• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    鐵打的模型 變換的圖形

    2025-07-03 00:00:00余望鴻
    新課程·上旬 2025年17期
    關(guān)鍵詞:垂線動點最值

    線段最值問題,作為中考數(shù)學中的熱點與難點,歷來以壓軸題的形式出現(xiàn),對學生構(gòu)成了相當大的挑戰(zhàn),這類問題不僅在教學層面上被視為難點,還在深層次上體現(xiàn)了數(shù)學核心素養(yǎng)的重要性。它根植于軸對稱這一基礎(chǔ)數(shù)學概念,通過對“將軍飲馬\"等經(jīng)典問題的衍生與拓展,展現(xiàn)了數(shù)學問題的豐富內(nèi)涵與深刻本質(zhì)。

    在探索線段最值問題的過程中,教師和學生需要共同努力,深人挖掘其內(nèi)在規(guī)律與本質(zhì)特征。這一問題不僅要求學生具備扎實的數(shù)學基礎(chǔ),還需具備抽象思考與直觀想象的能力。教師的引導與學生的自主探究,可以逐步構(gòu)建起解決問題的數(shù)學模型,從而找到有效的解題策略。

    線段最值問題的教學,不僅是對數(shù)學知識的傳授,還是對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。它要求學生在面對復雜問題時,能夠保持清晰的思維與嚴謹?shù)倪壿?,通過不斷嘗試與修正,最終找到問題的最優(yōu)解。這一過程不僅鍛煉了學生的數(shù)學能力,還培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新思維與解決問題的能力。

    因此,線段最值問題不僅是中考數(shù)學的重要考點,還是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的有效途徑。在未來的教學中,我們應(yīng)更加重視這一問題的教學與研究,以期為學生的數(shù)學學習與全面發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。

    本文將以“線段最值問題\"為專題,通過實例研討,介紹三種基本模型及其應(yīng)用策略。

    1.利用“兩點之間線段最短\"求線段和的最小值問題

    如圖1,兩定點A,B位于直線I同側(cè),在I上找一點C,使得點C到點A與點B的距離之和最短。

    圖1
    圖2

    解析如圖2,先作點B關(guān)于直線I的對稱點 ?B′ 然后連接 AB ,交直線I于點C,再連接BC,則點C就是所要找的點。

    “將軍飲馬\"模型是線段最值問題中最為基礎(chǔ)且常見的一種模型,該模型利用軸對稱的性質(zhì),將同側(cè)兩定點問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩定點問題,再根據(jù)公理“兩點之間線段最短”,從而輕松解決線段和的最小值問題。

    2.模型應(yīng)用

    如圖3,直線m是正五邊形ABCDE的對稱軸,點P是直線m上的動點,當 PB+PC 的值最小時,∠ BPC的度數(shù)是 。

    一、線段最值問題的基本模型

    圖3

    模型一:“將軍飲馬\"模型(或“一動兩定\"型)

    圖4

    解析如圖4,由于點C關(guān)于 m 的對稱點為點D,所以直接連接BD、PD,設(shè)BD與直線 m 相交于點P ,連接 CP 。

    由 PC=PD ,得 PB+PC=PB+PD≥BD ,所以當點P與 P 重合時, PB+PC 的值最小。又因為五邊形ABCDE是正五邊形,則有 BC=CD ! ∠BCD=108° ,所以∠CBD=∠CDB=36° ,又因為 PC=PD ,所以 ∠PCD= ∠PDC=36° ,所以 ∠BPC=72°

    模型二:“垂線段最短\"模型

    1.利用“垂線段最短\"將線段最值問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題

    如圖5,連接直線1外一點 P 與直線1上各點0, 其中 PO⊥I (我們稱PO為點 ΩP 到直線I的垂線段)。比較線段 P0,PA1,PA2,PA3 PA4,PA5 ,…的長短,則有PO最短。

    圖5

    “垂線段最短”模型是另一種常見的線段最值問題模型。該模型利用“垂線段最短\"的定理,將線段最值問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題。

    2.模型應(yīng)用

    如圖6,在 Δ ABC中, ∠BAC=60° , ∠C=45° AC= ,點 D 為邊BC上的動點,連接AD,以AD為直徑作 ?0 ,交邊AB、AC分別于點E、F,連接E、F,求EF的最小值。

    圖6
    圖7

    解析據(jù)圖6分析,當圓的大小一定時,EF的值也確定,而圓的大小由直徑AD決定,所以當AD最小時,EF的值最小。根據(jù)定理\"垂線段最短\"可知,當AD ⊥ BC時,AD的值最小。

