2 ，即可得出結(jié)果.

4結(jié)語

全等三角形的幾何模型種類多樣，每種模型都有其獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和應(yīng)用方式.通過對“8字”模型、手拉手模型、一線三等角模型等的學(xué)習(xí)和分析，可以看到，在解決幾何問題時，準(zhǔn)確識別全等三角形的幾何模型，能夠快速找到解題思路，從而高效運(yùn)用相應(yīng)的全等判定定理解決問題.在初中教學(xué)過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生熟悉這些模型以及其他模型，通過大量的練習(xí)，讓學(xué)生掌握模型的應(yīng)用技巧，提高學(xué)生的幾何解題能力和邏輯思維能力.同時，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，要善于總結(jié)歸納，不斷積累經(jīng)驗，以便在遇到復(fù)雜幾何問題時能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識，準(zhǔn)確快速地解決問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]何勇.基于“8”字模型的變式拓展—以“全等三角形的復(fù)習(xí)”為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊， .2024（14）：16-19

[2]吳建平.全等三角形中的常見模型[J].數(shù)理天地（初中版），2023（1）：4-5.

[3]吳才東.全等三角形中常見輔助線作法的教學(xué)研究[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（教研版），2023（24）： 30-32+49 元