數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合是建立起幾何與代數(shù)的主要橋梁，可以將部分幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題解決，也可以將部分代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題進(jìn)行解決，甚至可以借助幾何分析代數(shù)問(wèn)題，兩者進(jìn)行結(jié)合來(lái)處理問(wèn)題，這就是數(shù)形結(jié)合的主要作用.數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)在幾何問(wèn)題、具有幾何意義的代數(shù)問(wèn)題、函數(shù)問(wèn)題等地方，下面具體從數(shù)軸及其應(yīng)用、函數(shù)問(wèn)題、幾何中的面積三個(gè)方面展開(kāi)討論.

1 數(shù)軸及其應(yīng)用

數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，是坐標(biāo)系最基礎(chǔ)的元素.可以借助它來(lái)解決很多代數(shù)問(wèn)題，如比較大小，解去絕對(duì)值等問(wèn)題，所以數(shù)軸及其應(yīng)用是數(shù)形結(jié)合思想的主要體現(xiàn)形式之一.

例1如圖1，數(shù)軸上點(diǎn) A，B，C 對(duì)應(yīng)的有理數(shù)分別為 _a，b，c. 下列結(jié)論： ①a+b+c>0;②abc> 其中正確的是（ ）

解如圖1所示，因?yàn)?-3 ，所以 ，又因?yàn)?00，② 正確；因?yàn)?a<0，b<0 ，所以 a+b <0 ，又因?yàn)?0 正確.故選(D).

評(píng)注該題是將有理數(shù)在數(shù)軸中體現(xiàn)出來(lái)，然后根據(jù)其大小對(duì)不同表示形式比較大小，這是典型的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，除了比較大小問(wèn)題，還有去絕對(duì)值問(wèn)題，利用圖象也非常方便、直觀.解決這類問(wèn)題的一般思路為：一是分析所給數(shù)軸，得出各數(shù)大小，或者取值范圍；二是根據(jù)分析出的數(shù)字大小或者取值范圍進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算，并判斷結(jié)果.

2 函數(shù)問(wèn)題

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)之一，也是中考的必考知識(shí)，主要有正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一元二次函數(shù)等，特別是涉及函數(shù)圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用時(shí)，借助圖象進(jìn)行分析非常地直觀，所以這也是數(shù)形結(jié)合的主要應(yīng)用.

例2已知二次函數(shù) y=2x²-ax-3 的對(duì)稱軸為 x=2 =

（1）求實(shí)數(shù) Δ_a 的值；

(2）若 A(0，-3) 在拋物線 y=2x²-ax-3 上，求點(diǎn) A 關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn) B 的坐標(biāo).

解（1）因?yàn)槎魏瘮?shù) y=2x²-ax-3 的對(duì)稱軸為 x=2 ，

所以有 解得 a=8

(2)由(1)得二次函數(shù)的解析式為 y=2x²-8x-3

如圖2所示，已知點(diǎn) A(0，-3) 在拋物線 y= 2x²-8x-3 圖象上，所以點(diǎn) A 關(guān)于拋物線 y=2x²- 8x-3 的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn) B 也在拋物線 y=2x²- 8x-3 上.點(diǎn) A 到拋物線 y=2x²-8x-3 的對(duì)稱軸x=2 的距離為2，所以點(diǎn) B 到拋物線 y=2x²-8x -3 的對(duì)稱軸 x=2 的距離也為2，所以點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)為4，則縱坐標(biāo)為一3，所以 B 的坐標(biāo)為 (4，-3) ·

評(píng)注該題是一元二次函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，第一問(wèn)是已知二次函數(shù)的對(duì)稱軸，求函數(shù)解析式中未知數(shù) a ，直接利用公式 代入計(jì)算即可；第二問(wèn)是借助一元二次函數(shù)的對(duì)稱軸求點(diǎn)坐標(biāo)，這里可借助一元二次函數(shù)對(duì)稱軸的性質(zhì)和函數(shù)圖象進(jìn)行求解，先是根據(jù)圖象確定已知點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，然后根據(jù)對(duì)稱性確定 B 點(diǎn)的坐標(biāo).主要涉及的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的對(duì)稱軸為 ，解題時(shí)利用函數(shù)圖象與結(jié)合軸對(duì)稱，靈活應(yīng)用即可，

3 幾何中的面積問(wèn)題

幾何問(wèn)題也是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，同時(shí)是中考必考知識(shí)，幾何問(wèn)題種類很多，這里主要以面積問(wèn)題為例，討論數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用情況.

例3已知 RtΔABC 中，直角邊 AB=2cm ，BC=4cm .有一個(gè)圓心在 AC 上的圓 O ，與AB，BC相切，如圖3所示.求陰影部分的面積.

解因?yàn)閳A的圓心在 RtΔABC 的斜邊上，所以有半個(gè)圓在 ΔABC 內(nèi)，則陰影部分的面積等于三角形的面積減去半個(gè)圓的面積.如圖3所示，過(guò)圓心O 分別作 AB，BC 的垂線，垂足分別為 _D，E ，設(shè)圓的半徑為 r ，則 OE=OD=BE=BD=r.

因?yàn)?ΔOCE 與 ΔABC 相似，所以有 ，解得 ·所以

評(píng)注該題是三角形與圓相結(jié)合的圖象，是典型的求陰影部分的面積題型.在解答過(guò)程中，需要結(jié)合圖象進(jìn)行分析，所以也是典型數(shù)形結(jié)合問(wèn)題.在解答這類問(wèn)題時(shí)，如題目提供圖形，則合理利用圖形進(jìn)行分析，如果題目沒(méi)有給出圖形，則需要根據(jù)已知條件將圖形畫(huà)出，借助圖形對(duì)題目進(jìn)行理解和分析.

4結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)初中重要的數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)福建省各地區(qū)中考題型和模擬題型，進(jìn)行分析，總結(jié)了常對(duì)數(shù)形結(jié)合考查的題型，具體從數(shù)軸的應(yīng)用，函數(shù)問(wèn)題和幾何問(wèn)題進(jìn)行例談，深入探究數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)，以落實(shí)初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)，揭示數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的奧秘，以很好地對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行應(yīng)用和推廣，為中考備考提供參考.

參考文獻(xiàn)：

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