    如圖7,作AD ⊥ BC于點D,作OH ⊥ EF于H,連接OE,OF。

    在Rt△ADC中,因為 , ∠C=45° ,所以 ,則

    由圓周角定理可得, ∠EOF=2∠BAC=120° ,則有∠EOH=60° ,所以 EF=2EH=0E?sin60°=6 ,即EF的最小值為6。

    模型三:“將軍飲馬\"與“垂線段最短\"綜合模型(或“一定兩動\"型)

    除了上述兩種基本模型外,線段最值問題中還存在一種更為復雜的綜合模型—“將軍飲馬”與“垂線段最短\"綜合模型。該模型結(jié)合了前兩種模型的特點,要求學生在解題過程中靈活運用兩種模型的原理與技巧。

    1.\"一定兩隨動\"型

    (1)兩個動點分別在兩條直線上任意運動,求線段之后最小值問題

    如圖8,動點A在直線 m 上運動,點B為一定點,且兩點均在直線n的同側(cè),在直線n上找一點P,使得 PA+PB 的值最小。

    圖8
    圖9

    解析如圖9,先作點B關(guān)于直線n的對稱點B ,然后過 B 于點A,交直線 n 于點P,再連接PB。此時, PA+PB=PA+PB=AB

    此題型本質(zhì)就是借助“將軍飲馬\"題型思想,將PA+PB 的值轉(zhuǎn)化為線段AB的長度,但由于點A為直線上一動點, B 為一定點,故AB的長度是不確定的,則需要根據(jù)\"垂線段最短\"的思想,當 AB⊥m 時,AB的長度最短,故而解答出本題。

    (2)模型應(yīng)用

    如圖10,在 RtΔABC 中, ∠ACB=90° AC=3 BC=4,AB=5,AD 平分 ∠CAB 交BC于D點,E、F分別是AD、AC上的動點,則 CE+EF 的最小值為多少。

    圖10
    圖11

    解析先作對稱點并畫出對稱線段,將同側(cè)兩線段轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩線段,然后使兩線段共線并與AB垂直時, CE+EF 的值最小。

    如圖11作點F關(guān)于直線AD的對稱點G,由于AD平分∠CAB,所以點G在AB上。連接EG,則有 EF= EG, CE+EF=CE+EG 。所以要求 CE+EF 的最小值即為求 CE+EG 的最小值,故當C、E、G三點共線時,符合要求。此時,作 CH⊥AB 于H點,則CH的長即為CE+EF 的最小值。由等面積法可知, AC?BC=AB?CH 所以 即 CE+EF 的最小值為 。

    2.“一定一動一從動\"型

    (1)一個動點在一直線上任意運動,另一動點隨著這個動點在另一直線運動,求線段之后最小值問題

    如圖12,B為一定點,動點P在直線n上運動,過點P作PA 1m 于點A,連接PB,求 PA+PB 的最小值。

    A A' 中 m

    4 11BA11PP' n、'B'

    圖12圖13

    解析如圖13,先作點B關(guān)于直線 的對稱點B ,連接 PB ,此時 PA+PB=PA+PB 。然后過 B 作BA⊥m 于點 ,交直線 n 于點 P 。則有 PA+PB= PA+PB?PA+PB=AB

    此題型先是作PB的對稱線段 PB ,將 PA+PB 的值轉(zhuǎn)化為 PA+PB 的值,點A、P分別是兩直線上的動點,且要求 PA⊥m 。則直接作 BA⊥m 即可,這樣既滿足了 ,又滿足 A,P,B 三點共線,即 P A+PB 的值最小,從而解答出本題。

    (2)模型應(yīng)用

    如圖14,在 ΔABC 中, AB=AC ∠B=60° ,AD ⊥ BC于點 D 。點 P 是AD上的一個動點,PE ⊥AC 于點E,連接CP。若 AD=6 ,則 PC+PE 的最小值是( )

    A.5 B.6 C.8 D.9

    圖14
    圖15

    解析由于等邊三角形的特殊性,它各邊上的高所在直線本身就是它的對稱軸,所以可直接畫出對稱線段,然后根據(jù)“兩點之間線段最短”及“垂線段最短”,即可得出線段和的最小值。

    如圖15,作BE '⊥AC 于E',交AD于點 P ,連接 PC,PB 因為在 ΔABC 中, AB=AC ∠B=60° ,所以ΔABC 是等邊三角形。又因為AD ⊥ BC,則有 BD= CD,所以點C關(guān)于AD的對稱點為點B,所以 PC= PB,則有 PC+PE=PB+PE 。顯然,當P、BE三點共線且BE ⊥AC 時, PC+PE 的值最小,即為BE'的值。因為BE ⊥AC ,所以BE =AD=6 ,所以 PC+PE 的最小值是6,故選 。

