基于Chebyshev譜方法的PERT網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵活動分析

0 引言

項目評審技術(shù)[1]（PERT）、關(guān)鍵路徑法[2]（CPM）、圖形評審技術(shù)[3］（GERT）和風險評估與評審技術(shù)[4]（VERT）都是網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)中的主要方法，其共同目標是高質(zhì)量、快速地實現(xiàn)項目管理要求。其中，關(guān)于PERT的研究成果涉及諸多方面，包括關(guān)鍵活動、關(guān)鍵度指數(shù)、關(guān)鍵路徑、敏感性等[5]。一般來說，研究人員通常對網(wǎng)絡(luò)進行分析獲得項目中的關(guān)鍵活動，以確定關(guān)鍵節(jié)點，從而控制和管理項目[6。目前，針對PERT網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵活動、關(guān)鍵度指數(shù)的研究比較常用的方法是蒙特卡洛（MonteCarlo，MC）模擬方法，這是一種隨機模擬方法[]。隨著計算機的快速發(fā)展，它已被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域的仿真模擬[7-10]?；诂F(xiàn)有的模型（如期望和方差），確定活動持續(xù)時間的隨機分布類型和相應(yīng)的分布參數(shù)，以獲得蒙特卡洛模擬的概率模型[11]。 Van^[12] 提出使用 MC 抽樣方法來分析PERT網(wǎng)絡(luò)。Martin[13]描述了PERT網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵路徑指數(shù)和關(guān)鍵活動指數(shù)的概念。Sigal等[14]采用MC抽樣方法計算了PERT網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵路徑指數(shù)和關(guān)鍵活動指數(shù)。Soroush[15]在PERT網(wǎng)絡(luò)中提出了最關(guān)鍵路徑（MostCriticalPath，MCP）的概念，并將MCP定義為持續(xù)時間最長路徑中概率最高的路徑。Fatemi等[16]研究了PERT網(wǎng)絡(luò)中與路徑關(guān)鍵度、活動關(guān)鍵度和路徑概率相關(guān)的問題。Zhang等[17]討論了PERT網(wǎng)絡(luò)中非關(guān)鍵活動的敏感性。Wang等[18]提出了一種基于MC的抽樣方法，確定了PERT網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵路徑和最關(guān)鍵活動。根據(jù)PERT的特點，它通常用于分析具有多個不確定和不可預(yù)測因素的復(fù)雜項目[19]。隨著計算機技術(shù)的不斷發(fā)展，研究人員主要使用MC模擬完成PERT網(wǎng)絡(luò)的近似，并為復(fù)雜項目網(wǎng)絡(luò)中的每個隨機變量建立相應(yīng)的概率模型[20]。同時，通過對概率模型進行抽樣，計算每個活動所需時間和項目完成時間，還可以利用MC重復(fù)模擬以獲得多個樣本，進一步確定項目的預(yù)期持續(xù)時間和方差，以及項目計劃持續(xù)時間的完成概率。然而，MC模擬可以快速地分析簡單的PERT網(wǎng)絡(luò)，但針對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)卻暴露出一些局限性。例如，MC模擬僅適用于分析小規(guī)模網(wǎng)絡(luò)圖。因此，隨著網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜性不斷提高、網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)量增加和關(guān)鍵路徑數(shù)量指數(shù)增長，MC仿真方法逐漸不再適用。

Chebyshev譜方法是一種用于工程和頻域的數(shù)學分析技術(shù)。它可以將信號或函數(shù)分解為一組基本頻率分量，以更好地理解和分析信號或函數(shù)的頻率特性。因此，本文針對大型復(fù)雜PERT網(wǎng)絡(luò)圖，提出一種基于Chebyshev譜方法的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點關(guān)鍵度指數(shù)分析方法，并得到網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的關(guān)鍵度指數(shù)、節(jié)點關(guān)鍵度排序及網(wǎng)絡(luò)最關(guān)鍵路徑。本文將Chebyshev多項式與函數(shù)相乘，并對整個區(qū)間進行積分，將函數(shù)分解為一系列譜分量，利用Cheby-shev多項式在有界區(qū)間上實現(xiàn)函數(shù)的近似。將函數(shù)分解為Chebyshev多項式的線性組合后，可以計算每個頻率分量的幅度和相位，以了解函數(shù)中不同頻率分量的貢獻及其在時域中的時間信息。與傳統(tǒng)的MC仿真相比，本文提出基于Chebyshev譜方法的PERT網(wǎng)絡(luò)節(jié)點關(guān)鍵度指數(shù)計算方法具有顯著的優(yōu)勢。特別是在大規(guī)模和復(fù)雜的PERT網(wǎng)絡(luò)圖領(lǐng)域，該方法的效率、收斂能力和對資源受限情況的適用性，使其成為項目經(jīng)理、研究人員尋求優(yōu)化項目規(guī)劃和執(zhí)行過程的寶貴工具。

