線段最值問題,作為中考數(shù)學中的熱點與難點,歷來以壓軸題的形式出現(xiàn),對學生構(gòu)成了相當大的挑戰(zhàn),這類問題不僅在教學層面上被視為難點,還在深層次上體現(xiàn)了數(shù)學核心素養(yǎng)的重要性。它根植于軸對稱這一基礎(chǔ)數(shù)學概念,通過對“將軍飲馬\"等經(jīng)典問題的衍生與拓展,展現(xiàn)了數(shù)學問題的豐富內(nèi)涵與深刻本質(zhì)。
在探索線段最值問題的過程中,教師和學生需要共同努力,深人挖掘其內(nèi)在規(guī)律與本質(zhì)特征。這一問題不僅要求學生具備扎實的數(shù)學基礎(chǔ),還需具備抽象思考與直觀想象的能力。教師的引導與學生的自主探究,可以逐步構(gòu)建起解決問題的數(shù)學模型,從而找到有效的解題策略。
線段最值問題的教學,不僅是對數(shù)學知識的傳授,還是對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。它要求學生在面對復雜問題時,能夠保持清晰的思維與嚴謹?shù)倪壿?,通過不斷嘗試與修正,最終找到問題的最優(yōu)解。這一過程不僅鍛煉了學生的數(shù)學能力,還培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新思維與解決問題的能力。
因此,線段最值問題不僅是中考數(shù)學的重要考點,還是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的有效途徑。在未來的教學中,我們應(yīng)更加重視這一問題的教學與研究,以期為學生的數(shù)學學習與全面發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。
本文將以“線段最值問題\"為專題,通過實例研討,介紹三種基本模型及其應(yīng)用策略。
1.利用“兩點之間線段最短\"求線段和的最小值問題
如圖1,兩定點A,B位于直線I同側(cè),在I上找一點C,使得點C到點A與點B的距離之和最短。
解析如圖2,先作點B關(guān)于直線I的對稱點 ?B′ 然后連接 AB′ ,交直線I于點C,再連接BC,則點C就是所要找的點。
“將軍飲馬\"模型是線段最值問題中最為基礎(chǔ)且常見的一種模型,該模型利用軸對稱的性質(zhì),將同側(cè)兩定點問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩定點問題,再根據(jù)公理“兩點之間線段最短”,從而輕松解決線段和的最小值問題。
2.模型應(yīng)用
如圖3,直線m是正五邊形ABCDE的對稱軸,點P是直線m上的動點,當 PB+PC 的值最小時,∠ BPC的度數(shù)是 。
一、線段最值問題的基本模型
模型一:“將軍飲馬\"模型(或“一動兩定\"型)
解析如圖4,由于點C關(guān)于 m 的對稱點為點D,所以直接連接BD、PD,設(shè)BD與直線 m 相交于點P′ ,連接 CP′ 。
由 PC=PD ,得 PB+PC=PB+PD≥BD ,所以當點P與 P′ 重合時, PB+PC 的值最小。又因為五邊形ABCDE是正五邊形,則有 BC=CD ! ∠BCD=108° ,所以∠CBD=∠CDB=36° ,又因為 P′C=P′D ,所以 ∠P′CD= ∠P′DC=36° ,所以 ∠BPC=72° 。
模型二:“垂線段最短\"模型
1.利用“垂線段最短\"將線段最值問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題
如圖5,連接直線1外一點 P 與直線1上各點0, 其中 PO⊥I (我們稱PO為點 ΩP 到直線I的垂線段)。比較線段 P0,PA1,PA2,PA3 PA4,PA5 ,…的長短,則有PO最短。
“垂線段最短”模型是另一種常見的線段最值問題模型。該模型利用“垂線段最短\"的定理,將線段最值問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題。
2.模型應(yīng)用
如圖6,在 Δ ABC中, ∠BAC=60° , ∠C=45° AC= ,點 D 為邊BC上的動點,連接AD,以AD為直徑作 ?0 ,交邊AB、AC分別于點E、F,連接E、F,求EF的最小值。
解析據(jù)圖6分析,當圓的大小一定時,EF的值也確定,而圓的大小由直徑AD決定,所以當AD最小時,EF的值最小。根據(jù)定理\"垂線段最短\"可知,當AD ⊥ BC時,AD的值最小。
如圖7,作AD ⊥ BC于點D,作OH ⊥ EF于H,連接OE,OF。
在Rt△ADC中,因為 , ∠C=45° ,所以
,則
。
由圓周角定理可得, ∠EOF=2∠BAC=120° ,則有∠EOH=60° ,所以 EF=2EH=0E?sin60°=6 ,即EF的最小值為6。