    二、探究思考與教學建議

    (一)探究思考

    1.線段最值問題的核心價值

    數(shù)學核心素養(yǎng)的體現(xiàn):線段最值問題不僅是中考的熱點,還是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)(如抽象思維、邏輯推理、直觀想象)的有效載體。通過解決這類問題,學生能夠提升分析復雜問題的能力,形成嚴謹?shù)臄?shù)學思維。

    基礎(chǔ)與拓展的結(jié)合:線段最值問題根植于軸對稱、垂線段最短等基礎(chǔ)數(shù)學概念,通過對經(jīng)典問題的衍生與拓展,展現(xiàn)了數(shù)學問題的豐富內(nèi)涵與深刻本質(zhì),這種從基礎(chǔ)到拓展的過程,有助于學生構(gòu)建系統(tǒng)的數(shù)學知識體系。

    2.基本模型的構(gòu)建與應(yīng)用

    “將軍飲馬\"模型:該模型利用軸對稱性質(zhì),將同側(cè)兩定點問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩定點問題,再根據(jù)“兩點之間線段最短”的公理,解決線段和的最小值問題,這種轉(zhuǎn)化思想在解決線段最值問題中具有普遍性。

    “垂線段最短\"模型:該模型利用“垂線段最短”的定理,將線段最值問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題,這種轉(zhuǎn)化不僅簡化了問題,還培養(yǎng)了學生的空間想象能力。

    綜合模型:綜合模型結(jié)合了“將軍飲馬\"與“垂線段最短”兩種模型的特點,要求學生在解題過程中靈活運用兩種模型的原理與技巧,這種綜合應(yīng)用能力是數(shù)學素養(yǎng)的重要體現(xiàn)

    3.解題策略與思維培養(yǎng)

    自主探究與教師引導:在探索線段最值問題的過程中,教師和學生需要共同努力,深入挖掘其內(nèi)在規(guī)律與本質(zhì)特征,逐步構(gòu)建解決問題的數(shù)學模型,從而找到有效的解題策略。

    抽象思考與直觀想象:線段最值問題要求學生具備扎實的數(shù)學基礎(chǔ)及抽象思考與直觀想象的能力,這種能力的培養(yǎng)不僅有助于解決數(shù)學問題,還能提升學生的綜合素質(zhì)。

    (二)教學建議

    1.強化基礎(chǔ)概念的教學

    軸對稱與垂線段最短:在教學中,教師應(yīng)重點講解軸對稱和垂線段最短的概念,通過實例和圖形演示,幫助學生理解這些基礎(chǔ)概念的本質(zhì)。

    模型構(gòu)建:教師要引導學生通過實例,逐步構(gòu)建“將軍飲馬\"和\"垂線段最短\"兩種基本模型,并理解其應(yīng)用策略。

    2.培養(yǎng)解題策略與思維

    自主探究:學生要通過自主探究,發(fā)現(xiàn)線段最值問題的內(nèi)在規(guī)律與本質(zhì)特征,教師可以設(shè)計一些探究性問題,引導學生逐步深入。

    教師引導:在探究過程中,教師應(yīng)適時引導,幫助學生理清思路,找到解題的關(guān)鍵。同時,教師應(yīng)注重培養(yǎng)學生的抽象思考與直觀想象能力。

    3.綜合應(yīng)用與拓展

    綜合模型教學:在教學中,教師應(yīng)引人綜合模型,讓學生理解并掌握“將軍飲馬\"與“垂線段最短”兩種模型的結(jié)合應(yīng)用,通過綜合模型的教學,提升學生的綜合應(yīng)用能力。

    拓展練習:教師設(shè)計一些拓展練習,讓學生在解決復雜問題的過程中,進一步鞏固和提升數(shù)學素養(yǎng),這些練習可以包括一些變式題、綜合題等。

    4.注重數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

    邏輯思維與嚴謹性:在教學中,教師應(yīng)注重培養(yǎng)學生的邏輯思維與嚴謹性,通過線段最值問題的解決,讓學生形成嚴謹?shù)臄?shù)學思維,提高分析問題的能力。

    創(chuàng)新思維與解決問題的能力:線段最值問題的解決過程,也是培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維與解決問題能力的過程,教師應(yīng)鼓勵學生嘗試不同的解題方法,培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維。