1 PERT網(wǎng)絡(luò)圖信息構(gòu)建

1.1 符號描述

通常PERT網(wǎng)絡(luò)采用雙代號表示法，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中共有 Ω_n （ ngt;1 ）個節(jié)點，起始節(jié)點為節(jié)點1，終止節(jié)點為節(jié)點 n ，網(wǎng)絡(luò)中的某項活動用 i-j 表示，i 為活動起始節(jié)點， j 為活動終止節(jié)點， 1

表示一個PERT網(wǎng)絡(luò)， G 為一個有向無環(huán)圖，該有序?qū)χ?V 是節(jié)點集合， E 為鏈接（或邊）的集合。

， v₂ ，…， 表示節(jié)點的集合，是一個有限元素集。

表示集合 V 上的任意子集， V?V 表示 V 中元素的有序?qū)? 。

v_j∈Pd （ ?σ_vi） ）表示 v_j 是 v_i 的前置節(jié)點。

∈Sc（）表示j是;的后繼節(jié)點。

e_i-j 表示活動 i-j 的樂觀估計時間。

l_i-j 表示活動 i-j 的悲觀估計時間。

d_i-j 表示活動 i-j 的平均持續(xù)時間。

c_i-j 表示活動 i-j 的正常持續(xù)時間。

k_i 表示節(jié)點 i 的關(guān)鍵度指數(shù)。

1. 2 概念定義

1994年Soroush[2I]首次提出最關(guān)鍵路線（MostCriticalPath，MCP）的概念，根據(jù)Malcolm等22對關(guān)鍵活動、關(guān)鍵路線和活動關(guān)鍵度的定義，本文中PERT網(wǎng)絡(luò)相關(guān)概念表述如下：

（1）定義1：節(jié)點關(guān)鍵度指數(shù)。其表示某個網(wǎng)絡(luò)節(jié)點在整個PERT網(wǎng)絡(luò)計劃圖中的重要程度，關(guān)鍵度指數(shù)越大，表示該節(jié)點在整個項目中越重要。節(jié)點 i 的關(guān)鍵度指數(shù)用 k_i 表示，關(guān)鍵度指數(shù)最大的節(jié)點為最關(guān)鍵節(jié)點。

（2）定義2：最關(guān)鍵路徑。其表示從起始節(jié)點1開始至節(jié)點 n 結(jié)束的所有路徑中，節(jié)點關(guān)鍵度指數(shù)之和最大的路徑。

1.3 構(gòu)建圖信息

20世紀50年代末Malcolm等[23]提出經(jīng)典PERT網(wǎng)絡(luò)，它是關(guān)鍵路徑法（CriticalPathMeth-od，CPM）的拓展，但二者存在一些差異。CPM通常假設(shè)項目活動持續(xù)時間是確定的（側(cè)重確定性問題）；而PERT則假設(shè)活動持續(xù)時間是隨機的，通過最樂觀、最悲觀、最可能的估計時間來描述其不確定性（側(cè)重不確定問題）。PERT方法中各活動間的邏輯關(guān)系明確，但假定某項活動的持續(xù)時間為隨機變量，無法給出具體數(shù)值。對于時間估計，使用適當?shù)母怕史植迹ㄆ┤缛欠植?，?分布等）表示活動時間的隨機性。因此，令 、b 、 ?_m 分別表示某項活動的最樂觀、最悲觀、最可能估計時間，且三者的值可視為隨機概率分布的參數(shù)，根據(jù)同分布中心極限定理，其頻率趨近于一條正態(tài)分布曲線 表示活動持續(xù)時間期望， σ²=（ΔbΔ-a）²/36 表示活動持續(xù)時間方差。

另外，經(jīng)典PERT方法有許多假設(shè)條件：各活動持續(xù)時間服從 β 分布，且相互獨立；對于活動起始節(jié)點 i ，用 μ_i 和 σ_i² 表示其不確定性；網(wǎng)絡(luò)計劃圖中關(guān)鍵路徑上的工序數(shù)量足夠大，并能滿足中心極限定理，其他路徑成為關(guān)鍵路徑的概率可忽略；網(wǎng)絡(luò)計劃中某條路徑的總工期服從正態(tài)分布。在以上假設(shè)的基礎(chǔ)上確定關(guān)鍵路徑，并得到某路徑上項目總工期期望 T_e 和方差 ，公式如下

