初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題探討

二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的理論板塊，不僅是連接數(shù)學(xué)代數(shù)運(yùn)算與幾何圖形的重要橋梁，更在實(shí)際生活中具有廣泛的應(yīng)用，例如，投籃時(shí)籃球的運(yùn)動(dòng)軌跡、衛(wèi)星軌道的設(shè)計(jì)等，

1增減性、最值問(wèn)題

例1新定義：我們把拋物線 y=ax²+bx+ ∣c∣ （其中 αc≠0 ）與拋物線 y=cx²+bx+a 稱為“相關(guān)拋物線”.例如：拋物線 y=3x²+2x+1 的“相關(guān)拋物線”是 y=x²+2x+3

已知拋物線 C₁:y=(a-4)x²-2ax+a(a≠ 0且 α≠4 ）的“相關(guān)拋物線”為 C₂

(1）寫(xiě)出 C₂ 的解析式（用含有 α_a 的式子表示）及頂點(diǎn)坐標(biāo).

（2）若拋物線 C₂ 經(jīng)過(guò)點(diǎn) (2，-3) ·

① 拋物線上有兩點(diǎn) M(x₁，x₂) 和 N(x₂，y₂) ，若 x₁<1，x₂>1，x₁+x₂>2 ，試比較 y₁ 與 y₂ 的大小，并說(shuō)明理由；

② 當(dāng) 0?x?k 時(shí)， 的最大值和最小值分別是m 和 n ，且 m+n=1 ，試求 k 的值.

解析（1）根據(jù)題目中“相關(guān)拋物線”的定義，可得知 C₂ 的解析式為 y=ax²-2ax+a-4 ·

因?yàn)?y=ax²-2ax+a-4=a(x²-2x+1)- 4=a(x-1)²-4，

所以 C₂ 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 (1，-4) ·(2)①y₁2 ，理由如下：

將點(diǎn) (2，-3) 代人 C₂:y=ax²-2ax+a- 4中，

可得 4a-4a+a-4=-3

解得 a=1 ，

所以拋物線 C₂ 的解析式是 y=x²-2x-3 ，所以拋物線的對(duì)稱軸是直線 x=1

因?yàn)?x₁<1，x₂>1 ，

所以點(diǎn) M(x₁，x₂) 到對(duì)稱軸的距離是 1-x₁ ，點(diǎn) N(x₂，y₂) 到對(duì)稱軸的距離是 x₂-1

又因?yàn)?x₁+x₂>2 ，

所以 (x₂-1)-(1-x₁)=x₁+x₂-2>0

所以點(diǎn) N 到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn) M 到對(duì)稱軸的距離.

又因?yàn)閽佄锞€開(kāi)口向上，所以 y₁2 ：

② 由 ① 可知，拋物線 y=x²-2x-3 的對(duì)稱軸是直線 x=1 ，拋物線開(kāi)口向上.

當(dāng) 0?x?k 時(shí)，確定 的最大值與最小值需分類討論：

若 0

當(dāng) x=0 時(shí)， y 取最大值為 m=-3 當(dāng) x=k 時(shí)， 取最小值為 n=k²-2k-3

因?yàn)?m+n=1 ，所以 n=1-m=4 .

即 k²-2k-3=4 ，可解得 （舍去），若 k>1 ，則當(dāng) x=1 時(shí)， 取最小值為 n=1²-2×1-3=-4 ，

因?yàn)?m+n=1 .

所以 m=1-n=5 ，

又因?yàn)?x=0 時(shí)， y=-3 ，

所以當(dāng) x=k 時(shí)， 取最大值為 m=5 ，即 k²-2k-3=5 ，

可解得 k₃=-2 （舍去）， k₄=4 ：

若 k=1 ，

則 m=-3，n=-4 ，

則 m+n=-7≠1 ，與已知條件不符.綜上所述， k 的值是4.

2 交點(diǎn)、整點(diǎn)問(wèn)題

例2已知在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) y=

mx²+(4m-1)x+4m+3(m 為常數(shù)且 m≠0 )（1）當(dāng) m=-1 時(shí)，求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2）若該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(2-a，b) 和點(diǎn)

B(a+4，b) ，求 ψ_m 的值；(3）是否存在 ψ_m ，使一次函數(shù) y=x+4m+3 的

圖象與該二次函數(shù)的圖象兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是連續(xù)

的整數(shù)？若存在，請(qǐng)求出 Ψ_m 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.解析(1）當(dāng) m=-1 時(shí)，二次函數(shù)的表達(dá)式是 y=-x²-5x-1=-

（2 （20所以該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （2）因?yàn)辄c(diǎn) A(2-a，b) 和點(diǎn) B(a+4，b) 的縱

坐標(biāo)相同，所以點(diǎn) A 和點(diǎn) B 關(guān)于函數(shù)圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱，所以該對(duì)稱軸為直線 ， 可解得 中

(3）存在.聯(lián)立 得 mx²+(4m-1)x+4m+3=x+4m+3 ，經(jīng)整理后可得 mx²+(4m-2)x=0 ，解得 因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以 (4m-2)²>0 ，可解得 又因?yàn)閮珊瘮?shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為連續(xù)的整數(shù)，則易得 x₂=-1 或1，所以當(dāng)x2=-1時(shí)，2-4m 0可解得 當(dāng)x2=1時(shí)，2-4m =可解得 0綜上所述，存在 或 ，使一次函數(shù) y=x +4m+3 的圖象與二次函數(shù)的圖象兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為連續(xù)的整數(shù).

3結(jié)語(yǔ)

對(duì)初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題的深入分析，讓學(xué)生不僅加深了對(duì)二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)的理解與掌握，同時(shí)還學(xué)會(huì)了如何將理論知識(shí)靈活應(yīng)用到解決實(shí)際問(wèn)題中，極大地鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維和推理解題能力.學(xué)生學(xué)會(huì)利用代數(shù)運(yùn)算求解二次函數(shù)的表達(dá)式，了解“分類討論”思想在數(shù)學(xué)解題中所起到的重要作用，這能調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)這一學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生的求知欲.