    5.結(jié)合中考實際

    中考題型分析:在教學中,教師應(yīng)結(jié)合中考實際,分析線段最值問題在中考中的題型和考點,通過中考題型的分析,讓學生了解考試要求,提高應(yīng)試能力。

    模擬訓練:教師要設(shè)計一些模擬訓練題,讓學生在模擬考試中進一步鞏固和提升解題能力,這些模擬訓練題可以包括一些歷年中考真題、模擬題等。

    三、結(jié)語

    本文介紹的三種“線段最值問題”模型都是初中數(shù)學中常見的問題,該類問題的解題方法都是建立在兩個基本定理的基礎(chǔ)之上。模型一和模型二可直接根據(jù)定理求解,模型三是模型一與模型二的綜合,是對兩個定理的疊合,具有一定的靈活性和延展性。

    本文通過對線段最值問題的深入剖析和探討,揭示了三種基本模型的本質(zhì)特征與應(yīng)用策略,同時,結(jié)合具體例題和教學實踐,提出了針對性的教學策略和建議,然而,線段最值問題作為中考數(shù)學中的難點與熱點之一,其解題方法和技巧仍然需要不斷地探索和完善。未來,我們將繼續(xù)深人研究線段最值問題的相關(guān)理論和教學實踐,以期為學生提供更加優(yōu)質(zhì)的教學資源和解題指導。

    (作者單位:廈門市興賢學校)