由上式可知， T_e 越大，路徑越關(guān)鍵，當 T_e 為最大值時的路徑為關(guān)鍵路徑。若 越小，則該路徑工期期望值的可靠度越高；若 σ_e² 越大，則該路徑工期期望值的可靠度越低，工期不確定性大。根據(jù)大數(shù)定理，項目工期為正態(tài)分布，得到標準偏移值 z ，公式如下

因此， ，其概率密度函數(shù)f（T） 為項目計劃工期 T 的完工概率， f（T） 可進一步運用于項目進度計劃制定、資源分配等過程中，公式如下

結(jié)合本文，根據(jù)PERT網(wǎng)絡(luò)計劃的平均持續(xù)時間構(gòu)建圖信息，公式如下

式中， d_i 表示活動 i 的平均持續(xù)時間， 、 c_i 分別表示活動 i 的樂觀估計時間、悲觀估計時間和正常持續(xù)時間。

2基于Chebyshev 譜方法的 PERT 網(wǎng)絡(luò)節(jié)點關(guān)鍵度指數(shù)分析

譜方法采用空間轉(zhuǎn)換的思想，先將問題的解用正交函數(shù)進行譜展開，即可將原始物理空間中的問題等價轉(zhuǎn)換至譜空間進行求解，求得結(jié)果后，再將展開系數(shù)轉(zhuǎn)換至原始物理空間。進行空間轉(zhuǎn)換的原因在于譜方法具有“無窮階”收斂性，即求解誤差呈指數(shù)收斂[25-26]。譜方法通常用來求解微分方程數(shù)值解。目前，該方法已廣泛應(yīng)用于大氣科學、聲學、流體力學等領(lǐng)域[27-30]

活動起始節(jié)點 i 的關(guān)鍵度指數(shù) k_i 表明若該節(jié)點的最早開始時間延遲，則整個網(wǎng)絡(luò)的最早完成時間也隨之延遲。因此，一個節(jié)點的 k_i 值可通過計算該節(jié)點的所有后繼節(jié)點的 k 值與該節(jié)點到每個后繼節(jié)點的松弛時間之和，再除以節(jié)點到后繼節(jié)點松弛時間的最大值求得，公式如下

其中， E 是PERT網(wǎng)絡(luò)中的邊集。每個節(jié)點的關(guān)鍵度指數(shù) k 的值可以通過求解線性方程求得，公式如下

求解得到 k_i 后，通過 k_i 值判斷每個節(jié)點的關(guān)鍵度。若 k_i=1 ，則節(jié)點 i 為關(guān)鍵節(jié)點；若 k_ilt;1 ，則節(jié)點 i 為非關(guān)鍵節(jié)點。通過迭代求解上述線性方程組，可使用矩陣乘法進行迭代。設(shè) k^（0）= （204號 （1，1，…，1）^T ，則 k^（i+1）=Mk^（i） ，其中 L，D 是 L 的對角線矩陣， 是 P 的下三角部分，即 P=L+D+U 中的 。不斷迭代求解，直到k^（i+1） 與 k^（i） 之間的差距小于預(yù)設(shè)精度，即可得到最終的關(guān)鍵度指數(shù)，公式如下

對鄰接矩陣的譜進行分解，公式如下

式中， A 是由 A 的特征值組成的對角矩陣， 是A 的特征向量矩陣。然后采用譜半徑（鄰接矩陣的最大特征值的模）計算節(jié)點的關(guān)鍵度指數(shù)，公式如下

求得節(jié)點 i 的關(guān)鍵度指數(shù)，公式如下

式中， λ_i 是鄰接矩陣 A 的第 i 個特征值。該式的含義是節(jié)點的關(guān)鍵度指數(shù)與其在鄰接矩陣的特征值中位置有關(guān)，特征值離譜半徑越遠，節(jié)點的關(guān)鍵度指數(shù)就越高；當節(jié)點的特征值與譜半徑非常接近時，節(jié)點的關(guān)鍵度指數(shù)將會非常高。若某個節(jié)點多次出現(xiàn)在鄰接矩陣的特征值中，則在計算該節(jié)點的關(guān)鍵度指數(shù)時，應(yīng)該將其所有特征值都考慮在內(nèi)。此外，若譜半徑為零，則所有節(jié)點的關(guān)鍵度指數(shù)都應(yīng)設(shè)置為1。