模型三:“將軍飲馬\"與“垂線段最短\"綜合模型(或“一定兩動\"型)
除了上述兩種基本模型外,線段最值問題中還存在一種更為復雜的綜合模型—“將軍飲馬”與“垂線段最短\"綜合模型。該模型結(jié)合了前兩種模型的特點,要求學生在解題過程中靈活運用兩種模型的原理與技巧。
1.\"一定兩隨動\"型
(1)兩個動點分別在兩條直線上任意運動,求線段之后最小值問題
如圖8,動點A在直線 m 上運動,點B為一定點,且兩點均在直線n的同側(cè),在直線n上找一點P,使得 PA+PB 的值最小。
解析如圖9,先作點B關(guān)于直線n的對稱點B′ ,然后過 B′ 作 于點A,交直線 n 于點P,再連接PB。此時, PA+PB=PA+PB′=AB′ 。
此題型本質(zhì)就是借助“將軍飲馬\"題型思想,將PA+PB 的值轉(zhuǎn)化為線段AB的長度,但由于點A為直線上一動點, B′ 為一定點,故AB的長度是不確定的,則需要根據(jù)\"垂線段最短\"的思想,當 AB′⊥m 時,AB的長度最短,故而解答出本題。
(2)模型應(yīng)用
如圖10,在 RtΔABC 中, ∠ACB=90° AC=3 BC=4,AB=5,AD 平分 ∠CAB 交BC于D點,E、F分別是AD、AC上的動點,則 CE+EF 的最小值為多少。
解析先作對稱點并畫出對稱線段,將同側(cè)兩線段轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩線段,然后使兩線段共線并與AB垂直時, CE+EF 的值最小。
如圖11作點F關(guān)于直線AD的對稱點G,由于AD平分∠CAB,所以點G在AB上。連接EG,則有 EF= EG, CE+EF=CE+EG 。所以要求 CE+EF 的最小值即為求 CE+EG 的最小值,故當C、E、G三點共線時,符合要求。此時,作 CH⊥AB 于H點,則CH的長即為CE+EF 的最小值。由等面積法可知, AC?BC=AB?CH 所以 即 CE+EF 的最小值為
。
2.“一定一動一從動\"型
(1)一個動點在一直線上任意運動,另一動點隨著這個動點在另一直線運動,求線段之后最小值問題
如圖12,B為一定點,動點P在直線n上運動,過點P作PA 1m 于點A,連接PB,求 PA+PB 的最小值。
A A' 中 m
4 11BA11PP' n、'B'
解析如圖13,先作點B關(guān)于直線 的對稱點B′ ,連接 PB′ ,此時 PA+PB=PA+PB′ 。然后過 B′ 作B′A′⊥m 于點
,交直線 n 于點 P′ 。則有 PA+PB= PA+PB′?P′A′+P′B′=A′B′
此題型先是作PB的對稱線段 PB′ ,將 PA+PB 的值轉(zhuǎn)化為 PA+PB 的值,點A、P分別是兩直線上的動點,且要求 PA⊥m 。則直接作 B′A′⊥m 即可,這樣既滿足了 ,又滿足 A′,P′,B 三點共線,即 P′ A′+P′B 的值最小,從而解答出本題。
(2)模型應(yīng)用
如圖14,在 ΔABC 中, AB=AC ∠B=60° ,AD ⊥ BC于點 D 。點 P 是AD上的一個動點,PE ⊥AC 于點E,連接CP。若 AD=6 ,則 PC+PE 的最小值是( )
A.5 B.6 C.8 D.9
解析由于等邊三角形的特殊性,它各邊上的高所在直線本身就是它的對稱軸,所以可直接畫出對稱線段,然后根據(jù)“兩點之間線段最短”及“垂線段最短”,即可得出線段和的最小值。
如圖15,作BE '⊥AC 于E',交AD于點 P′ ,連接 P′C,PB 因為在 ΔABC 中, AB=AC ∠B=60° ,所以ΔABC 是等邊三角形。又因為AD ⊥ BC,則有 BD= CD,所以點C關(guān)于AD的對稱點為點B,所以 PC= PB,則有 PC+PE=PB+PE 。顯然,當P、BE三點共線且BE ⊥AC 時, PC+PE 的值最小,即為BE'的值。因為BE ′⊥AC ,所以BE ′=AD=6 ,所以 PC+PE 的最小值是6,故選 。
二、探究思考與教學建議
(一)探究思考
1.線段最值問題的核心價值
數(shù)學核心素養(yǎng)的體現(xiàn):線段最值問題不僅是中考的熱點,還是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)(如抽象思維、邏輯推理、直觀想象)的有效載體。通過解決這類問題,學生能夠提升分析復雜問題的能力,形成嚴謹?shù)臄?shù)學思維。
基礎(chǔ)與拓展的結(jié)合:線段最值問題根植于軸對稱、垂線段最短等基礎(chǔ)數(shù)學概念,通過對經(jīng)典問題的衍生與拓展,展現(xiàn)了數(shù)學問題的豐富內(nèi)涵與深刻本質(zhì),這種從基礎(chǔ)到拓展的過程,有助于學生構(gòu)建系統(tǒng)的數(shù)學知識體系。