    編輯:李琴芳

    猜你喜歡
    垂線動點最值
    單調(diào)任意恒成立,論參離參定最值
    多角度思維實現(xiàn)平面與立體的轉(zhuǎn)化——學習微專題《明修棧道(作垂線)、暗度陳倉(找垂足)》有感
    畫垂線的方法
    近岸懸沙垂線分布多元線性回歸分析
    海洋通報(2021年2期)2021-07-22 07:55:26
    聚焦圓錐曲線中的最值問題
    巧用不等式求最值
    數(shù)列中的最值題型例講
    函數(shù)中的動點問題解答策略
    分類討論化解動點型題
    動點軌跡方程的解法探討
    欧美+日韩+精品| 亚洲精品乱码久久久v下载方式| 我要看日韩黄色一级片| 夫妻午夜视频| 亚洲精品乱久久久久久| 九草在线视频观看| 尾随美女入室| 一级爰片在线观看| 久久国产精品男人的天堂亚洲 | 午夜免费鲁丝| 精品国产三级普通话版| 久久久精品94久久精品| 亚洲精品自拍成人| av卡一久久| 亚洲精品一区蜜桃| 国产在线男女| www.色视频.com| 亚洲,一卡二卡三卡| 免费久久久久久久精品成人欧美视频 | 99热这里只有精品一区| 久久精品国产自在天天线| 久久99热这里只有精品18| 一区在线观看完整版| 岛国毛片在线播放| 国产成人精品一,二区| 熟女人妻精品中文字幕| 91在线精品国自产拍蜜月| 亚洲精品久久久久久婷婷小说| 国产在线视频一区二区| 亚洲第一av免费看| 亚洲国产成人一精品久久久| 久久99热6这里只有精品| 亚洲国产成人一精品久久久| av线在线观看网站| 色视频www国产| 免费在线观看成人毛片| 国产熟女欧美一区二区| 寂寞人妻少妇视频99o| 亚洲av国产av综合av卡| 亚洲国产av新网站| 精品一区二区免费观看| 精品午夜福利在线看| 成人国产av品久久久| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91 | xxx大片免费视频| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| a级毛片免费高清观看在线播放| 最后的刺客免费高清国语| 国产精品一二三区在线看| 国产深夜福利视频在线观看| 亚洲av不卡在线观看| 大又大粗又爽又黄少妇毛片口| 欧美最新免费一区二区三区| 中文字幕av成人在线电影| 亚洲美女视频黄频| 国产亚洲最大av| 日韩一本色道免费dvd| 欧美+日韩+精品| 国产亚洲精品久久久com| 精品久久久久久久末码| 日韩强制内射视频| 久久久久久久久大av| 嫩草影院入口| 日韩中文字幕视频在线看片 | av播播在线观看一区| 国产白丝娇喘喷水9色精品| 人妻制服诱惑在线中文字幕| 涩涩av久久男人的天堂| 五月伊人婷婷丁香| 久久久午夜欧美精品| 日韩不卡一区二区三区视频在线| 久久久久国产网址| 一个人看的www免费观看视频| tube8黄色片| 国产人妻一区二区三区在| 婷婷色综合大香蕉| 一个人看的www免费观看视频| 秋霞在线观看毛片| 国产成人a∨麻豆精品| 我的女老师完整版在线观看| h日本视频在线播放| 黄色配什么色好看| 亚洲精品一二三| 成人亚洲精品一区在线观看 | 久久久久久久亚洲中文字幕| 97热精品久久久久久| 看非洲黑人一级黄片| 日本猛色少妇xxxxx猛交久久| 国产黄频视频在线观看| 天天躁夜夜躁狠狠久久av| 制服丝袜香蕉在线| 亚洲经典国产精华液单| 尤物成人国产欧美一区二区三区| 国产黄片视频在线免费观看| 亚洲欧洲国产日韩| 国产黄片美女视频| 在线观看一区二区三区激情| 亚洲国产色片| 狂野欧美激情性xxxx在线观看| 欧美精品一区二区免费开放| 大又大粗又爽又黄少妇毛片口| 中文乱码字字幕精品一区二区三区| 美女主播在线视频| 91久久精品电影网| 成年美女黄网站色视频大全免费 | 99久国产av精品国产电影| 成年av动漫网址| 色视频www国产| 亚洲色图综合在线观看| 欧美一区二区亚洲| 亚洲高清免费不卡视频| 国语对白做爰xxxⅹ性视频网站| 亚洲高清免费不卡视频| 国产伦在线观看视频一区| 午夜激情久久久久久久| 99热这里只有是精品在线观看| 亚洲国产成人一精品久久久| 久久av网站| 国产精品一区二区三区四区免费观看| 国产精品99久久久久久久久| 99久久精品一区二区三区| 人体艺术视频欧美日本| 亚洲国产成人一精品久久久| a级毛色黄片| 久久97久久精品| 精品久久久久久久末码| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 视频区图区小说| 国产老妇伦熟女老妇高清| 丰满人妻一区二区三区视频av| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 天堂中文最新版在线下载| 日日撸夜夜添| 