G 的拉普拉斯矩陣為

L=D-A

式中， A 是圖的鄰接矩陣， 是圖的度矩陣，公式如下

式中， D_ij=0 ， i≠j

定義 L 的特征值為 ，對應(yīng)的特征向量為 v₁ ， v₂ ，…， v_n 。由于 L 是實對稱矩陣，因此其特征向量是正交的，公式如下

定義每個節(jié)點 v_i 的關(guān)鍵度指數(shù)為 k_i ，公式如下

k_i=max_j=1ⁿ∣v_ij∣

式中， v_ij 表示 v_i 在第 j 個特征向量上的分量，得到k_i 的計算公式，公式如下

由于 k_i 的計算過程涉及 的所有特征向量，因此，需先得到 L 的所有特征向量。采用Cheby-shev譜方法計算 L 的所有特征向量。假設(shè)需計算L 的前 k 個特征向量，則需使用 k 階Chebyshev多項式求得 T_k（x） ，公式如下

T_?k（x）=2xT_?k-1（x）-T_?k-2（x）

式中， T₀（x）=1，T₁（x）=x 。通過迭代 L 的特征向量，計算 L 的所有特征向量。假設(shè)有一個向量 ，需計算 L 乘以 的結(jié)果，可使用Chebyshev多項式展開 ，公式如下

其中， 是 L 的標準化形式，公式如下

由于 的特征值在［－1，1］之間，因此可使用Chebyshev展開 ，公式如下

式中， T_i（x） 是 i 次Chebyshev多項式， x 是 的歸一化特征值，即 2（λ；-λ）-1，c：為系數(shù)，公式如下

式中， L_ij 是 的第 i 行第 j 列的元素。展開 后，可以將Chebyshev系數(shù)作為特征向量，公式如下

通過 u_i 中的最大值和最小值計算得到歸一化特征值 x_i ，公式如下

求得節(jié)點 χ_i 的關(guān)鍵度指數(shù)，公式如下

k_i=1-x_i

3基于Dijkstra算法的PERT網(wǎng)絡(luò)關(guān) 鍵路徑分析

Dijkstra算法是一種基于貪心策略的路徑規(guī)劃經(jīng)典算法，基于廣度優(yōu)選搜索的思想，以起始節(jié)點為中心原點進行層層擴展，根據(jù)最短路徑長度遞增次序反復(fù)進行路徑迭代，直至終止節(jié)點停止搜索，得到可行域內(nèi)的最短路徑。Dijkstra算法在交通、導航、智能停車場等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，本文采用該算法對PERT網(wǎng)絡(luò)節(jié)點進行分析。

本文以PERT網(wǎng)絡(luò)節(jié)點1為起點，以節(jié)點 n 為終點，計算從節(jié)點1至節(jié)點 n 的最短工期時間。具體步驟如下[31-32]：

4案例分析

（1）將PERT有向網(wǎng)絡(luò)圖中所有節(jié)點劃分為兩個集合，集合 P 表示已訪問的節(jié)點集合，集合Q 表示未訪問的節(jié)點集合。 d_i 表示當前節(jié)點 i 到起始節(jié)點1的距離。先將起始節(jié)點到任意節(jié)點的距離初始為無窮小。

（2）訪問起始節(jié)點1，設(shè)置 d₁=0 ，并將其起始節(jié)點1置于集合 P 內(nèi)，將起始節(jié)點記為當前節(jié)點。

（3）在集合 Q 中對當前節(jié)點的所有鄰節(jié)點進行遍歷，尋找代價最低的節(jié)點，并將該節(jié)點置于集合 P 內(nèi)，并檢驗最短路徑是否可松弛。

（4）重復(fù)步驟（3），至集合 Q 為空集，完成最短路徑搜索，結(jié)束計算。

以G公司運維軟件開發(fā)項目為例，分析PERT網(wǎng)絡(luò)節(jié)點關(guān)鍵度指數(shù)，尋找網(wǎng)絡(luò)最關(guān)鍵路徑。G公司運維軟件開發(fā)項目網(wǎng)絡(luò)活動持續(xù)時間估值見表1，G公司運維軟件開發(fā)項目網(wǎng)絡(luò)計劃圖如圖1所示。

