“形”之有效 構(gòu)造之巧

原題再現(xiàn)

例【模型建立】

（1）如圖1，已知 ΔABE 和 ΔBCD，AB⊥BC，AB=BC，CD⊥BD，AE⊥BD. 用等式 寫出線段 AE，DE，CD 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型應(yīng)用】

（2）如圖2，在正方形ABCD中，點 E，F(xiàn) 分別在對角線 BD 和邊 CD 上， AE⊥EF ，AE=EF. 用等式寫出線段 BE，AD，DF 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型遷移】

（3）如圖3，在正方形 ABCD 中，點 E 在對角線 BD 上，點 F 在邊 CD 的延長線上，AE⊥EF，AE=EF. 用等式寫出線段 BE，AD，DF 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

破解策略

第（1）問屬于典型的“一線三直角模型”，直接證明 ΔABE?ΔBCD 即可得解

解： （1）DE+CD=AE. 理由如下：

：CD⊥BD，AE⊥BD，AB⊥BC，∴∠ABC=∠D=∠AEB=90^°， ∴∠ABE+∠CBD=∠C+∠CBD=90^°，∴∠ABE=∠C. . ∴DE=BD-BE=AE-CD，∴DE+CD=AE.

第（2）問為求三條線段的數(shù)量關(guān)系，猜想線段和差.

思路一：通過第一問的引導(dǎo)，補全“一線三直角模型”.因為本題中有 45^° 的條件，故而利用等腰直角三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化，找出線段間和差關(guān)系，從而得到線段 BE，AD，DF 的數(shù)量關(guān)系.

解 理由如下：

過點 A 作 AM⊥BD 于 M ，過點 F 作 FN⊥BD 于 N ，如圖4. ·?AM⊥BD，F(xiàn)N⊥BD，AE⊥EF，∴∠AEF=∠AME=∠ENF=90^°， （2 ∴∠AEM+∠FEN=∠NFE+∠FEN=90^°，∴∠AEM=∠NFE. ·∴AE=EF，∴ΔAEMΔEFN，∴EM=FN. ：四邊形ABCD是正方形， BD 為其對角線， （2 DF ，即

思路二：本題的條件可以看成“對角互補模型”，根據(jù)正方形的對角線是角平分線引入常見輔助線一兩條垂線段.如圖5，過點 E 作 EM⊥AD 于點 M，EN⊥CD 于點N ，先證明 RtΔAEMΔRtΔFEN ，可得 AM=NF ，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)可得線段之間的 倍關(guān)系，即可得證.（解答略，請同學(xué)們自己完成.）

思路三：根據(jù)圖形特點，可知線段 BE，DF，AD 不是簡單的線段和差關(guān)系，因為∠ABD=∠CDB=45^° ，所以構(gòu)造 或 如圖6，過點 E 作 ME⊥BD 交 AB 于點M ，過點 F 作 FN⊥CD 交 BD 于點 N. 通過證明 ΔAEM?ΔFEN 解決問題.（解答略，請同學(xué)們自己完成.）

第（3）問，類比第（2）問的思路，線段和差稍有變化解： 理由如下.

過點 A 作 AH⊥BD 于點 H ，過點 F 作 FG⊥BD ，交 BD 的延長線于點 G ，如圖7.： ?AH⊥BD，F(xiàn)G⊥BD，AE⊥EF，∴∠AHE=∠G=∠AEF=90^°，

（204號 ∴∠AEH+∠HAE=∠AEH+∠FEG=90^°

： .∠HAE=∠FEG

又：

在正方形ABCD中， ∴∠BDC=45^° ，

∴∠FDG=∠BDC=45^°

∵∠DFG=45^°，∴ΔDFG 是等腰直角三角形，

圖7 （20

. ?∠ADB=45^°，AH⊥HD，∴ΔADH 是等腰直角三角形， ：

日積月累

1.利用等腰直角三角形的三邊關(guān)系構(gòu)造含 倍線段關(guān)系，解題思路如下.（1）若題中已知 45^° 角，常通過作垂線構(gòu)造等腰直角三角形，如圖8

（2）若題中無 45^° 角，常通過尋找直角，截長補短構(gòu)造等腰直角三角形，如圖9

∠BAD=∠ADB=45° AD=√2AB=√2BD

∠BCE=∠BEC=45° CE=√2BC=√2BE

2.利用含 30^° 角的直角三角形的三邊關(guān)系構(gòu)造含 倍線段關(guān)系，解題思路如下.（1）若題中已知 30^° 角，常通過作垂線構(gòu)造含 30^° 角的直角三角形，如圖10

（2）若題中無 30^° 角，常通過尋找直角，截長補短構(gòu)造含 30^° 角的直角三角形，如圖11.

構(gòu)造 ， 倍線段問題的解題關(guān)鍵在于，需要構(gòu)造等腰直角三角形或者含有30^° 角的直角三角形，從而利用直角三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化.解決這類問題需要同學(xué)們熟練掌握等腰直角三角形和含有 30^° 角的直角三角形的三邊關(guān)系，結(jié)合問題中其他條件構(gòu)造圖形，進(jìn)而解決問題.

拓展訓(xùn)練

1.如圖12，在等邊三角形 ABC 中，點 D，E 是邊 BC 上的動點，且點 D 在點 E 的左側(cè)，連接 AD，AE. 點 F 是線段 AC 延長線上一點，連接 DF，EF. 若 AD=DF，∠CAE= ∠CDF. 求證：

2.如圖13，在菱形ABCD中， ∠BAD=120^° ，點 E 是對角線 AC 上一點，點 F 在 BA 的延長線上，將 EF 繞點 E 逆時針旋轉(zhuǎn) 120^° 得到 EM 若點 M 恰好落在邊 BC 上，且∠MEC=75^° 求證：

3.如圖14， ΔABC 中，點 D，E 分別在 BC，AC 邊上，連接 AD，AD=AB.AF 平分∠DAC 交 DC 于 F ∠AFB=30^° ，連接 FE，∠FEC=∠ABC. 點 G 為 AD 延長線上一點，連接GE，GB，∠EGB=60^° 求證：

參考答案：1.提示：延長 BC 至 H ，使 CH=CF ，連接 FH

2.提示：過點 E 作 EH⊥BC 于點 H，EG⊥AB 于點 G

3.提示：延長 _GB 至 M ，使 BM=EG ，連接 AM 業(yè)

（作者單位：東北育才學(xué)校）