国产精品久久久久久久电影| 老司机影院毛片| 久久久欧美国产精品| h日本视频在线播放| 在线天堂最新版资源| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频 | 国国产精品蜜臀av免费| 免费久久久久久久精品成人欧美视频 | 精品人妻一区二区三区麻豆| 亚洲人成网站在线观看播放| 美女内射精品一级片tv| 亚洲天堂av无毛| 亚洲av欧美aⅴ国产| 黄色一级大片看看| 国产黄频视频在线观看| 天美传媒精品一区二区| 欧美3d第一页| 欧美+日韩+精品| 只有这里有精品99| av又黄又爽大尺度在线免费看| 国产免费视频播放在线视频| 亚洲不卡免费看| 国产成人freesex在线| 一级毛片黄色毛片免费观看视频| 成人毛片60女人毛片免费| 99精国产麻豆久久婷婷| 国产午夜精品久久久久久一区二区三区| 3wmmmm亚洲av在线观看| 在线观看一区二区三区| 九色成人免费人妻av| 一级二级三级毛片免费看| 大片免费播放器 马上看| 国产美女午夜福利| 免费看av在线观看网站| 亚洲国产成人一精品久久久| 精品熟女少妇av免费看| 中文在线观看免费www的网站| 成人美女网站在线观看视频| 99国产精品免费福利视频| 精品国产一区二区三区久久久樱花 | 国产精品久久久久成人av| 2021少妇久久久久久久久久久| 男人爽女人下面视频在线观看| 美女高潮的动态| 色视频www国产| 国产精品人妻久久久久久| 亚洲国产日韩一区二区| 99久国产av精品国产电影| 嫩草影院新地址| 亚洲天堂av无毛| 久久久久久伊人网av| 六月丁香七月| 国产黄色视频一区二区在线观看| 人妻 亚洲 视频| 久久久亚洲精品成人影院| 青春草亚洲视频在线观看| 热re99久久精品国产66热6| 久久亚洲国产成人精品v| 亚洲av日韩在线播放| 日本午夜av视频| 女人十人毛片免费观看3o分钟| 国产亚洲一区二区精品| 色5月婷婷丁香| 亚洲精品乱码久久久久久按摩| 3wmmmm亚洲av在线观看| 国产伦精品一区二区三区视频9| 三级国产精品欧美在线观看| 啦啦啦视频在线资源免费观看| 在线观看人妻少妇| 亚洲欧美一区二区三区国产| 欧美 日韩 精品 国产| 建设人人有责人人尽责人人享有的 | 91精品国产国语对白视频| 在线观看三级黄色| 少妇熟女欧美另类| 七月丁香在线播放| 十分钟在线观看高清视频www | 免费人成在线观看视频色| 夜夜爽夜夜爽视频| 国产精品一区www在线观看| 成人毛片60女人毛片免费| 欧美日韩视频精品一区| 亚洲国产av新网站| 欧美精品国产亚洲| 精品少妇久久久久久888优播| 美女xxoo啪啪120秒动态图| 一个人看视频在线观看www免费| 国产成人aa在线观看| 欧美精品亚洲一区二区| 久热久热在线精品观看| 精品一品国产午夜福利视频| h日本视频在线播放| 91午夜精品亚洲一区二区三区| 制服丝袜香蕉在线| 日本-黄色视频高清免费观看| 欧美精品人与动牲交sv欧美| 精品少妇黑人巨大在线播放| 欧美精品人与动牲交sv欧美| 婷婷色综合大香蕉| 中国国产av一级| 国产精品熟女久久久久浪| 国产免费视频播放在线视频| 中文乱码字字幕精品一区二区三区| 免费人妻精品一区二区三区视频| 草草在线视频免费看| 久久ye,这里只有精品| 丰满迷人的少妇在线观看| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜 | www.色视频.com| 久久久国产一区二区| 哪个播放器可以免费观看大片| 国产日韩欧美在线精品| 一本色道久久久久久精品综合| 国产亚洲91精品色在线| 国产精品久久久久久av不卡| 干丝袜人妻中文字幕| 又爽又黄a免费视频| av在线老鸭窝| 少妇高潮的动态图| 小蜜桃在线观看免费完整版高清| 免费大片18禁| 在线 av 中文字幕| 欧美高清性xxxxhd video| 尤物成人国产欧美一区二区三区| 亚洲欧美一区二区三区国产| 亚洲第一av免费看| 国产综合精华液| 国产精品久久久久久久电影| 国产 一区 欧美 日韩| 岛国毛片在线播放| 亚洲精品视频女| 国产精品欧美亚洲77777| av女优亚洲男人天堂| 中文字幕人妻熟人妻熟丝袜美| 国产在线男女| 国产黄片美女视频| 边亲边吃奶的免费视频| 久久精品国产自在天天线| 少妇人妻 视频| 精品国产乱码久久久久久小说| 精品国产三级普通话版| 欧美日韩精品成人综合77777| 久久韩国三级中文字幕| 成年人午夜在线观看视频| 九九爱精品视频在线观看| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 人妻一区二区av| 你懂的网址亚洲精品在线观看| 亚洲av成人精品一二三区| 亚洲天堂av无毛| 久久久欧美国产精品| 国产极品天堂在线| 少妇人妻久久综合中文| av卡一久久| 