（續(xù)）

4.1節(jié)點關(guān)鍵度指數(shù)分析

根據(jù)圖1，可得該圖的鄰接矩陣 A 和度矩陣D ，公式如下

而一步求得拉普拉斯矩陣 L ，公式如下

最后，計算每個節(jié)點 v_i 的關(guān)鍵度指數(shù) k_i ，如下所述。

K =（8.565，8.212，2.818，2.447，3.098，2.070，1.349，0.709，0.316，0.885，0.224，0.761，0.349，0.074，0.304，0.174，0.830，0.730）

4.2最關(guān)鍵路徑分析

本文目的是在PERT有向網(wǎng)絡(luò)中，根據(jù)每個節(jié)點的關(guān)鍵度指數(shù)尋找一條關(guān)鍵度指數(shù)和最大的路徑，Dijkstra算法是尋找最短路徑的常用算法。因此，在路徑搜索過程中，將訪問節(jié)點所花費的代價設(shè)置 c_i=1/k_i 。運行Dijkstra 算法，得到關(guān)鍵度指數(shù)和最大路徑為{1，5，8，10，13，15，18}，對應(yīng)的關(guān)鍵度指數(shù)和為14.644。最關(guān)鍵路徑示意圖如圖2所示，最關(guān)鍵路徑用黑色箭頭加粗標記。即由節(jié)點1開始，通過節(jié)點5、8、10、13、15，最終到達節(jié)點18，該路徑為示例的PERT網(wǎng)絡(luò)，從起始節(jié)點1開始至節(jié)點18結(jié)束的所有路徑中，節(jié)點關(guān)鍵度指數(shù)之和最大的路徑。

4.3實驗結(jié)論

面對大規(guī)模PERT網(wǎng)絡(luò)的情況，本文所提方法能夠快速精準地完成PERT網(wǎng)絡(luò)節(jié)點關(guān)鍵度指數(shù)和最關(guān)鍵路徑的推導，而MC模擬必須重復(fù)多次才能實現(xiàn)收斂。然而，在大型項目的總體規(guī)劃和推廣過程中，通常需要協(xié)調(diào)、實施數(shù)千項相互依存的活動規(guī)劃。因此，活動規(guī)模越大，相互依存關(guān)系就越復(fù)雜，本文所提方法的優(yōu)越性就越凸顯。

5 結(jié)語

本文主要針對網(wǎng)絡(luò)計劃圖中的節(jié)點進行研究，在大規(guī)模和復(fù)雜的PERT網(wǎng)絡(luò)圖領(lǐng)域，通常涉及許多任務(wù)、依賴關(guān)系和不確定性，本文創(chuàng)新性提出一種基于Chebyshev譜方法的PERT網(wǎng)絡(luò)節(jié)點關(guān)鍵度指數(shù)推導方法，以及基于Dijkstra算法搜索PERT網(wǎng)絡(luò)最關(guān)鍵路徑的方法。并通過G公司運維軟件開發(fā)項目算例分析測試了程序代碼，驗證了所提出方法的可行性和有效性，為項目統(tǒng)籌規(guī)劃中的進度管理提供了新的思路。通過上述方法，項目管理人員可以深入了解項目進度、關(guān)鍵路徑和資源分配。即使對于非常復(fù)雜的項目組，其方法也可以為項自經(jīng)理和研究人員提供輔助決策，優(yōu)化項目管理策略，進一步推進項目規(guī)劃和執(zhí)行過程。

然而，本文提出的方法仍有許多問題需要進一步研究。例如，將PERT網(wǎng)絡(luò)分析與人工智能、機器學習和大數(shù)據(jù)分析等其他先進技術(shù)和工具相結(jié)合，使項目管理更加智能，更好地應(yīng)對復(fù)雜性和不確定性。隨著敏捷項自管理方法的興起，未來的PERT網(wǎng)絡(luò)分析工具可能會與敏捷方法集成，以更好地適應(yīng)頻繁變化的項自環(huán)境。隨著實時數(shù)據(jù)和傳感器技術(shù)的發(fā)展，其能夠?qū)崟r監(jiān)控項自進度和最關(guān)鍵路徑，根據(jù)實際數(shù)據(jù)進行調(diào)整，實現(xiàn)項目實時動態(tài)管理

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收稿日期：2025-03-11

作者簡介：

張玉婷（通信作者）（1991—），女，博士，工程師，研究方向：聯(lián)合作戰(zhàn)體系仿真分析與評估。

楊鏡宇（1971—），男，博士，正高級工程師，博士研究生導師，研究方向：聯(lián)合作戰(zhàn)體系仿真分析與評估。