二次函數(shù)中的等腰三角形存在性問題

1定點(diǎn)在二次函數(shù)圖像上，動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的等腰三角形存在性問題

這類問題通常已知三角形的一個(gè)或兩個(gè)頂點(diǎn)在二次函數(shù)圖像上，需要在坐標(biāo)軸上尋找動(dòng)點(diǎn)，使得這三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形.解題時(shí)，一般先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)距離公式分別表示出三角形三邊的長(zhǎng)度，再根據(jù)等腰三角形的定義分情況建立方程求出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo).

故拋物線的解析式為

當(dāng) x=0 時(shí)， y=-2 ，

所以點(diǎn) c 的坐標(biāo)為 （0，-2） ，

所以 OC=2

解方程

得 x₁=-1，x₂=3 ，

所以點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（3，0），

所以 OA=3 ，

例1 如圖1，拋物線y=ax2- x+c與x軸交于 A，B 兩點(diǎn)，與 軸交于 c 點(diǎn)，連接 AC ，已知B（-1，0） ，且拋物線經(jīng)過點(diǎn) D（2，-2） .若點(diǎn) P 是 y 軸上一點(diǎn)，以 P，A，C 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求 P 點(diǎn)的坐標(biāo).

解析 將點(diǎn) B（-1，0），D（2，-2） 代人 y=ax 2 解得

如圖2，設(shè) P（0，m） ，

則 PC=|m+2| ， ① 當(dāng) PA=CA 時(shí)，

則 ，

所以 m²+9=13 ，

解得 m=2 或 m=-2 （舍去），所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（0，2）.

② 當(dāng) PC=CA 時(shí)，則 ，所以 ，或 ，解得 ，或 ，所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 或 （0，-2- ：③ 當(dāng) PC=PA 時(shí)，則 ，所以 （m+2）²=m²+9 解得 ，所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 綜上所述， P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）或 （0，-2+ √13）或（0，-2-√13）或（0，5）.

2定點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，動(dòng)點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上的等腰三角形存在性問題

在這種題型中，動(dòng)點(diǎn)在二次函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng)，而定點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.解題思路同樣是設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，利用二次函數(shù)表達(dá)式表示出動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再根據(jù)等腰三角形的定義，分情況討論三邊關(guān)系，通過建立方程求解.

例2如圖3，已知二次函數(shù) y=ax²+bx+c 的圖象與 x 軸相交于 A（-1，0），B（3，0） 兩點(diǎn)，與 軸相交于點(diǎn) C（0，-3） ，點(diǎn) P 是二次函數(shù)的圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在第四象限.設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 ψ_m ，過點(diǎn)P 作 PH⊥x 軸于點(diǎn) H ，與 BC 交于點(diǎn) M 如果ΔPMC 是等腰三角形，直接寫出點(diǎn) P 的橫坐標(biāo) λ_m 的值.

解析 設(shè)拋物線的解析式為 y=a（x+1）（x-

3），把 C（0，-3） 代人，解得 a=1 ，所以拋物線解析

式為 y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3. 易知 P（m，m²-2m-3） ，直線 BC 的解析式為 y=x-3 ，所以 M（m，m-3） ：又因?yàn)?C（0，-3） ，所以 PM=m-3-（m²-2m-3）=-m² （

+3m ： ① 當(dāng) PM=CM 時(shí)，則 解得 （舍）， m=0 （舍）， ② 當(dāng) PM=CP 時(shí)，則 解得 m=0 （舍）， m=2 ③ 當(dāng) CM=CP 時(shí)，則 （204號(hào)解得 m=0 （舍）， m=3 （舍），（204號(hào) m=1 ：綜上所述， m 的值為 或2或1.

3結(jié)語

二次函數(shù)中的等腰三角形存在性問題是初中數(shù)學(xué)的重要題型，它綜合了函數(shù)與幾何知識(shí)，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高.通過對(duì)常見題型和解題思路的分析，以及典型例題的研究，我們可以看到解決這類問題的關(guān)鍵在于合理設(shè)點(diǎn)、準(zhǔn)確表示出三角形三邊的長(zhǎng)度，并根據(jù)等腰三角形的定義進(jìn)行分類討論和列方程求解.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉玉文.歸類探析提升素養(yǎng)—以二次函數(shù)背景下特殊三角形存在性問題為例[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2023（13）：31-34.