2.基本模型的構(gòu)建與應(yīng)用
“將軍飲馬\"模型:該模型利用軸對稱性質(zhì),將同側(cè)兩定點問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩定點問題,再根據(jù)“兩點之間線段最短”的公理,解決線段和的最小值問題,這種轉(zhuǎn)化思想在解決線段最值問題中具有普遍性。
“垂線段最短\"模型:該模型利用“垂線段最短”的定理,將線段最值問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題,這種轉(zhuǎn)化不僅簡化了問題,還培養(yǎng)了學生的空間想象能力。
綜合模型:綜合模型結(jié)合了“將軍飲馬\"與“垂線段最短”兩種模型的特點,要求學生在解題過程中靈活運用兩種模型的原理與技巧,這種綜合應(yīng)用能力是數(shù)學素養(yǎng)的重要體現(xiàn)
3.解題策略與思維培養(yǎng)
自主探究與教師引導:在探索線段最值問題的過程中,教師和學生需要共同努力,深入挖掘其內(nèi)在規(guī)律與本質(zhì)特征,逐步構(gòu)建解決問題的數(shù)學模型,從而找到有效的解題策略。
抽象思考與直觀想象:線段最值問題要求學生具備扎實的數(shù)學基礎(chǔ)及抽象思考與直觀想象的能力,這種能力的培養(yǎng)不僅有助于解決數(shù)學問題,還能提升學生的綜合素質(zhì)。
(二)教學建議
1.強化基礎(chǔ)概念的教學
軸對稱與垂線段最短:在教學中,教師應(yīng)重點講解軸對稱和垂線段最短的概念,通過實例和圖形演示,幫助學生理解這些基礎(chǔ)概念的本質(zhì)。
模型構(gòu)建:教師要引導學生通過實例,逐步構(gòu)建“將軍飲馬\"和\"垂線段最短\"兩種基本模型,并理解其應(yīng)用策略。
2.培養(yǎng)解題策略與思維
自主探究:學生要通過自主探究,發(fā)現(xiàn)線段最值問題的內(nèi)在規(guī)律與本質(zhì)特征,教師可以設(shè)計一些探究性問題,引導學生逐步深入。
教師引導:在探究過程中,教師應(yīng)適時引導,幫助學生理清思路,找到解題的關(guān)鍵。同時,教師應(yīng)注重培養(yǎng)學生的抽象思考與直觀想象能力。
3.綜合應(yīng)用與拓展
綜合模型教學:在教學中,教師應(yīng)引人綜合模型,讓學生理解并掌握“將軍飲馬\"與“垂線段最短”兩種模型的結(jié)合應(yīng)用,通過綜合模型的教學,提升學生的綜合應(yīng)用能力。
拓展練習:教師設(shè)計一些拓展練習,讓學生在解決復雜問題的過程中,進一步鞏固和提升數(shù)學素養(yǎng),這些練習可以包括一些變式題、綜合題等。
4.注重數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)
邏輯思維與嚴謹性:在教學中,教師應(yīng)注重培養(yǎng)學生的邏輯思維與嚴謹性,通過線段最值問題的解決,讓學生形成嚴謹?shù)臄?shù)學思維,提高分析問題的能力。
創(chuàng)新思維與解決問題的能力:線段最值問題的解決過程,也是培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維與解決問題能力的過程,教師應(yīng)鼓勵學生嘗試不同的解題方法,培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維。
5.結(jié)合中考實際
中考題型分析:在教學中,教師應(yīng)結(jié)合中考實際,分析線段最值問題在中考中的題型和考點,通過中考題型的分析,讓學生了解考試要求,提高應(yīng)試能力。
模擬訓練:教師要設(shè)計一些模擬訓練題,讓學生在模擬考試中進一步鞏固和提升解題能力,這些模擬訓練題可以包括一些歷年中考真題、模擬題等。
三、結(jié)語
本文介紹的三種“線段最值問題”模型都是初中數(shù)學中常見的問題,該類問題的解題方法都是建立在兩個基本定理的基礎(chǔ)之上。模型一和模型二可直接根據(jù)定理求解,模型三是模型一與模型二的綜合,是對兩個定理的疊合,具有一定的靈活性和延展性。
本文通過對線段最值問題的深入剖析和探討,揭示了三種基本模型的本質(zhì)特征與應(yīng)用策略,同時,結(jié)合具體例題和教學實踐,提出了針對性的教學策略和建議,然而,線段最值問題作為中考數(shù)學中的難點與熱點之一,其解題方法和技巧仍然需要不斷地探索和完善。未來,我們將繼續(xù)深人研究線段最值問題的相關(guān)理論和教學實踐,以期為學生提供更加優(yōu)質(zhì)的教學資源和解題指導。
(作者單位:廈門市興賢學校)
編輯:李琴芳