亚洲成人一二三区av| kizo精华| 国产黄频视频在线观看| 国产精品欧美亚洲77777| 国产精品免费大片| 亚洲欧美成人精品一区二区| 99视频精品全部免费 在线| 美女主播在线视频| 国产亚洲欧美精品永久| 亚洲国产色片| 男人添女人高潮全过程视频| 91久久精品电影网| 色哟哟·www| 最近手机中文字幕大全| 蜜桃亚洲精品一区二区三区| 国产欧美日韩精品一区二区| 91久久精品电影网| 最近2019中文字幕mv第一页| 永久免费av网站大全| 少妇人妻一区二区三区视频| 国产精品爽爽va在线观看网站| 秋霞在线观看毛片| 亚洲精华国产精华液的使用体验| 欧美三级亚洲精品| 欧美亚洲 丝袜 人妻 在线| 亚洲av成人精品一二三区| 美女内射精品一级片tv| 在线亚洲精品国产二区图片欧美 | 中国三级夫妇交换| 伦理电影免费视频| 日韩不卡一区二区三区视频在线| 丰满迷人的少妇在线观看| 亚洲av.av天堂| 日韩亚洲欧美综合| 国产亚洲av片在线观看秒播厂| 国产欧美亚洲国产| 国产精品欧美亚洲77777| 国产深夜福利视频在线观看| 国产亚洲5aaaaa淫片| 王馨瑶露胸无遮挡在线观看| 干丝袜人妻中文字幕| 在线播放无遮挡| 九九在线视频观看精品| 在线观看美女被高潮喷水网站| 久久久久久久国产电影| 欧美日韩综合久久久久久| 免费不卡的大黄色大毛片视频在线观看| 一本久久精品| 国产久久久一区二区三区| 女人久久www免费人成看片| 最近最新中文字幕免费大全7| 97热精品久久久久久| 欧美高清性xxxxhd video| 在线播放无遮挡| av国产免费在线观看| 欧美精品亚洲一区二区| 少妇高潮的动态图| 日韩av免费高清视频| 精品久久久久久久末码| 国产成人91sexporn| 高清欧美精品videossex| 成人综合一区亚洲| 韩国av在线不卡| 国产在线男女| 色婷婷av一区二区三区视频| 国产视频内射| 看十八女毛片水多多多| 亚洲熟女精品中文字幕| 我要看黄色一级片免费的| 日韩国内少妇激情av| 一区二区av电影网| 性色av一级| 久久热精品热| 婷婷色综合www| 高清欧美精品videossex| 九九爱精品视频在线观看| 亚洲经典国产精华液单| 久久久精品94久久精品| 最近最新中文字幕大全电影3| av国产免费在线观看| 国产中年淑女户外野战色| 色综合色国产| 成人特级av手机在线观看| videos熟女内射| 欧美精品一区二区免费开放| 日本爱情动作片www.在线观看| 久久久久久久国产电影| 国产女主播在线喷水免费视频网站| 2018国产大陆天天弄谢| 久久人人爽人人片av| 成人免费观看视频高清| 色婷婷av一区二区三区视频| 久久久久国产精品人妻一区二区| 亚洲最大成人中文| 亚洲最大成人中文| 伦精品一区二区三区| 日韩中字成人| 99热这里只有是精品在线观看| 九九在线视频观看精品| 日韩大片免费观看网站| 建设人人有责人人尽责人人享有的 | 免费看不卡的av| 久久久国产一区二区| av在线老鸭窝| 精品一区二区免费观看| 嘟嘟电影网在线观看| 亚洲精品乱码久久久久久按摩| 在现免费观看毛片| 九九在线视频观看精品| 亚洲成人手机| 国产毛片在线视频| 国产精品爽爽va在线观看网站| 成年女人在线观看亚洲视频| 看非洲黑人一级黄片| 99热全是精品| 三级国产精品欧美在线观看| 亚洲欧美日韩卡通动漫| 中文字幕人妻熟人妻熟丝袜美| 我的老师免费观看完整版| 免费不卡的大黄色大毛片视频在线观看| 中文字幕精品免费在线观看视频 | 久久久色成人| 天堂8中文在线网| 91在线精品国自产拍蜜月| 日日摸夜夜添夜夜爱| 嘟嘟电影网在线观看| 久久国产精品大桥未久av | 女性生殖器流出的白浆| 日韩中文字幕视频在线看片 | 精品亚洲成a人片在线观看 | 王馨瑶露胸无遮挡在线观看| 男人添女人高潮全过程视频| 亚洲欧洲国产日韩| 综合色丁香网| 2021少妇久久久久久久久久久| 欧美97在线视频| 亚洲精品自拍成人| 春色校园在线视频观看| 欧美高清成人免费视频www| 在线观看三级黄色| 内地一区二区视频在线| 国产永久视频网站| 精品一区二区三区视频在线| 在线天堂最新版资源| 毛片一级片免费看久久久久| 中文字幕久久专区| 亚洲成人一二三区av| 国产毛片在线视频| 少妇的逼好多水| 国产v大片淫在线免费观看| 交换朋友夫妻互换小说| 免费观看无遮挡的男女| 秋霞伦理黄片| 久久久久久伊人网av| 国产av国产精品国产| 欧美精品亚洲一区二区| 欧美精品人与动牲交sv欧美| 亚洲精品国产av成人精品| 国产精品.久久久| 久久久久久久精品精品| 人人妻人人看人人澡| 日本vs欧美在线观看视频 | 久久人人爽av亚洲精品天堂 | 精品国产三级普通话版| 热re99久久精品国产66热6| 久久这里有精品视频免费| 日日撸夜夜添| 久久久久久久大尺度免费视频| 国产精品国产三级专区第一集| 在线 av 中文字幕| 久久久久国产网址| 大码成人一级视频| 日产精品乱码卡一卡2卡三| 欧美精品一区二区免费开放| 狂野欧美激情性bbbbbb| 国产免费一级a男人的天堂| 最后的刺客免费高清国语| 欧美最新免费一区二区三区| 久久久国产一区二区| 亚洲av不卡在线观看| 91aial.com中文字幕在线观看| 久久人人爽人人片av| 免费人妻精品一区二区三区视频| 久久久久性生活片| 插逼视频在线观看| 国产免费视频播放在线视频| 午夜老司机福利剧场| 国产免费又黄又爽又色| 美女脱内裤让男人舔精品视频| 99久久综合免费| 国产午夜精品一二区理论片| 欧美精品一区二区免费开放| 国产美女午夜福利| 亚洲精品日韩在线中文字幕| 男人爽女人下面视频在线观看| 身体一侧抽搐| 精品久久久精品久久久| 国产av码专区亚洲av| 日本av手机在线免费观看| 免费人成在线观看视频色| 久久久欧美国产精品| 精品久久久久久久久av| 久久国产精品男人的天堂亚洲 | 男女免费视频国产| 欧美成人一区二区免费高清观看| 国产精品不卡视频一区二区| 日韩av免费高清视频| 99热这里只有是精品50| 日日撸夜夜添| 久久久久久人妻| 亚洲天堂av无毛| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放| 能在线免费看毛片的网站| 黑丝袜美女国产一区| 日韩成人av中文字幕在线观看| 免费看不卡的av| 色综合色国产| 成人毛片60女人毛片免费| 国产精品久久久久久av不卡| 18+在线观看网站| 高清av免费在线| 国产大屁股一区二区在线视频| 精品国产乱码久久久久久小说| 香蕉精品网在线| 欧美日韩精品成人综合77777| 人妻系列 视频| 日韩人妻高清精品专区| 99久国产av精品国产电影| 插逼视频在线观看| 国产男女内射视频| 国产乱人偷精品视频| 日本午夜av视频| 人妻系列 视频| 亚洲精品久久久久久婷婷小说| 王馨瑶露胸无遮挡在线观看| 亚洲中文av在线| 欧美zozozo另类| 人妻制服诱惑在线中文字幕| 久久综合国产亚洲精品| 国产在线视频一区二区| 伦理电影免费视频| 国产又色又爽无遮挡免| 亚洲精品国产色婷婷电影| 在线观看免费视频网站a站| 亚洲伊人久久精品综合| 久久久久久久久久久丰满| 99热网站在线观看| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91 | 人妻少妇偷人精品九色| 中文天堂在线官网| 一级黄片播放器| 国产精品国产三级专区第一集| 麻豆乱淫一区二区| 久久精品国产自在天天线| 亚洲不卡免费看| 深夜a级毛片| 久久久久久人妻| 国产伦精品一区二区三区视频9| 内地一区二区视频在线| 亚洲成人中文字幕在线播放| 国产91av在线免费观看| 中文精品一卡2卡3卡4更新| 国产成人精品一,二区| 99九九线精品视频在线观看视频| 日韩国内少妇激情av| 成人漫画全彩无遮挡| 日韩,欧美,国产一区二区三区| 免费大片18禁| 大香蕉久久网| 99久久综合免费| 最近中文字幕2019免费版| 国内精品宾馆在线| 永久免费av网站大全| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 亚洲国产av新网站| 亚洲人成网站高清观看| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 国产一区有黄有色的免费视频| 国产亚洲91精品色在线| 99久久精品一区二区三区| 亚洲国产欧美人成| 日韩成人伦理影院| 综合色丁香网| 亚洲成人av在线免费| 97热精品久久久久久| 你懂的网址亚洲精品在线观看| 久久久色成人| 成人亚洲欧美一区二区av| 国产成人a∨麻豆精品| 在线看a的网站| 婷婷色av中文字幕| 3wmmmm亚洲av在线观看| 国产在线一区二区三区精| av又黄又爽大尺度在线免费看| 丰满乱子伦码专区| 成人一区二区视频在线观看| 免费大片18禁| 久久女婷五月综合色啪小说| 亚洲色图综合在线观看| 大陆偷拍与自拍| 国产精品久久久久久精品电影小说 | 免费观看在线日韩| 亚洲精品成人av观看孕妇| 汤姆久久久久久久影院中文字幕| 蜜桃亚洲精品一区二区三区| 日韩制服骚丝袜av| 亚洲三级黄色毛片| 一级毛片电影观看| 久久精品国产亚洲av涩爱| 亚洲成人手机| 三级国产精品欧美在线观看| 韩国高清视频一区二区三区| 一级毛片 在线播放| 日本欧美视频一区| 国国产精品蜜臀av免费| 午夜免费男女啪啪视频观看| 久久青草综合色| 欧美激情国产日韩精品一区| 视频中文字幕在线观看| 精品酒店卫生间| 国产精品熟女久久久久浪| 成年美女黄网站色视频大全免费 | 国产精品三级大全| 99久久精品一区二区三区| 97在线视频观看| 99国产精品免费福利视频| 视频中文字幕在线观看|